劉　莉,楊樂平,蔡偉偉,莊傳剛

(1　國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院,長沙　410043;2　空間物理重點實驗室,北京　100076)

基于微分平坦的滑翔式再入軌跡優(yōu)化設(shè)計*

劉莉1,2,楊樂平1,蔡偉偉1,莊傳剛2

(1國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院,長沙410043;2空間物理重點實驗室,北京100076)

摘要:為優(yōu)化設(shè)計多約束條件下高超聲速再入軌跡,研究了一種基于微分平坦理論的數(shù)值方法。引入獨立偽控制輸入及其始終為零的附加約束,擴展系統(tǒng)的微分平坦屬性,將初始優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換到平坦輸出空間中,避免積分運算的同時降低了設(shè)計維度;采用樣條插值參數(shù)化平坦輸出,將平坦輸出優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題求解。仿真表明:該方法能夠較快的設(shè)計出滿足約束的再入軌跡,具有一定的工程參考價值。

關(guān)鍵詞:高超聲速滑翔;軌跡優(yōu)化;微分平坦;樣條插值

0引言

高超聲速再入滑翔過程中,飛行器面臨嚴(yán)峻的氣動熱、動壓和過載等約束,優(yōu)化設(shè)計滿足各類約束的飛行軌跡是其應(yīng)用的關(guān)鍵技術(shù)之一,也是當(dāng)前研究的熱點問題[1-3]。然而,約束復(fù)雜、積分運算、決策變量過多等因素極大限制了此類優(yōu)化問題的求解效率。近年來,一種基于微分平坦理論的軌跡優(yōu)化方法因其在減少計算量、提高求解效率方面效果顯著而引起廣泛關(guān)注[4-5]。該方法從系統(tǒng)的微分平坦屬性著手,構(gòu)建系統(tǒng)狀態(tài)和控制變量與平坦輸出間的映射關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)換為平坦輸出的優(yōu)化問題,避免積分運算的同時降低了系統(tǒng)設(shè)計的維度。

文中針對高超聲速滑翔飛行器軌跡優(yōu)化問題,引入偽控制輸入及其始終為零的附加約束,擴展了再入運動模型的平坦屬性,使之適用于基于微分平坦的軌跡優(yōu)化方法;采用樣條插值函數(shù)參數(shù)化平坦輸出,將平坦輸出優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題,求解得到優(yōu)化的滑翔式再入軌跡。

1再入軌跡優(yōu)化問題描述

1.1　運動模型

(4)

1.2　約束條件

(7)

1.3　性能指標(biāo)

性能指標(biāo)可以依據(jù)飛行任務(wù)及軌跡規(guī)劃目的的不同合理選擇。飛行器再入過程中經(jīng)歷惡劣的氣動熱環(huán)境,為降低防熱系統(tǒng)重量,提高有效載荷比重,可選擇駐點熱流峰值最小或總加熱量最小為性能指標(biāo)。對到達指定目標(biāo)點類任務(wù),飛行時間也是一類重要的性能指標(biāo)。

2再入軌跡優(yōu)化方法

2.1　微分平坦方法

(8)式中:x∈Rn為狀態(tài)變量;u∈Rm為控制輸入,f為連續(xù)光滑函數(shù)。若存在一組輸出y∈Rm滿足:

yi=hi(x,u,…,u(ri)),(i=1,…,m)

(9)

且系統(tǒng)狀態(tài)和輸入能夠表示為:

(10)

則稱該系統(tǒng)是微分平坦的,并記y為平坦輸出,ri(i=1,…,m)為yi的相對階。

平坦系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入與平坦輸出間存在可逆映射關(guān)系,即系統(tǒng)運動行為能夠完全由平坦輸出決定。因此可以將初始的軌跡優(yōu)化問題映射到平坦輸出空間中,通過優(yōu)化平坦輸出進而設(shè)計出系統(tǒng)期望的狀態(tài)和輸入?；谖⒎制教沟能壽E優(yōu)化方法具有下列優(yōu)勢:1)利用平坦輸出及其有限階導(dǎo)數(shù)表示系統(tǒng)狀態(tài)和輸入,可以消除微分動力學(xué)約束;2)由于平坦輸出與控制輸入維數(shù)相等,對于具有高維狀態(tài)空間的系統(tǒng),該方法能夠減少系統(tǒng)分析設(shè)計的維數(shù),降低問題求解難度。

2.2　再入運動模型微分平坦屬性

研究表明再入運動三自由度運動模型不具備微分平坦屬性[7],無法直接基于微分平坦開展軌跡設(shè)計。因此,首先引入偽控制輸入及其附加約束,擴展系統(tǒng)的平坦屬性。在再入運動模型中引入獨立于λ和σ的偽控制輸入T:

(11)

以無量綱地心距z、經(jīng)度θ和緯度φ為平坦輸出,分別記為ζ1=z,ζ2=θ,ζ3=φ,則其余狀態(tài)變量可表示為:

(12)

