龐霞,劉凌,劉崇新,董子晗

(西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,710049,西安)

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利用異結(jié)構(gòu)同步對(duì)鐵磁混沌電路的非線性反饋控制

龐霞,劉凌,劉崇新,董子晗

(西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,710049,西安)

為了抑制變電站中由電壓互感器引起的鐵磁混沌振蕩問(wèn)題,提出了一種異結(jié)構(gòu)同步的非線性反饋控制方法設(shè)計(jì)控制器。該方法構(gòu)造了一個(gè)正定的李雅普諾夫函數(shù),使其隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)定負(fù),并將基于李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造的控制器外加在狀態(tài)方程中,選擇狀態(tài)變量磁鏈為輸出信號(hào),并使該輸出信號(hào)追蹤正弦參考信號(hào),要求誤差信號(hào)趨于零值。為使控制信號(hào)在實(shí)際中易于提取,在控制器中用電流替換磁鏈進(jìn)行改進(jìn)。數(shù)值仿真結(jié)果表明,加入控制器后,系統(tǒng)輸出磁鏈(標(biāo)幺值)由5降到近似1,電壓(標(biāo)幺值)由17的非周期過(guò)電壓降到近似1的正弦穩(wěn)態(tài)值。改進(jìn)控制器后的系統(tǒng)輸出電壓也由非周期過(guò)電壓過(guò)渡為周期性正弦電壓,且電壓幅值大大降低,研究結(jié)果證明了該控制方法的有效性。

鐵磁混沌;非線性;混沌控制

鐵磁諧振是電力系統(tǒng)中的一種非線性電氣現(xiàn)象,人們對(duì)鐵磁諧振研究始于20世紀(jì)初,數(shù)十年來(lái),人們對(duì)鐵磁諧振從理論分析、實(shí)驗(yàn)以及計(jì)算機(jī)仿真等方面進(jìn)行了大量的研究。有學(xué)者發(fā)現(xiàn),在由變壓器或者互感器等非線性電感元件飽和引起的諧振中出現(xiàn)分頻信號(hào),該分頻信號(hào)用線性理論無(wú)法解釋,只能通過(guò)非線性動(dòng)力學(xué)中的分岔理論解釋。Kieny于1991年首先在鐵磁諧振中觀察到混沌現(xiàn)象,之后學(xué)者們進(jìn)行了相關(guān)探索[1-3]。近年來(lái),應(yīng)用混沌理論分析鐵磁諧振中的分形和混沌現(xiàn)象是比較熱門(mén)的研究?jī)?nèi)容[4-8],但就電力系統(tǒng)中鐵磁混沌抑制的工作還需廣泛開(kāi)展。

鐵磁混沌是鐵磁諧振的一種,呈現(xiàn)非周期振蕩特性。在中性點(diǎn)不接地的配網(wǎng)變電站中含有電磁式電壓互感器(PT),PT的勵(lì)磁電感在某些操作中受到?jīng)_擊會(huì)飽和,飽和的勵(lì)磁電感與母線對(duì)地電容參數(shù)匹配可能形成非線性諧振系統(tǒng),該局部非線性系統(tǒng)就可能會(huì)產(chǎn)生分岔和混沌振蕩[9]。鐵磁混沌振蕩會(huì)產(chǎn)生比周期性振蕩更高的過(guò)電壓,可能會(huì)燒毀互感器等設(shè)備,或?qū)е略O(shè)備外絕緣閃絡(luò)、爆炸等嚴(yán)重事故的發(fā)生。近年來(lái),由于PT引起的變電站鐵磁諧振時(shí)有發(fā)生,溫州巨溪變電站[10]35 kV母線因電壓互感器發(fā)生鐵磁振蕩。某發(fā)電廠廠用變電站[11]6 kV系統(tǒng)因鐵磁諧振造成PT燒毀導(dǎo)致廠用電停電事故,浙江部分變電站[12]35 kV側(cè)因電壓互感器發(fā)生鐵磁諧振燒壞高壓熔絲等。

為了減少鐵磁混沌過(guò)電壓所帶來(lái)的危害,對(duì)電力系統(tǒng)中PT飽和所產(chǎn)生的鐵磁混沌的抑制工作顯得較為迫切。近年來(lái),國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)鐵磁混沌的抑制已進(jìn)行了很多相關(guān)研究[13-15],文獻(xiàn)[13]考慮時(shí)滯因素對(duì)鐵磁諧振的影響,設(shè)計(jì)了一種脈沖時(shí)滯同步抑制鐵磁諧振的方法;文獻(xiàn)[14]采用改進(jìn)的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)中性點(diǎn)直接接地系統(tǒng)的鐵磁混沌控制進(jìn)行研究;文獻(xiàn)[15]基于常值脈沖法研究了鐵磁混沌的抑制,并證實(shí)了其有效性。

