曲興田,王宏一,樊成,吳文征,劉孝龍

(1.吉林大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,130025,長春;2.蘇州大學(xué)機(jī)器人與微系統(tǒng)研究中心,215021,江蘇蘇州)

?

等重疊率螺旋線的非球面拋光軌跡規(guī)劃

曲興田1,王宏一1,樊成2,吳文征1,劉孝龍1

(1.吉林大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,130025,長春;2.蘇州大學(xué)機(jī)器人與微系統(tǒng)研究中心,215021,江蘇蘇州)

為改善拋光軌跡以獲得更好的加工精度,分析了軌跡在非球面上所產(chǎn)生的去除區(qū)域的覆蓋情況,并提出了一種等重疊率螺旋線拋光軌跡規(guī)劃方法?；诤掌澖佑|理論的去除區(qū)域的覆蓋情況分析表明,常用的阿基米德螺旋線由于彈性接觸變化和投影行距變化導(dǎo)致軌跡間去除區(qū)域接觸變化,從而不能保證加工精度均勻一致,為此引入了重疊率的概念以量化分析該變化情況。提出的軌跡規(guī)劃方法分析了重疊率的變化特點(diǎn),并依據(jù)螺旋線的性質(zhì)建立了螺旋線行距與非球面面形的變化關(guān)系,保證了軌跡間去除區(qū)域的穩(wěn)定接觸。仿真結(jié)果表明,在非球面拋光過程中應(yīng)用等重疊率螺旋線軌跡,重疊率變化范圍從阿基米德螺旋線軌跡的56.1%～26.2%縮小到現(xiàn)在方法的56.1%～55.3%,為非球面拋光的均勻性和一致性奠定了基礎(chǔ)。

非球面;拋光;螺旋線軌跡;等重疊率

隨著現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,非球面光學(xué)元件的應(yīng)用已日趨廣泛。小工具頭拋光技術(shù)由于控制準(zhǔn)確、拋光靈活性高等優(yōu)勢使加工的精度及效率大幅度提高,成為了非球面光學(xué)元件制備的主要手段之一。拋光軌跡規(guī)劃作為拋光工藝的重要研究方向,直接影響著加工質(zhì)量、加工時(shí)間和使用壽命。因此,通過拋光軌跡的合理規(guī)劃實(shí)現(xiàn)良好的拋光效果就顯得尤為重要。對于傳統(tǒng)軌跡規(guī)劃方法已經(jīng)有大量研究,其基本理論包括參數(shù)線法[1-2]、截面線法[3-4]、等殘余高度法[5-6]等。這些算法大都針對車削、磨削工藝進(jìn)行研究,并沒有充分考慮小工具頭拋光的特點(diǎn)。近年來,相關(guān)學(xué)者針對小工具頭拋光特點(diǎn)建立了很多拋光軌跡規(guī)劃方法。文獻(xiàn)[7]將具有良好的適應(yīng)性和覆蓋性的Peano軌跡應(yīng)用到拋光領(lǐng)域。文獻(xiàn)[8]借鑒質(zhì)點(diǎn)系平衡的加權(quán)平均思想,提出了引入殘差分布的軌跡規(guī)劃方法。文獻(xiàn)[9]為消除一般軌跡產(chǎn)生的規(guī)則軌跡誤差提出了偽隨機(jī)拋光軌跡。文獻(xiàn)[10]針對光柵軌跡拋光提出了行距適應(yīng)算法增加軌跡在自由曲面上覆蓋的均勻性。所以,對于拋光軌跡而言,提高軌跡覆蓋的均勻性有助于改善曲面零件的加工質(zhì)量。

本文通過分析表明,通常使用的阿基米德螺旋線由于拋光時(shí)工具頭與工件的彈性接觸變化和投影行距變化,造成了軌跡產(chǎn)生去除區(qū)域在非球面覆蓋不均勻,其主要表現(xiàn)在軌跡間去除區(qū)域的接觸情況變化較大。拋光去除區(qū)域內(nèi)不同位置材料的去除情況不同,軌跡間去除區(qū)域接觸變化會引起變化的拋光殘留。此外,拋光迭代去除模型往往建立在穩(wěn)定的拋光軌跡間去除區(qū)域情況之上。因此,穩(wěn)定的軌跡間去除區(qū)域接觸情況就成為了保證非球面均勻一致的加工精度的必要前提。

為此,本文基于赫茲接觸理論對螺旋線上去除區(qū)域覆蓋變化情況進(jìn)行建模分析,建立了螺旋線與非球面聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)了等重疊率的非球面螺旋線軌跡規(guī)劃方法,保證了加工軌跡產(chǎn)生去除區(qū)域分布的均勻一致。

