BOOST變換器不連續(xù)導(dǎo)通模式下的混沌現(xiàn)象分析

蘇嘉梁，潘峰，劉勇平

(太原科技大學(xué)，太原 030024)

摘要：研究輸出電壓反饋型 Boost DC/DC 變換器，構(gòu)建并推導(dǎo)了不連續(xù)導(dǎo)通方式下(即DCM方式)變換器的離散映射模型。基于此數(shù)學(xué)模型，以倍周期分岔理論分析了變換器的分岔特性。并利用Matlab 軟件搭建仿真模塊，通過(guò)仿真驗(yàn)證了離散模型的正確性，并且詳細(xì)給出了變換器從穩(wěn)定逐步到混沌的全過(guò)程。該文的研究具有基礎(chǔ)性，為更加深入研究Boost變換器工作時(shí)的混沌現(xiàn)象打下基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：混沌；BOOST變換器；壓控模式；不連續(xù)傳導(dǎo)模式

收稿日期：2014-12-26

作者簡(jiǎn)介：蘇嘉梁(1986-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殡娏ψ儞Q器的非線性動(dòng)力學(xué)行為；

中圖分類號(hào)：TM46文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DC/DC變換器作為一個(gè)分段強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，分岔和混沌現(xiàn)象十分普遍[1]。這些非線性現(xiàn)象對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性有直接影響，各國(guó)學(xué)者已對(duì)此進(jìn)行了大量研究并取得豐富成果，已有研究表明，變換器的主電路參數(shù)在工作時(shí)具有一個(gè)穩(wěn)定域，一旦不在此范圍，即失去穩(wěn)態(tài)，甚至進(jìn)入混沌。

研究非線性系統(tǒng)最根本的是構(gòu)建一個(gè)精確且合適的數(shù)學(xué)模型。現(xiàn)有的DC/DC變換器建模方法主要有倆大類：數(shù)值法和解析法[2]。缺點(diǎn)是無(wú)法得到解析解，難以反映變換器實(shí)際工作機(jī)理。解析法又可分為連續(xù)法和離散法倆大類。連續(xù)法在低頻下可以利用成熟的經(jīng)典控制理論來(lái)分析，并且誤差很小，但是在高頻下則不能正確反映變換器的實(shí)際工作機(jī)理。離散法精度高且可以利用計(jì)算機(jī)迭代從而其速度快，迭代得到的解析解也可準(zhǔn)確反映出變換器的實(shí)際工做狀態(tài)?，F(xiàn)有研究表明：離散數(shù)學(xué)模型最能反映DC/DC變換器豐富的分岔與混沌現(xiàn)象。

為此，以電壓控制模式Boost DC/DC變換器作為研究對(duì)象，全面考慮變換器的3個(gè)工作模態(tài)，建立了不連續(xù)導(dǎo)通模式下(即DCM模式)變換器的離散數(shù)學(xué)模型，并據(jù)此給出分岔圖，采用倍周期分岔理論進(jìn)行混沌現(xiàn)象研究，最后進(jìn)行Matlab仿真給出時(shí)域波形圖和相圖。整個(gè)研究過(guò)程不失一般性，適合于其他DC/DC變換器的建模與混沌分析，為進(jìn)一步分析混沌現(xiàn)象建立了基礎(chǔ)。

1壓控模式Boost變換器的系統(tǒng)描述

Boost變換器有兩種工作模式：連續(xù)導(dǎo)通模式(CCM，即在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)始終保持電感電流iL>0)和不連續(xù)導(dǎo)通方式(DCM，即一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)電感電流會(huì)下降到零直到下一個(gè)周期的到來(lái))。連續(xù)導(dǎo)通模式下，狀態(tài)變量為電感電流iL和電容電壓vc，變換器是二階系統(tǒng)；不連續(xù)導(dǎo)通模式即DCM下，由于電感電流iL在模態(tài)(3)中斷流為0，狀態(tài)變量只有電容電壓vc，此時(shí)變換器降階為一階系統(tǒng)。由于DCM的基礎(chǔ)性，并對(duì)CCM方式的理解有重要幫助，故針對(duì)DCM進(jìn)行詳細(xì)分析。

Boost變換器電壓控制模式的示意圖一般可由圖1所示。圖中E為輸入電壓；iL為電感電流；S為開關(guān)元件；VD為二極管；vc為負(fù)載端輸出電壓；Vref為反饋控制給定參考電壓；k是比例反饋系數(shù)；△dn是第n個(gè)占空比變化量；D是穩(wěn)態(tài)占空比。

