李友全 于偉杰 王本成 張德志 賈永祿

(1.中石化勝利油田地質(zhì)科學(xué)研究院，山東 東營 257000;2.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室，成都 610500)

低滲透油氣田儲量在世界石油天然氣儲量中占相當大的比例。至1996年，在我國陸上探明石油儲量中，低滲透油藏儲量占總探明儲量的26.2%。在之后數(shù)年的滾動勘探過程中，新增地質(zhì)儲量有一半是在低滲透油氣田中發(fā)現(xiàn)的。低滲透油氣田開發(fā)意義重大，難度也較高［1-2］。

早在1985年，馮文光、葛家理建立了單一介質(zhì)低速非達西滲流數(shù)學(xué)模型，并給出了其無窮大地層精確解［3］。1996年，程時清等人用數(shù)值解得到了均質(zhì)地層及有界地層、雙重介質(zhì)無窮地層及低速非達西滲流試井模型及樣板曲線［4］。2000年，賈永祿等人引入擬體積系數(shù)和啟動壓力梯度概念，研究了低速非達西滲流油井和氣井試井分析方程統(tǒng)一問題，同時研究了內(nèi)區(qū)為雙重介質(zhì)達西流、外區(qū)為均質(zhì)低速非達西流的復(fù)合油藏問題［5-6］。

本次研究中運用一種新的數(shù)學(xué)解法，分析雙重介質(zhì)有界地層低速非達西滲流問題。

1 達西滲流數(shù)學(xué)模型

物理模型的建立基于以下2個假設(shè)條件:

(1)油(氣)層圓形水平等厚，地層中任意小體積單元都存在基質(zhì)和天然裂縫系統(tǒng)。裂縫是主要流通通道，基質(zhì)是主要儲集空間，裂縫滲透率kf?基質(zhì)滲透率km，流體只能從裂縫流向井筒，基質(zhì)流體流向裂縫作為補充，圓形外邊界封閉或定壓，井處于圓中心。

(2)開井生產(chǎn)前地層中各處壓力均等于原始地層壓力Pi，t=0時刻開井以定產(chǎn)量q生產(chǎn)，流體弱，可壓縮，忽略重力和毛管力影響。

考慮低滲油氣藏低速非達西滲流，采用Warren-Root模型(圖 1)［8］。

圖1 Warren-Root方塊基質(zhì)塊模型

雙重介質(zhì)擬穩(wěn)定竄流無因次有效井徑數(shù)學(xué)模型為:

如果模型中體積系數(shù)B采用擬體積系數(shù)，λB采用擬真實啟動壓力梯度［6］，則適用于油、氣井。

2 模型求解

對于齊次項方程:

有通解

對于非齊次方程:

有以下特解:

令:

于是式(15)的通解為:

需注意的是:

將式(18)代入內(nèi)邊界條件式(10):

將式(18)代入圓形外邊界定壓條件:

對于圓形封閉:

聯(lián)立式(21)、(22)，可解得:

可得圓形定壓井底壓力:

同法可得圓形封閉地層時的解:

采用 Stehfest拉氏數(shù)值反變換方法［8］，可算出雙重介質(zhì)有界地層低速非達西滲流試井樣板曲線(圖2、圖3)。

圖2 雙重介質(zhì)圓形封閉地層低速非達西滲流壓力典型曲線

圖3 雙重介質(zhì)圓形定壓地層低速非達西滲流壓力典型曲線

3 復(fù)合樣板曲線計算

為了獲得雙重介質(zhì)低速非達西滲流實用分析方法，可獲得無窮地層的雙孔介質(zhì)(擬穩(wěn)定竄流)低速非達西滲流壓力解［5］:

式中f(z)參見式(8)。

在竄流段，z?λCD，于是

由式(31)、(32)，以 λe-2s為參數(shù)團，可算出雙重介質(zhì)擬穩(wěn)定竄流段樣板曲線，如圖5所示。將圖4、圖5重合，便構(gòu)成雙重介質(zhì)低速非達西滲流復(fù)合樣板曲線(圖6)，可以采用三段擬合方式，求出λ、ω、k、s、c的初值。再用式(31)進行雙重介質(zhì)無窮地層全流動段檢驗分析，用式(27)進行圓形定壓或圓形封閉的擬合檢驗，求得外邊界圓半徑。