1 拋光接觸建模

接觸模型建立在赫茲接觸理論之上,文獻(xiàn)[11-12]將赫茲接觸理論應(yīng)用于小工具頭拋光均取得了良好效果。文獻(xiàn)[13]指出,在固定行距下,拋光接觸區(qū)域隨著工件曲率變化發(fā)生了改變而不能保證恰好完整的覆蓋工件。因此,為引入接觸區(qū)域變化,本文提出以軌跡所產(chǎn)生的去除區(qū)域覆蓋變化情況來衡量軌跡對加工精度的影響。

1.1 接觸區(qū)域計(jì)算

圖1 接觸點(diǎn)曲率半徑

(1)

橢圓的半軸方向與主曲率方向一致,即非球面的經(jīng)線和緯線方向。半軸長度a和b計(jì)算公式如下

(2)

(3)

式中:F代表拋光力;μ1、μ2分別為兩個(gè)物體的泊松比;E1、E2分別為兩個(gè)物體的彈性模量;系數(shù)m、n與B/A有關(guān),令cosγ=B/A,根據(jù)γ值,對應(yīng)m、n值可由表1插值計(jì)算得到,A、B計(jì)算方程如下

(4)

(5)

式中:φ代表兩個(gè)物體在接觸點(diǎn)處法面之間的夾角。

表1 m、n參數(shù)插值計(jì)算表[14]

1.2 非球面上接觸區(qū)域建模

非球面任意點(diǎn)位置的接觸區(qū)域可以通過式(1)～式(5)計(jì)算而得,但是得到接觸區(qū)域邊界在工件的空間位置仍是一個(gè)復(fù)雜的過程。接觸區(qū)域較小,其所在平面接近且?guī)缀跗叫杏诮佑|點(diǎn)切平面。為簡化計(jì)算,將接觸區(qū)域放置在接觸點(diǎn)在非球面的切平面上,并將接觸邊界在工件上的投影作為接觸區(qū)域在非球面上的空間位置。

以非球面的回轉(zhuǎn)軸為z軸、頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,建立Oxyz坐標(biāo)系。如圖2所示,以非球面任意經(jīng)線截面為xz平面。在xz平面的非球面母線方程可表示為

z=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…

(6)

式中:a1、a2、a3、a4為方程系數(shù)。那么,接觸區(qū)域在xy平面的投影可由下式計(jì)算

(7)

式中:am、amxy為經(jīng)線方向接觸橢圓半軸;bc、bcxy為緯線方向接觸橢圓半軸。式(7)所得區(qū)域沿z軸投影到非球面,得到工具頭與非球面在接觸點(diǎn)的去除區(qū)域。距離回轉(zhuǎn)軸相同距離的位置點(diǎn)具有相同的幾何性質(zhì),非球面其他位置接觸建模也可相應(yīng)求出。

圖2 非球面經(jīng)線截線示意圖

2 阿基米德螺旋線仿真與分析

加工中常用的阿基米德螺旋線軌跡的極坐標(biāo)形式可表示為

r=kθ

(8)

式中:k為控制螺旋線間距的參數(shù),螺旋線在徑向上等間距。由于螺旋線和非球面的連續(xù)性,僅對過回轉(zhuǎn)軸的一側(cè)截面軌跡間去除區(qū)域變化情況進(jìn)行分析,可以代表整體變化情況。相關(guān)仿真數(shù)據(jù)見表2,所用拋光力F=8 N。

表2 接觸模型仿真數(shù)據(jù)

圖3 去除區(qū)域的漸變情況

圖3為去除區(qū)域在非球面上從中心到邊緣的漸變情況,可見由于非球面曲率變化,不同位置去除區(qū)域并不一致。此外,由于非球面陡度變化引起投影后阿基米德螺旋線實(shí)際行距也發(fā)生了變化。兩方面因素共同造成了阿基米德螺旋線軌跡間去除區(qū)域接觸的變化。實(shí)際行距s計(jì)算公式如下

(9)

(10)

行距為2時(shí)阿基米德螺旋線在非球面上軌跡間去除區(qū)域接觸情況見圖4a。圖5a為去除區(qū)域在xy平面的投影。軌跡間去除區(qū)域在回轉(zhuǎn)中心附近相互重疊,到邊緣去除區(qū)域相互之間已有較大間隙。這樣在靠近非球面邊緣處軌跡間已經(jīng)出現(xiàn)了未加工的區(qū)域,顯然造成了加工精度的下降和不一致,同時(shí)即使靠近中心區(qū)域滿足精度要求,為避免未加工區(qū)域也要縮小行距,降低了加工效率。