以上對(duì)鐵磁混沌的研究大多集中在中性點(diǎn)直接接地系統(tǒng)上,本文對(duì)中性點(diǎn)非直接接地系統(tǒng)的鐵磁混沌電路進(jìn)行仿真,并提出一種基于李雅普諾夫函數(shù)的異結(jié)構(gòu)同步非線性反饋混沌控制方法,控制本文提出模型中的鐵磁混沌,以期為實(shí)際鐵磁混沌的抑制提供理論指導(dǎo)。

1 鐵磁混沌模型

1.1 理論模型

本文研究了劉崇新教授提出的一個(gè)由實(shí)際變電站接線圖簡(jiǎn)化而來(lái)的含有非線性電感的三階非自治鐵磁混沌電路[16],如圖1所示。圖中n=N1/N2,N1、N2為互感器原、副邊線圈的匝數(shù),電路激勵(lì)為正弦交流電壓源u(t)=sin(ωt),C1、C2、R1、R2均為線性元件。

對(duì)于電磁式電壓互感器,其電感為非線性的,當(dāng)激勵(lì)的幅值增大到一定值時(shí),線圈磁通鏈會(huì)飽和,其電流與磁通的關(guān)系用奇次方多項(xiàng)式擬合

i3=aψ3+bψ

(1)

式中:a=1;b=1。

R1為電源內(nèi)阻;R2為母線電阻;C1和C2均為母線對(duì)地電容圖1 鐵磁混沌電路

對(duì)于圖1,列寫(xiě)方程可得

(2)

(3)

再令x=φ,y=uC1/ω,z=uC2/ω,α=1/(ωC1R2),β=1/(ωC2R2),ζ=1/(ω2C1),η=1/(ωC2R1),F=Um/(ω2C2R1),μ=(β+η),則可得狀態(tài)方程

(4a)

(4b)

(4c)

當(dāng)Fsinτ為0時(shí),式(4)為非線性自治系統(tǒng),其原點(diǎn)為平衡點(diǎn)。當(dāng)Fsinτ不為0時(shí),Fsinτ為周期函數(shù),故增加一個(gè)時(shí)間維,式(4)改寫(xiě)為一個(gè)四階自治方程,即為一個(gè)等價(jià)扭擴(kuò)系統(tǒng),相應(yīng)的方程如下

(5)

式中:θ=τ+τ0。t作為一個(gè)新的獨(dú)立變量,該四維系統(tǒng)有4個(gè)獨(dú)立變量(x,y,z,τ)。在一定的參數(shù)條件下,當(dāng)電源的幅值F達(dá)到一定值時(shí),這個(gè)四階自治等價(jià)扭擴(kuò)系統(tǒng)即出現(xiàn)混沌。文獻(xiàn)[13]對(duì)該系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了詳細(xì)分析,文獻(xiàn)[9]還研究了電壓互感器的勵(lì)磁特性對(duì)該電路的鐵磁混沌的影響。

1.2 數(shù)值仿真

在相空間中,穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于一點(diǎn),周期態(tài)對(duì)應(yīng)于封閉曲線,混沌運(yùn)動(dòng)則對(duì)應(yīng)于一定區(qū)域內(nèi)隨機(jī)分離的永不封閉的軌跡。根據(jù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果,畫(huà)出相空間中相軌跡隨時(shí)間變化的相圖,通過(guò)對(duì)比分析以確定系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象。

設(shè)置參數(shù)ζ=0.65,α=0.25,β=0.13,η=0.65,C1=1.56×10-5F,C2=3×10-5F,R1=163.3 Ω,R2=816.6 Ω。

(a)三維相圖

(b)x-y相圖圖2 F=260.80時(shí)鐵磁混沌系統(tǒng)的相圖

圖2為鐵磁混沌系統(tǒng)數(shù)值仿真的x-y相圖和x-y-z三維相圖,其相圖為奇怪吸引子,呈現(xiàn)了混沌振蕩的基本特性。圖3為F=260.8、z=0截面的龐加萊映射圖,證明F=260.8時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌。圖2和圖3中的數(shù)值均以標(biāo)幺值表示。

圖3 F=260.8時(shí)z=0截面的龐加萊映射

圖4所示為隨F變化的李雅普諾夫指數(shù)譜。當(dāng)存在正的李雅普諾夫指數(shù)時(shí),系統(tǒng)為混沌振蕩狀態(tài)。圖4顯示激勵(lì)F=19時(shí),李雅普諾夫指數(shù)第一次出現(xiàn)正值L1=0.003 535,L2=0,L3=-0.246 4,L4=-0.787 0,系統(tǒng)出現(xiàn)混沌振蕩。當(dāng)F=73時(shí),最大李雅普諾夫指數(shù)為0.030 45;當(dāng)F=75時(shí),最大李雅普諾夫指數(shù)為0.088 63。F在區(qū)間(231,282)中,系統(tǒng)處于混沌振蕩狀態(tài)。當(dāng)F=260.8時(shí),L1=0.124 7,L2=0,L3=-0.372 0,L4=-0.782 7,李雅普諾夫維數(shù)為