式(12)對無量綱時間τ求導(dǎo)得:

(13)

將式(2)、式(4)、式(12)和式(13)代入式(1)中得到泛化升力系數(shù)關(guān)于平坦輸出及其導(dǎo)數(shù)的表達式:

(14)

將式(12)~式(14)代入式(1)得到傾側(cè)角表達式:

(15)

(16)

綜上,偽控制輸入T的引進擴展了系統(tǒng)的微分平坦屬性,使得再入運動的狀態(tài)和輸入均可表示成平坦輸出及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù),從而將初始優(yōu)化問題映射到平坦輸出空間中求解。為確保偽控制輸入引入前后優(yōu)化問題的等價性,要求T始終為零,即:

(17)

2.3　平坦輸出優(yōu)化

本節(jié)對平坦輸出進行離散化處理,將平坦輸出優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題,應(yīng)用合適的非線性優(yōu)化算法求解得到平坦輸出解。

將無量綱時間區(qū)間τ∈[τ0,τf]轉(zhuǎn)換到κ∈[0,1]上:

(18)

則平坦輸出對無量綱時間τ的導(dǎo)數(shù)滿足:

(19)

采用區(qū)間κ∈[0,1]上均勻分布的N個離散點對平坦輸出進行離散,并以這些離散點為節(jié)點插值逼近平坦輸出。考慮到平坦輸出與系統(tǒng)狀態(tài)和輸入間的映射關(guān)系涉及到平坦輸出的一階和二階導(dǎo)數(shù)信息,選用分段三次樣條插值函數(shù)來逼近平坦輸出,以確保插值點處平坦輸出二次連續(xù)可微。通過對插值函數(shù)求導(dǎo)近似平坦輸出的導(dǎo)數(shù),最終將問題轉(zhuǎn)換為以插值點上的平坦輸出值為決策變量的非線性規(guī)劃問題。采用序列二次規(guī)劃算法進行求解得到期望的平坦輸出軌跡,代入相關(guān)表達式中即可得到滑翔式再入最優(yōu)軌跡及其控制量。

3仿真分析

以在[0,1]上均勻分布的30個點為插值點,利用三次樣條插值函數(shù)逼近平坦輸出,則轉(zhuǎn)換所得的非線性規(guī)劃問題包含91個決策變量。選取[0,1]上等距分布的40個點為配點,要求優(yōu)化軌跡在配點處滿足所有路徑約束。為降低優(yōu)化求解的難度,設(shè)置偽控制輸入引起的附加約束容忍度為5×10-3,優(yōu)化得到的飛行時間為1 693 s。

表1　再入飛行任務(wù)描述

圖1　平坦輸出曲線

圖2　其余狀態(tài)變量曲線

圖3　控制輸入曲線

圖4　路徑約束曲線

4結(jié)論

文中基于微分平坦理論研究了高超聲速再入滑翔飛行器軌跡優(yōu)化問題,根據(jù)理論分析和數(shù)值仿真得到如下結(jié)論:

1)偽控制輸入及其附加約束的引入使得再入運動模型形式上呈平坦系統(tǒng),適用于基于微分平坦的軌跡優(yōu)化方法,擴展了微分平坦方法的應(yīng)用范圍;

2)利用系統(tǒng)狀態(tài)和控制變量與平坦輸出及其導(dǎo)數(shù)間的可逆映射關(guān)系可以將軌跡優(yōu)化問題映射到平坦輸出空間中,降低系統(tǒng)設(shè)計的維度并消除動力學(xué)微分約束,提高求解效率;

3)數(shù)值仿真表明所研究的方法能夠較快的優(yōu)化得到滿足各類約束的一般再入軌跡,其對于大轉(zhuǎn)彎之類的特殊情況的適用性有待進一步研究。

參考文獻:

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收稿日期:2014-03-10

作者簡介:劉莉(1973-),女,吉林松原人,高級工程師,碩士,研究方向:臨近空間飛行器指揮控制及在線任務(wù)規(guī)劃。

中圖分類號:V448.2

文獻標(biāo)志碼:A

Differential Flatness Based Trajectory Optimization for Glide-reentry

LIU Li1,2,YANG Leping1,CAI Weiwei1,ZHUANG Chuangang2

(1College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defence Technology, Changsha 410043, China;

2Science and Technology on Space Physics Laboratory, Beijing 100076, China)

Abstract:Concentrating on trajectory optimization problem of hypersonic reentry under multi-constraints, a differential flatness based numerical approach was studied. By introducing the concept of pseudo input and its additional zero value constraint, flatness of the reentry model was extended. Thus, the original optimization problem was mapped into flat output space, avoiding integral computation and reducing design dimension. The flat output optimization problem was ultimately transformed into a nonlinear programming problem by parameterizing the flat outputs with cubic spline functions. Numerical simulations indicate that the approach presented can generate trajectories that observe multi-constraints rapidly, and have some illumination for engineering application.

Keywords:hypersonic glide; trajectory optimization; differential flatness; spline interpolation