齊 雪

趣味教學(xué)是將學(xué)生感興趣的問題或者實際生活中遇到的問題融入到課堂教學(xué)中，通過這些問題引出教學(xué)知識，解決教學(xué)問題，使抽象的知識得到具體的應(yīng)用。本文將趣味教學(xué)應(yīng)用于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，促進學(xué)生全面發(fā)展。趣味教學(xué)主要是激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生進入問題情境，從而產(chǎn)生好奇心，形成探究愿望［1］。這對提高學(xué)生的專業(yè)素養(yǎng)，培養(yǎng)高素質(zhì)應(yīng)用型人才具有十分重要的意義。下面以幾個知識點為例，介紹趣味教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

一、函數(shù)概念中的趣味教學(xué)

大學(xué)生在中學(xué)已經(jīng)接觸過函數(shù)概念，也可以用函數(shù)分析一些實際問題，所以，作為復(fù)習(xí)內(nèi)容，可以提出一些實際生活中應(yīng)用函數(shù)進行分析計算的例子。如話費升降問題、漲跌停板問題、庫存問題、軍備競賽問題，等等。

以話費升降問題為例［2］，我國的電信資費有一次結(jié)構(gòu)性的調(diào)整，調(diào)整前某地區(qū)固定電話的市話費為每3分鐘 （不足3分鐘的以3分鐘計算）0.18元，調(diào)整后前3分鐘0.22元，以后每1分鐘（不足1分鐘的以1分鐘計算）0.11元。那么，與調(diào)整前相比，市話費是降了還是升了？升、降的幅度是多少？接下來，老師要引導(dǎo)學(xué)生分別建立調(diào)整前、后話費與通話時間之間的函數(shù)關(guān)系。

調(diào)整前，話費y(t)與通話時間t之間的函數(shù)關(guān)系為：

調(diào)整后，話費Y(t)與通話時間t之間的函數(shù)關(guān)系為：

為了分析話費的升降情況，可以列表進行比較。

表1 話費升降情況

從表 1看出，只有當(dāng)通話時間 t∈(3，4］時，調(diào)整后的話費才有所降低，其余的時段均比調(diào)整前有較大幅度的提高。

由此例可以幫助學(xué)生回憶與函數(shù)相關(guān)的知識。如自變量與因變量的關(guān)系可以用方程來表示分段函數(shù)的特點和性質(zhì)、變化幅度的計算等問題。教師可以此為出發(fā)點，將函數(shù)知識進行系統(tǒng)的復(fù)習(xí)。

二、極限知識中的趣味教學(xué)

極限概念的數(shù)學(xué)定義抽象難懂，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有些困難，為了使極限的概念形象生動易于理解，可以結(jié)合一些生活實例進行講解。如1906年數(shù)學(xué)家科赫提出了描述雪花形狀曲線的方法：將一條線段三等分，先以中間的一段為底邊做一個正三角形，然后再去掉這個正三角形的底邊，可得到一條由4條長度為原線段長度1/3的線段構(gòu)成的折線，如果對構(gòu)成這條折線的每一條線段不斷重復(fù)上述的步驟，得到的曲線就是“科赫曲線”［3］。

下面，做一個邊長為a的正三角形，然后在這個三角形的每條邊上不斷重復(fù)上述的變換，便可以得到科赫雪花圖案。若以Cn、Sn分別表示第n步變換后的科赫雪花的周長和面積，則周長依次為：

由數(shù)學(xué)歸納法得：

Cn面積依次為：

由數(shù)學(xué)歸納法得：

觀察Cn和Sn的變化趨勢，判斷當(dāng)n→∞時，Cn和Sn取值的趨向情況，進而引入數(shù)列極限的概念，通過這一節(jié)知識的學(xué)習(xí)來解決上述問題。于是，得到：

上述結(jié)果表明，科赫雪花圖案的面積是有限的，但周長卻趨于無窮大［4］。

由此例，學(xué)生們可以更加形象直觀地了解數(shù)列極限，對后續(xù)函數(shù)極限、極限性質(zhì)、極限計算等知識的學(xué)習(xí)也具有啟發(fā)作用。

三、級數(shù)知識中的趣味教學(xué)

級數(shù)知識是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是研究函數(shù)性質(zhì)和進行數(shù)值計算的有力工具［3］。下面通過一個有趣的例子引出級數(shù)概念，并利用級數(shù)知識解決相關(guān)問題。

古希臘著名哲學(xué)家Zeno曾經(jīng)提出一個悖論［5］：先讓烏龜爬行一段距離，然后再讓古希臘神話中善跑的英雄阿基里斯去追趕烏龜，那么阿基里斯是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?。Zeno提出此悖論的依據(jù)是：阿基里斯若想追趕上烏龜，必須先到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)地點，而在這段時間內(nèi)，烏龜又向前爬行了一段距離，于是，阿基里斯必須趕上這段距離……如此分析下去，雖然阿基里斯離烏龜越來越近，但卻永遠(yuǎn)也追不上烏龜。后來有人把Zeno的這個悖論移植到“龜兔賽跑”問題中，聲稱兔子永遠(yuǎn)也追不上烏龜。這個結(jié)論顯然是錯誤的，但這種推理在邏輯上卻沒有問題，那么，問題究竟出在哪里呢？

下面，我們從數(shù)學(xué)的角度來分析這個問題。設(shè)兔子和烏龜?shù)乃俣确謩e是V和v（ V＞＞ ）v，如果兔子是在烏龜已經(jīng)爬過距離s1后開始追烏龜?shù)模敲丛谕米优芡昃嚯xs1的時間之內(nèi)，烏龜又爬行的距離s2為：

而在兔子跑完s2的時間之內(nèi)，烏龜又爬行的距離s3為：

以此類推，可知兔子需要追趕的全部路程S為：

要想得到S的具體數(shù)值，就要引入級數(shù)概念，通過級數(shù)知識的學(xué)習(xí)，對S進行計算和分析。分析結(jié)果：S是一個公比的等比級數(shù)，它的和即兔子只要從起點跑稍微超過s1不多的一點距離就能很快追上烏龜。

四、趣味教學(xué)應(yīng)把握的原則

為使趣味教學(xué)收到良好的教學(xué)效果，教師在對引例進行篩選時要把握以下原則：

（1）針對性。即，引例要與所介紹的高等數(shù)學(xué)知識緊密相關(guān)；

（2）難度適中。即，引例的分析、求解要易于理解；

（3）趣味性。即，引例要能引起學(xué)生的求知欲、探索欲；

（4）典型性。即，引例要有代表性，要正確、合理。

趣味性引例只是趣味教學(xué)法的一個有力工具，教師的個人魅力、教學(xué)風(fēng)格、教學(xué)形式也是趣味教學(xué)法的重要因素。我們要在教學(xué)過程中積極思考、探索、豐富和發(fā)展趣味教學(xué)法，以此使高等數(shù)學(xué)教學(xué)更加生動有趣、更加充滿魅力，從而提高教學(xué)質(zhì)量和水平。

[1]曹煒萍.數(shù)學(xué)中的趣味教學(xué)[J].科教文匯（下旬刊），2009（11）.

[2]李心燦.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例[M].北京：高等教育出版社，1997.

[3]李天勝.微積分[M].成都：電子科技大學(xué)出版社，2008.

[4]吳振奎.漫畫分形[J].中等數(shù)學(xué)，1998（3）.

[5]沈繼紅，施久玉，高振濱，等.數(shù)學(xué)建模[M].哈爾濱工程大學(xué)出版社，1996.