李雅普諾夫維數(shù)為分?jǐn)?shù)維數(shù),且存在正的李雅普諾夫指數(shù),故該系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌振蕩。

圖4 隨F變化的李雅普諾夫指數(shù)譜

2 鐵磁混沌控制

由于混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)初始值極端敏感,故從任意靠近的兩個(gè)初始值出發(fā)的軌道在一定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)都會(huì)以指數(shù)形式分離。系統(tǒng)初始值極其微小的差異都能夠使系統(tǒng)的振蕩輸出產(chǎn)生本質(zhì)的變化。

圖5是混沌狀態(tài)下x和y的時(shí)域信號(hào)圖,其值為標(biāo)幺值。從圖中可以看到,鐵磁混沌使得電壓急劇增加,電流大幅度上升,可能導(dǎo)致電壓互感器燒毀、外絕緣閃絡(luò)等嚴(yán)重事故的發(fā)生,嚴(yán)重危害電力輸變電網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行的可靠性和安全性,故針對(duì)電力系統(tǒng)中PT飽和所產(chǎn)生的混沌狀態(tài)的抑制顯得較為迫切。

圖5 混沌狀態(tài)的時(shí)域信號(hào)圖

在系統(tǒng)分析中,從數(shù)學(xué)方面來(lái)考慮,經(jīng)常借助于構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)V(x,y)來(lái)進(jìn)行輔助分析。李雅普諾夫判斷系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的思想是:利用V(x,y)及通過(guò)方程組得到全導(dǎo)數(shù)dV(x,y)/dt來(lái)幫助確定系統(tǒng)零解是否具有穩(wěn)定性。

對(duì)于任一描述非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的微分方程dx/dt=f(x),若存在一個(gè)正定的函數(shù)V(x),且函數(shù)V(x)關(guān)于方程dx/dt=f(x)的全導(dǎo)數(shù)dV/dt是定負(fù)的,那么該非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的零解則是漸近穩(wěn)定的。這是由于導(dǎo)數(shù)dV/dt<0,其函數(shù)V(x)隨時(shí)間得到變化率是定負(fù)的,因此函數(shù)V(x)隨時(shí)間t的增大而不斷減小,這時(shí)方程的軌線就一直穿過(guò)閉曲線族V(x)=C,因而系統(tǒng)的響應(yīng)x(t)最終會(huì)趨于零解。

于是式(4b)變?yōu)?/p>

(6)

(7)

(8)

這樣就使

(9)

(10)

e(τ)=x(τ)-r(τ)

(11)

(12)

把式(10)～式(12)代入式(8),得

(13)

于是,得到加控制量后的系統(tǒng)方程

(14a)

(14b)

(14c)

假定要追蹤的參考信號(hào)為r(τ)=sin(τ)。圖6是該系統(tǒng)加控制量后的狀態(tài)變量x和y的時(shí)域信號(hào)及誤差曲線,其值為標(biāo)幺值。對(duì)比圖5與圖6可得,鐵磁混沌振蕩的時(shí)域波形是非周期的,且磁鏈x(τ)幅值(標(biāo)幺值)約為5,電壓y(τ)的幅值(標(biāo)幺值)約為17;加控制器后的系統(tǒng)波形圖均為周期的,磁鏈和電壓的波形幅值(標(biāo)幺值)均為1,誤差信號(hào)呈指數(shù)衰減,約一個(gè)周期內(nèi)就趨于0,該控制器較好地追蹤了給定的目標(biāo)信號(hào)。

圖6 加控制量后的時(shí)域信號(hào)及誤差信號(hào)

在實(shí)際應(yīng)用中,由于x的物理含義是磁鏈,它不易測(cè)得,故要考慮使用近似量代替,還不能影響控制的效果。因?yàn)閤要追蹤的是給定信號(hào)r,即若干時(shí)間后x與r的誤差很小,而ax3+bx是電流i3的大小,容易提取,故對(duì)式(13)作如下修改,目的在于在u(τ)的表達(dá)式中用ax3+bx來(lái)取代x項(xiàng)

ζ(ax3+bx)+a(r3-x3)+(b-1)(r-x)=

(ζ-1)(ax3+bx)

(15)

(16)