圖4 均質(zhì)低速非達西流樣板曲線

圖5 雙孔介質(zhì)低速非達西流擬穩(wěn)定竄流段樣板曲線

對于非穩(wěn)定竄流，僅f(z)有所不同。此時對于球形基質(zhì):

在竄流段，ω =0，即

對于板狀基質(zhì):

在竄流段，ω =0，即

圖6 雙孔介質(zhì)低速非達西流復(fù)合樣板曲線

4 結(jié)語

本次研究中建立了雙重介質(zhì)封閉地層低速非達西滲流模型，給出了一種新的解法，計算出樣板曲線。利用無窮地層雙重介質(zhì)低速非達西滲流解，得到竄流段的解，從而得到了實用的雙重介質(zhì)低速非達西滲流試井分析復(fù)合樣板曲線。由此，可進行雙重介質(zhì)三段式擬合，求得初擬合參數(shù)值。

本模型和方法應(yīng)用于分析新疆、四川及其他低滲油氣田復(fù)雜試井資料，效果良好。

文中符號說明:

B—原油體積系數(shù)，無因次;

rw— 井半徑，m;

h—儲層厚度，m;

Pi— 原始地層壓力，MPa;

s—水平井類似于直井的表皮，無因次;

Ct—巖石等溫綜合壓縮系數(shù)，MPa-1;

kf— 裂縫系統(tǒng)滲透率，μm2;

km—基質(zhì)系統(tǒng)滲透率，μm2;

pm—基質(zhì)系統(tǒng)壓力，MPa;

pf— 裂縫系統(tǒng)壓力，MPa;

pD— 無因次壓力;

pDf—裂縫系統(tǒng)無因次壓力;

pDm—基質(zhì)系統(tǒng)無因次壓力;

rD—無因次徑向坐標;

λB— 啟動壓力梯度，MPa/m;

tD—無因次時間;

CD—無因次井筒儲集系數(shù);

D—無因次啟動壓力梯度;

z—拉氏變量;

φ—巖石孔隙度;

ω—彈性儲能比，無因次;

λ—基質(zhì)向裂縫竄流系數(shù);

α—基質(zhì)塊形狀因子，1/m2;

△—中間變量;

I0()—第一類零階變型貝賽爾函數(shù);

I1()—第一類一階變型貝賽爾函數(shù);

K0()—第二類零階變型貝賽爾函數(shù);

K1()—第二類一階變型貝賽爾函數(shù)。

［1］喬蕓，張廣杰.我國低滲透油田開發(fā)現(xiàn)狀、規(guī)律及評價［J］.低滲透油氣田，1999，4(2):30-34.

［2］閔琪.低滲特低滲油藏劃分界限探討［J］.低滲透油氣田，1996，1(2):14-16.

［3］馮文光，葛家理.單一介質(zhì)、雙重介質(zhì)中非定常非達西低速滲流問題［J］.石油勘探與開發(fā)，1985，12(1):56-62.

［4］程時清，李躍剛.低速非達西滲流試井模型的數(shù)值解及其應(yīng)用［J］.天然氣工業(yè)，1996，16(3):27-30.

［5］賈永祿，譚雷軍，馮曦，等.低速非達西滲流中氣井、油井試井分析方程的統(tǒng)一［J］.天然氣工業(yè)，2000，20(3):70-72.

［6］賈永祿，譚雷軍.特殊開采方式低速非達西滲流試井模型研究［J］.西南石油學(xué)院學(xué)報，2000，22(4):37-40.

［7］Schmittroth L A.Numerical Inversion of Laplace Transforms［J］.Communications of the ACM，1960，3(3):171-173.

［8］Warrant J E，Root P J.Behavior of Naturally Fractrured Resservoirs［G］.Soc.Pet.Eng.J，1963:245-255.