圖1　壓控模式Boost變換器的示意圖

由于一般變換器的開關(guān)周期都很小，所以可作如下簡(jiǎn)化：假設(shè)實(shí)際上是指數(shù)變化的電感電流在開關(guān)周期內(nèi)是線性變化的。則可以做出DCM下電感電流示意圖如圖2所示：

圖2　DCM下電感電流示意圖

令：t1=tn′-tn;t2=tn″-tn′;t3=tn+1-tn″，則有如下關(guān)系成立：

(1)

式(1)中xn=vc(tn)，t2由具體的變換器的結(jié)構(gòu)決定，Boost變換器DCM下t2推導(dǎo)如下(其余變換器與此類似)：DCM下電感電流波形圖2所示，其中iL(tn)=iL(tn″)=iL(in+1)=0，則有：

2Boost變換器離散模型

Boost變換器工作在DCM時(shí)，在S一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)有3個(gè)工作模態(tài)：(1)模態(tài)1：S導(dǎo)通，VD關(guān)斷，電感由電源供電儲(chǔ)能，電容放電對(duì)負(fù)載供電；(2)模態(tài)2：S關(guān)斷，VD導(dǎo)通，電源E和電感L共同對(duì)負(fù)載供電，此時(shí)電容充電；(3)模態(tài)3：S關(guān)斷，VD也關(guān)斷，此時(shí)電感電流iL下降到零，僅有電容放電對(duì)負(fù)載提供能量直到下一個(gè)開關(guān)周期。

對(duì)變換器的3種模態(tài)進(jìn)行分析，可得其狀態(tài)方程的表達(dá)式為：

(2)

可以看出狀態(tài)方程是一個(gè)非齊次線性微分方程，類似于標(biāo)量微分方程的求解，可以求出模態(tài)1(tn≤t

(3)

特別的，由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣積分運(yùn)算規(guī)則，當(dāng)A1可逆時(shí)，狀態(tài)方程的解可化為：

(4)

注意到t=tn′時(shí)刻既是模態(tài)1的終值亦為模態(tài)2的起始值。同理，時(shí)刻t=tn″既是模態(tài)2的終值也是模態(tài)3的初值。所以，在一個(gè)完整開關(guān)周期內(nèi)，通過(guò)式(3)可推出Boost變化器在DCM時(shí)的離散映射迭代方程：

(5)

將Bi(i=1,2,3)的值代入式(5)并注意到A2可逆，式(5)最終可寫為：

(6)

對(duì)于式(6)，若各電路參數(shù)已確定，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣eAiti(i=1,2,3)的精度決定著最終離散模型的精度。一般而言eAiti有如下四種方法：

(1)直接定義法；

(2)約旦標(biāo)準(zhǔn)化法；

(3)拉氏變化法；

(4)凱萊-哈密頓法；

上述4種方法求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣eAiti，各自有各自的最佳試用范圍，但是殊途同歸，最終得到的結(jié)果應(yīng)該是一樣的。研究表明：假設(shè)開關(guān)周期遠(yuǎn)小于變換器負(fù)載時(shí)間常數(shù)，這時(shí)可忽略高次項(xiàng)，僅用前三項(xiàng)表示，此時(shí)精度就基本符合工作實(shí)際。也就是說(shuō)時(shí)間的量級(jí)為t2級(jí)。采用第一種方法即直接定義法，以Taylor展開式前三項(xiàng)來(lái)近似eAiti，則有：

(7)

將式(7)代入式(6)，可得第一部分為：

運(yùn)算中忽略f(t3)項(xiàng)及更高階次項(xiàng)且注意到T=t1+t2+t3可得：

(8)

可推出式(6)中第二部分為：

(9)

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的合并同類項(xiàng)，可得：

(10)

由此可得DCM下Boost變換器離散映射模型為：

(11)

其中xn=vc(tn)=vc(nT)；

由圖(1)可知Boost變換器的一般控制率為：

dn=D-k(vc-Vref)=D-k(xn-X)

(12)

(13)

則得到BoostDC/DC變換器DCM下閉環(huán)離散迭代映射方程為：

(14)

3Boost變換器穩(wěn)定性分析

現(xiàn)有的研究表明，在變換器主電路參數(shù)確定后，控制電路的設(shè)計(jì)直接決定著系統(tǒng)的穩(wěn)定性[3]。所以，以電壓反饋系數(shù)為研究對(duì)象，分析其混沌與分岔現(xiàn)象。取Boost變換器參數(shù)如下[2]：

表1　Boost 變換器參數(shù)

由上述給定值可計(jì)算出參數(shù)α,β值，分別為：

α=0.887 1β=1.203 1

下面應(yīng)用倍周期分岔理論具體分析，給出電壓控制模式DCM下Boost變換器產(chǎn)生分岔行為的條件。

3.1不動(dòng)點(diǎn)