(a)行距為2 (b)行距為1圖4 阿基米德螺旋線去除區(qū)域的接觸情況

圖4b、圖5b為行距為1時(shí)截面上的去除區(qū)域情況,可見在回轉(zhuǎn)中心附近,軌跡間去除區(qū)域重疊較多,在邊緣處重疊部分較少。為量化這一變化,本文引入重疊率的概念

(11)

(a)行距為2

式中:an-1、an為加工軌跡徑向相鄰軌跡點(diǎn)接觸橢圓經(jīng)線方向半軸;si為徑向相鄰軌跡點(diǎn)距離。重疊率與si位置定義在an軌跡點(diǎn)位置。

(b)行距為1圖5 接觸區(qū)域在xy平面的投影

行距為1時(shí)的重疊率變化情況見圖6,重疊率從回轉(zhuǎn)軸附近的56.1%逐漸下降到26.2%。如圖6所示,即使采用較小行距,軌跡間去除區(qū)域變化依然較大。

圖6 行距為1時(shí)的重疊率變化情況

拋光加工精度可分為表面粗糙度與面形精度兩個(gè)方面。軌跡間去除區(qū)域接觸變化往往造成拋光殘留變化引起非球面上表面粗糙度不一致,也為保證上一道工序的面形精度增加了不確定因素。此外,去除區(qū)域接觸情況與其他拋光參數(shù)設(shè)定密切相關(guān),變化的去除區(qū)域接觸情況使得拋光難以維持在一個(gè)良好的拋光工藝組合上,造成了加工精度與效率的下降。因此,所采用螺旋線有必要根據(jù)所加工非球面面形進(jìn)行變化,以保證非球面上穩(wěn)定一致的軌跡間去除區(qū)域接觸情況。

3 等重疊率螺旋線軌跡規(guī)劃

為保證軌跡間去除區(qū)域的穩(wěn)定接觸,本文對阿基米德螺旋線進(jìn)行了改進(jìn)。通過建立螺旋線與投影行距變化和彈性接觸變化的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)了螺旋線的有效控制,使重疊率保持穩(wěn)定。

由于回轉(zhuǎn)型非球面距離回轉(zhuǎn)軸相同位置r具有相同的幾何性質(zhì),且螺旋線中心與回轉(zhuǎn)軸重合,即r可以代表螺旋線極徑長度。因此,建立螺旋線平面行距變化與r的關(guān)系,分析影響重疊率變化的因素,并通過r構(gòu)建兩者的聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)等重疊率的螺旋線軌跡規(guī)劃。

3.1 螺旋線行距控制

螺旋線可以看作一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡,這時(shí)P繞中心點(diǎn)O以等角速度旋轉(zhuǎn)的同時(shí),P點(diǎn)沿動(dòng)射線OP以速度v遠(yuǎn)離中心點(diǎn)。當(dāng)速度v為常數(shù)(v=k)時(shí),該螺旋線為阿基米德螺旋線。由于螺旋線徑向相鄰點(diǎn)對應(yīng)角度變化均為2π,因此平面上徑向相鄰點(diǎn)Pn-1、Pn的距離b(即行距)為

(12)

從式(12)可以觀察到,v與b有著近似的等比例變化關(guān)系,即通過改變v可以近似控制螺旋的行距變化,從而改變軌跡間去除區(qū)域的接觸。因此,引進(jìn)關(guān)于r的速度變化函數(shù)將阿基米德螺旋線v=k變?yōu)?/p>

v=d(r)k

(13)

由式(12)、式(13)得到近似行距控制如下

b(r)=d(r)2πk

(14)

3.2 等重疊率螺旋線實(shí)現(xiàn)

由于行距值較小,軌跡間相鄰點(diǎn)接觸橢圓半軸值接近。由ai-1≈ai,式(11)可以化簡為

(15)

由此重疊率變化主要由位置點(diǎn)實(shí)際行距與經(jīng)線方向半軸長度比值變化產(chǎn)生。下面,確定d(r)應(yīng)有的變化關(guān)系,以使兩者比值不發(fā)生變化。

如圖7所示,以非球面頂點(diǎn)為原點(diǎn),建立非球面母線的Oxy坐標(biāo)系。從原點(diǎn)O開始,在非球面上離散點(diǎn)P0,P1,P2,…,Pn。離散點(diǎn)水平間距b相等,b值與基礎(chǔ)螺旋線相關(guān),b=2πk。

圖7 離散點(diǎn)選取示意圖

為使si/ai不發(fā)生變化,則Pi點(diǎn)處應(yīng)有如下關(guān)系

(16)