改進(jìn)后的誤差函數(shù)曲線如圖7所示,其值為標(biāo)幺值。以實(shí)際應(yīng)用為目的,用容易獲得的電流量代替不易獲得的磁鏈改進(jìn)控制器。與圖5比較,加控制器后系統(tǒng)的波形由非周期變?yōu)橹芷诓ㄐ?且幅值大大降低,誤差信號(hào)呈指數(shù)衰減,不到兩個(gè)周期就可衰減趨于0。

圖7 改進(jìn)后的誤差曲線

通過(guò)構(gòu)造正定的李雅普諾夫函數(shù),并使其隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為定負(fù)的,得到異結(jié)構(gòu)同步的非線性反饋控制器。給定參考信號(hào)r(τ),在圖1所示電路的C1支路并接一個(gè)獨(dú)立電流源,其值由式(15)決定,并用斷路器控制其通斷,如圖8所示,在出現(xiàn)過(guò)電壓的情況下接通該電流源,可有效地防止鐵磁諧振過(guò)電壓帶來(lái)的危害。對(duì)該控制器進(jìn)行了改進(jìn),使其能更好地應(yīng)用到實(shí)際中。

圖8 鐵磁混沌控制的實(shí)現(xiàn)

3 結(jié) 論

本文針對(duì)實(shí)際變電站的接線情況建模,由電路模型推導(dǎo)出其數(shù)學(xué)模型,通過(guò)數(shù)值仿真得到該模型的吸引子相圖、龐加萊映射和李雅普諾夫指數(shù)譜,還發(fā)現(xiàn)該電路模型確實(shí)存在鐵磁混沌振蕩。為控制該電路中的鐵磁混沌,本文提出了一種基于李雅普諾夫函數(shù)的異結(jié)構(gòu)同步非線性反饋控制方法構(gòu)造控制器,使系統(tǒng)的狀態(tài)變量可以追蹤任一目標(biāo)信號(hào)。由于磁鏈不易獲得,對(duì)原控制器進(jìn)行改進(jìn),用容易獲得的電流替換原控制器中的磁鏈,使其能夠應(yīng)用于實(shí)際。外加控制器后,系統(tǒng)狀態(tài)變量的時(shí)域波形由非周期波形變?yōu)橹芷诓ㄐ?且幅值大大降低,基本為正常運(yùn)行值,且誤差曲線呈指數(shù)衰減至0。

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曹軍義,謝航,蔣莊德.分?jǐn)?shù)階阻尼Duffing系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性.2009,43(3):50-54.[doi:10.7652/xjtuxb200903 011]

劉芳.電流型單端初級(jí)電感變換器的不穩(wěn)定性與分岔控制.2007,41(12):1465-1469.[doi:10.7652/xjtuxb200712018]

王晶,高金峰,馬西奎.同步一類結(jié)構(gòu)部分未知混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)非線性觀測(cè)器.2007,41(10):1165-1169.[doi:10.7652/xjtuxb200710009]

張旭東,熊靜琪,王叢嶺.基于遺傳算法信息組合的自適應(yīng)模糊控制.2007,41(7):838-841.[doi:10.7652/xjtuxb200707 019]

逯俊杰,劉崇新,張作鵬,等.基于狀態(tài)觀測(cè)器的分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的同步控制.2007,41(4):497-500.[doi:10.7652/xjtuxb200704026]

郭振宇,程博,葉敏,等.一種并行混沌差異演化算法.2007,41(3):299-302.[doi:10.7652/xjtuxb200703008]

(編輯 杜秀杰)

Nonlinear Feedback Control in Ferromagnetic Chaotic Circuit with Different Structure Synchronization

PANG Xia,LIU Ling,LIU Chongxin,DONG Zihan

(School of Electrical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To suppress the ferromagnetic chaotic oscillation from voltage transformer in substations, a nonlinear feedback control strategy with different structure synchronization is proposed to design the controller.A positive definite Lyapunov function with negative definite derivative over time is constructed, and the tentative controller takes part in the state equation, where the flux serves as the output signal to track sinusoidal reference signal to keep error signal as zero.For the purpose of easy extracting, the current is chosen instead of the flux.The numeric simulation shows that once adding the controller, the system flux decreases from 5 p.u.to 1 p.u., and voltage decreases from non-periodic overvoltage of 17 p.u.to steady sinusoidal value of 1 p.u., and the previous non-periodic overvoltage output can be transformed into periodic sinusoidal voltage with greatly reduced amplitude.

ferromagnetic chaos; nonlinear; chaos control

2014-07-09。 作者簡(jiǎn)介:龐霞(1989—),女,碩士生;劉凌(通信作者),男,講師。 基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51177117,51307130);教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20100201110023)。

時(shí)間:2014-10-31

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141031.1642.012.html

10.7652/xjtuxb201504004

TM132

A

0253-987X(2015)04-0018-06