不動(dòng)點(diǎn)也稱為平衡點(diǎn)，系統(tǒng)處于不動(dòng)點(diǎn)時(shí)其狀態(tài)不發(fā)生變化。當(dāng)變換器處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，占空比為D，此時(shí)輸出電壓等于參考電壓。所以可求出變換器不動(dòng)點(diǎn)的值。則有：

x*=X=25

(15)

將式代(15)入式(14)，即可求出系統(tǒng)的穩(wěn)定占空比D：

(16)

由此亦可得知，設(shè)計(jì)電路參數(shù)時(shí)，必須滿足：

3.2穩(wěn)定域與失穩(wěn)邊界

一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無(wú)法完成預(yù)期目標(biāo)的，因此一個(gè)系統(tǒng)最重要的特性莫過(guò)于它的穩(wěn)定性。DCM下Boost變換器的穩(wěn)定性判別條件[5]為：

(17)

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出電壓固定為參考電壓，系統(tǒng)的占空比為：0≤dn≤1，則對(duì)式(14)求導(dǎo)可得：

(18)

代入表1中數(shù)據(jù)可得：

系統(tǒng)的穩(wěn)定域：

(19)

(20)

k=k*時(shí)，變換器開始進(jìn)入失穩(wěn)狀態(tài)，不再處于穩(wěn)定的周期1態(tài)。由式(20)易知，變換器失穩(wěn)邊界k*與電路參數(shù)相關(guān)。

4驗(yàn)證與仿真

由離散映射模型式(14)為基礎(chǔ)，以反饋系數(shù)k為分岔系數(shù)，利用Matlab仿真可得到其分岔圖，如圖(3)所示：

圖3　以 k為分岔參數(shù)的分岔圖

利用Matlab simulink模塊，搭建Boost DC/DC變換器仿真電路[6-7]，得到圖(4)~圖(7)如下。

由分岔圖可看出反饋系數(shù)k<0.08時(shí)，變換器處于穩(wěn)定狀態(tài)；k=0.08時(shí)，變換器首次發(fā)生倍周期分岔，進(jìn)入到周期2態(tài)；k=0.105時(shí)，變換器再次倍周期分岔，進(jìn)入到周期4態(tài)；k=0.111時(shí)，變換器最終發(fā)生混沌。

變換器的電感電流和輸出電壓在不同反饋參數(shù)k下的時(shí)域圖及相圖如圖4~圖7所示。從圖4中可看出變換器在穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出電壓和電感電流在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)僅有一個(gè)極值，相圖為一個(gè)極限環(huán)；在倍周期分岔時(shí)(圖5)，輸出電壓和電感電流在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)出現(xiàn)2個(gè)不同極值，相圖變?yōu)?分裂環(huán)；在4周期分岔時(shí)(圖6)，輸出電壓和電感電流在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)出現(xiàn)4個(gè)不同極值，相圖演變?yōu)?分裂環(huán)；混沌時(shí)刻(圖7)，時(shí)域波形已失去周期性，成為一種混雜無(wú)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)。相圖也變?yōu)闃O限環(huán)簇。

分岔圖與Simulink仿真圖均完整的展現(xiàn)了BoostDC/DC變換器工作運(yùn)行從穩(wěn)態(tài)到倍周期態(tài)最終到混沌的全過(guò)程[8-9]。并且一一對(duì)應(yīng)，從而驗(yàn)證了所建離散模型的正確性。

圖4　Boost DC/DC變化器的穩(wěn)定運(yùn)行極限環(huán)( k=0.06)

圖5　Boost DC/DC變化器的倍周期分岔( k=0.08)

圖6　Boost DC/DC變換器的周期4分岔( k=0.105)

圖7　Boost DC/DC變換器的混沌狀態(tài)( k=0.12)

5結(jié)論

建立了Boost DC/DC變換器的離散數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了模型的正確性，給出了Boost DC/DC變換器的穩(wěn)定工作域及失穩(wěn)邊界，為后續(xù)深入研究Boost DC/DC變換器的混沌與控制奠定了基礎(chǔ)。

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Chaos Phenomenon Analysis for BOOST Converter

in Discrete-Conduction Model

SU Jia-liang，PAN Feng，Liu Yong-ping

(College of Electronic and Information Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，

Taiyuan 030024，China)

Abstract：This paper established the discrete mathematic model of Boost DC/DC converter in discrete-conduction mode.Chaotic characteristics and bifurcation stability of Boost DC/DC converter are further analyzed based on the model.A simulation study is carried out by MATLAB，which supports the discrete mathematic model and shows the process form bifurcation to chaos.The research methods provide the theoretical basics for analyzing the chaos in Boost converter.

Key words：chaos，boost converter，voltage-mode，discrete-conduction