孫鳳慶

山東德州職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)系

Holder不等式再推廣的幾種形式

孫鳳慶

山東德州職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)系

本文主要對原Holder不等式進(jìn)行了進(jìn)一步的推廣，將原Holder不等式由2個(gè)實(shí)數(shù)列推廣到m(m＞=2)個(gè)實(shí)數(shù)列，同時(shí)給出推廣后的Holder不等式的幾種不同形式并對其加以數(shù)學(xué)證明.

Holder不等式；推廣的Holder不等式；引理(Young不等式的推廣)；琴生不等式；級數(shù)；Riemann積分

1.Holder不等式

設(shè)a=(a1,a2,........,an)與b=(b1,b2,..........,bn)是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)列；?與β為兩個(gè)正數(shù),且?+β=1

且只有當(dāng)ai=0或bi=0或者存在正數(shù)k使得ai=kbi時(shí)（i=1,2,......n）等號才成立．

2.推廣的Holder不等式

且只有當(dāng)a1i=0或a2i=0……或ami=0或者存在m個(gè)正數(shù)k1,k2,......km使得k1a1i=k2a2i=......=kmami時(shí)（i=1,2,......n）等號才成立．

證明：

1）引理(Young不等式的推廣)：設(shè)aj≥0(j=1,2,......m)；?1,?2,......?m為m個(gè)正數(shù)，

且只有當(dāng)a1=a2=......=am時(shí)，等號才成立．

證明：

①當(dāng)a1,a2......am中有一個(gè)為0時(shí)，不等式顯然成立

因此由琴生不等式可得：

且只有當(dāng)a1=a2=......=am時(shí)，等號才成立

2）再證明推廣的Holder不等式(即（1）式)

①當(dāng)a1i=0或a2i=0......或ami=0時(shí)（i=1,2,......n），（1）式顯然成立，且等號成立

則（1）式變?yōu)椋?/p>

只需證明此不等式即可。

3.推廣的Holder不等式的級數(shù)形式

4.推廣的Holder不等式的Riemann積分形式

由（1）式可得:

再由極限保號性質(zhì)可得（3）式成立.

注：對x∈[a,b]，只有當(dāng)f1(x)≡0或f2(x)≡0...........或fm(x)≡0或者存在m個(gè)常數(shù)k1,k2,......km使得k1f1(x)≡k2f2(x)≡............≡kmfm(x)時(shí)，（3）式中等號才成立．

[1]李心燦的《Holder不等式的一種推廣》一書，北京航空學(xué)院出版/1957

[2]歷倩的Holder不等式的再推廣及應(yīng)用，《數(shù)學(xué)通迅》，2006—05

[3]熊斌的Schur不等式和Holder不等式及其應(yīng)用，《數(shù)學(xué)通訊》，2005—15

[4]陶雙平馬國順的一個(gè)廣義Holder不等式，《安康師專學(xué)報(bào)》，1992—02

[5]胡克的論Holder不等式，《江西師范大學(xué)學(xué)報(bào).自然科學(xué)版》，1994—03

[6]文開庭的Holder不等式的新推廣，《畢節(jié)師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)》，2002—01

[7]張?zhí)斓马n振來的數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解，天津科學(xué)技術(shù)出版社，2009，7

孫鳳慶（1963-），男，副教授，大學(xué)本科（工學(xué)學(xué)士）