式中:bi為螺旋線在Pi點(diǎn)處應(yīng)有行距;a0、ai分別為P0、Pi點(diǎn)處經(jīng)線方向半軸長度;hi=si/b為投影變化比。由式(2)、式(16)可導(dǎo)出

(17)

式中:m0、mi為對應(yīng)點(diǎn)在式(2)中計(jì)算得到的m值;A0、Ai為對應(yīng)點(diǎn)在式(2)中計(jì)算得到的A值。由式(14)變化關(guān)系,d(r)可由求得離散點(diǎn)經(jīng)多項(xiàng)式擬合得出

(18)

由式(18)可知,Ai、mi僅與對應(yīng)點(diǎn)主曲率變化相關(guān),hi變化僅與基礎(chǔ)行距b和非球面面形相關(guān),且基礎(chǔ)行距b對d(r)影響很小,只需根據(jù)常用行距進(jìn)行選取。在使用不同行距時(shí)無需改變b,這樣速率變化函數(shù)d(r)僅與非球面面形與拋光頭曲率變化相關(guān)。當(dāng)改變非球面材質(zhì)、拋光力等參數(shù)時(shí),等重疊率螺旋線并不發(fā)生變化。

如上建立的質(zhì)點(diǎn)徑向運(yùn)動(dòng)速率v與r的變化關(guān)系,則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到r位置時(shí),平均速度為

(19)

由此,改變后的螺旋線方程由r=kθ變?yōu)?/p>

(20)

顯然,在回轉(zhuǎn)軸處c(r)=1。在實(shí)際加工中,螺旋線軌跡離散為密集的點(diǎn)(q1,q2,q3,…,qn),相鄰點(diǎn)離回轉(zhuǎn)軸距離接近。因此,變化后的螺旋線上的點(diǎn)可迭代求出,計(jì)算公式如下

(21)

4 實(shí) 例

根據(jù)等重疊率螺旋線軌跡規(guī)劃方法,重新生成表2數(shù)據(jù)的加工軌跡。

圖8 等重疊率時(shí)的螺旋線軌跡

對行距為1的阿基米德螺旋線改變后的螺旋線軌跡見圖8。改變后螺旋線根據(jù)極徑變化調(diào)整行距,從圖中可以觀察到,變化后螺旋線從中心靠近邊緣逐漸收窄。

行距為1的阿基米德螺旋線改變后螺旋線軌跡間去除區(qū)域情況如圖9a、圖10a所示,軌跡間去除區(qū)域接觸情況基本一致。圖11為改變前后重疊率變化對比,改變后重疊率變化控制在56.1%與55.3%之間。

(a)行距為1 (b)行距為2圖9 等重疊率螺旋線去除區(qū)域接觸情況

(a)行距為1

(b)行距為2圖10 等重疊率螺旋線去除xy平面的投影

行距為2的阿基米德螺旋線改變后螺旋線軌跡間接觸區(qū)域情況如圖9b、圖10b所示,可見得到了穩(wěn)定的軌跡間去除區(qū)域接觸。

變化后螺旋線保證了軌跡間去除區(qū)域的穩(wěn)定接觸,為均勻一致的加工精度奠定了良好基礎(chǔ)。在本節(jié),對非球面應(yīng)用兩種不同的行距均取得了良好的效果,驗(yàn)證了算法的有效性。

圖11 兩種方法重疊率的對比

5 結(jié) 論

(1)由于拋光頭與非球面接觸區(qū)域變化和投影行距變化,阿基米德螺旋線軌跡間去除區(qū)域接觸情況變化較大,不能保證均勻一致的加工精度。

(2)以去除區(qū)域在非球面上的覆蓋情況衡量軌跡對加工精度的影響,并提出了重疊率的概念,量化了去除區(qū)域覆蓋變化情況。

(3)采用等重疊率螺旋線軌跡算法,保證了非球面上穩(wěn)定的去除區(qū)域覆蓋情況,為均勻一致的加工精度奠定了基礎(chǔ)。通過仿真驗(yàn)證了算法的有效性,重疊率變化范圍從改變前的56.1%～26.2%縮小到改變后的56.1%～55.3%。

[1]LEI M, BIN H.Iso-parametric CNC tool path optimization based on adaptive grid generation [J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2009, 41(5): 538-548.

[2]吳福忠, 柯映林.組合曲面參數(shù)線五坐標(biāo)加工刀具軌跡的計(jì)算 [J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 15(10): 1247-1252.

WU Fuzhong, KE Yinglin.Iso-parametric tool-path planning for five-axis compound surface machining [J].Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2003, 15(10): 1247-1252.

[3]FENG H, TENG Z.Iso-planar piecewise linear NC tool path generation from discrete measured data points [J].Computer-Aided Design, 2005, 37(1): 55-64.

[4]樊文剛, 王小椿, 姜虹, 等.一種開闊自由凹曲面五坐標(biāo)加工多點(diǎn)刀位算法 [J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 44(9): 69-73.

FAN Wengang, WANG Xiaochun, JIANG Hong, et al.Multi-point tool positioning strategy for five-axis machining of open sculptured concave surfaces [J].Journal of Xi’an Jiaotong University, 2010, 44(9): 69-73.

[5]LEE Y S.Non-isoparametric tool path planning by machining strip evaluation for 5-axis sculptured surface machining [J].Computer-Aided Design, 1998, 30(7): 559-570.

[6]王太勇, 張志強(qiáng), 王濤, 等.復(fù)雜參數(shù)曲面高精度刀具軌跡規(guī)劃算法 [J].機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2007, 43(12): 109-113.

WANG Taiyong, ZHANG Zhiqiang, WANG Tao, et al.High precision tool path planning algorithm for complex parametric surface [J].Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2007, 43(12): 109-113.

[7]MIZUGAKI Y, SAKAMOTO M, SATA T.Fractal path generation for a mental-mold polishing robot system and its evaluation by the operability [J].CIRP Annals: Manufacturing Technology, 1992, 41(1): 531-534.

[8]鄧偉杰, 鄭立功, 史亞莉, 等.離軸非球面數(shù)控拋光路徑的自適應(yīng)規(guī)劃 [J].光學(xué)精密工程, 2009, 17(1): 65-71.

DENG Weijie, ZHENG Ligong, SHI Yali, et al.Adaptive programming algorithm for generating polishing tool-path in computer controlled optical surfacing [J].Optics and Precision Engineering, 2009, 17(1): 65-71.

[9]DUNN C R, WALKER D D.Pseudo-random tool paths for CNC sub-aperture polishing and other applications [J].Optics Express, 2008, 16(23): 18942-18949.

[10]TAM H, LUI C, CK MOK A.Robotic polishing of free-form surfaces using scanning paths [J].Journal of Materials Processing Technology, 1999, 95(1): 191-200.

[11]ROSWELL A, XI F J, LIU G.Modelling and analysis of contact stress for automated polishing [J].International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2006, 46(3): 424-435.

[12]FAN C, ZHAO J, ZHANG L, et al.Predictive models of the local and the global polished profiles in deterministic polishing of free-form surfaces [J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers: Part B Journal of Engineering Manufacture, 2014, 228(8): 868-879.

[13]ROSOSHANSKY M, XI F, LI Y.Coverage based tool path planning for automated polishing using contact stress theory [J].Journal of Manufacturing Systems, 2011, 30(3): 144-153.

[14]徐芝綸.彈性力學(xué) [M].北京: 人民教育出版社, 1990: 299-302.

(編輯 杜秀杰)

Uniform-Overlap-Rate Spiral Path for Aspheric Polishing

QU Xingtian1, WANG Hongyi1, FAN Cheng2, WU Wenzheng1, LIU Xiaolong1

(1.Institute of Mechanical Science and Engineering, Jilin University, Changchun 130025, China;2.Robotics and Microsystems Centre, Soochow University, Suzhou, Jiangsu 215021, China)

To improve the polishing path and obtain better machining accuracy, the removal area generated by path on aspheric surface is analyzed, and a novel spiral tool path planning with uniform-overlap-rate is proposed.The removal area analysis following Hertz contact theory shows that the generally used Archimedes spiral fails to ensure the uniform and consistent machining accuracy due to varying contact of the removal area brought from changed elastic contact and projection path interval.Thus the concept of overlap rate is introduced to quantitatively describe the varying contact.The characteristics of varying overlap rate are revealed in the proposed path planning, and the changing relation between spiral and aspheric surface is established to guarantee the stable contact of the removal area between adjacent tool paths.The simulation shows that the range of overlap rate decreases from 56.1%-26.2% for Archimedes spiral path to 56.1%-55.3% for the proposed uniform-overlap-rate spiral path in aspheric surface polishing.

aspheric; polishing; spiral tool path; uniform overlap rate

2014-08-12。 作者簡介:曲興田(1962—),男,教授;吳文征(通信作者),男,講師。 基金項(xiàng)目:國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2011CB706702)。

時(shí)間:2015-04-21

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150421.1711.002.html

10.7652/xjtuxb201506020

TH161

A

0253-987X(2015)06-0126-06