陳華偉，吳祿慎，袁小翠

（南昌大學(xué) 機電工程學(xué)院，江西 南昌330031）

0 引 言

非均勻有理B樣條 （non－uniform rational B－splines，NURBS）是適用于復(fù)雜曲線面造型的建模方法，在插值計算［1，2］、創(chuàng)新設(shè)計［3］和高精度曲面造型［4］中得到廣泛應(yīng)用。在CATIA 環(huán)境中進行曲面功能二次開發(fā)［5］，可以直接借助CATIA 成熟的顯示渲染功能，開發(fā)者只需關(guān)注功能實現(xiàn)；且CATIA 具有完善的應(yīng)用接口 （API），支持NURBS曲面的讀取、編輯和創(chuàng)建，能夠?qū)訔l曲面擬合為NURBS 曲面，并提供了自定義曲面的生成功能。

1 NURBS曲線面的參數(shù)化定義

NURBS曲線面由控制點、權(quán)因子和基函數(shù)共同表達的數(shù)學(xué)解析式定義，已知型值 （采樣）點和邊界條件，即可計算節(jié)點矢量，反求控制點陣，從而獲得解析解。

1.1 多項式定義

NURBS定義中，非均勻性 （non－uniform）指控制頂點的影響范圍可以改變，有理性 （rational）則說明NURBS曲面可以有理多項式形式定義，B 樣條 （B－spline）指曲線面的構(gòu)建是通過插值實現(xiàn)的。

u向p 階 （次）、v向q 階NURBS曲面定義［6］為

Pi，j為構(gòu)成曲面控制點網(wǎng)，u向、v向維數(shù)分別為 （m＋1）、（n＋1）；Wi，j為權(quán)因子；Ni，p（u）、Nj，q（v）為p 階、q階B樣條基函數(shù)。

同理，k次NURBS曲線的多項式定義為

1.2 幾個重要參數(shù)

為了生成NURBS曲面，CAD 軟件都會對NURBS 曲面進行對象和參數(shù)化定義，幾個重要參數(shù)如下：

（1）自由度，階 （degree）

表示多項式的最高次數(shù)p，通常p＝1，2，3或5，用于表達一次 （Linear）、二次 （Quadratic）、三次 （Cubic）或五次 （Quintic）曲線面。

（2）控制點 （control points）

控制點的數(shù)目記為c，每個控制點均可附權(quán)重（weight），記為w。如果w 值完全相同，則成為 “非有理”（non－rational）。

（3）節(jié)點矢量 （knot）

節(jié)點矢量由一列數(shù)值組成，節(jié)點數(shù)值可以重復(fù)，重復(fù)次數(shù)稱為重復(fù)度 （multiplicity），記為m；一般記不重復(fù)節(jié)點個數(shù)為k。節(jié)點必須滿足以下兩個基本條件：

1）非減性，節(jié)點數(shù)值按非降次序排列；

2）可重復(fù)性，重復(fù)度滿足m≤p。

例：p＝3，c＝11，Knot數(shù)值依次為：0、0、0、1、2、2、2、3、7、7、9、9、9，符合以上兩項原則。但是假設(shè)Knot數(shù)值為：0、0、0、1、2、2、2、2、7、7、9、9、9，則因為有4個節(jié)點值為2，不符合原則2），因而是不合法節(jié)點矢量。

上述參數(shù)數(shù)組大小之間存在數(shù)量關(guān)系：c＝k－p－1。以三次 （p＝3）NURBS曲線插值為例，設(shè)已知型值點數(shù)目為n＋1 （i＝0，1，2，…，n），并取節(jié)點參數(shù)前后端0，1的重復(fù)個數(shù)為p，則節(jié)點數(shù)為：k＝ （n＋1）＋2×p＝n＋7，控制點數(shù)為：c＝k－p－1＝n＋3。例如，當型值點數(shù)n＋1＝6，即n＝5時，節(jié)點數(shù)k和控制點數(shù)c應(yīng)分別為12和8。

以下為兩個具體實例。圖1 （a）中，擬合曲線隨著其中一個控制點CP3位置的移動 （至CP3′）而變化，并被其“吸引”；圖1 （b）中，控制點CP1－CP6不變，改變權(quán)重系數(shù)：原權(quán)重為 （1，1，1，1，1，1），新權(quán)重為 （1，1，10，20，5，1），可見曲線向權(quán)重較大的控制點CP3和CP4靠攏［7］。它們的主要參數(shù)列見表1。

圖1 兩個實例

表1 NURBS曲線參數(shù) （p＝3）

2 CATIA中曲線面對象的定義和讀取

曲面是封閉的R2至R3空間的函數(shù)，由雙變參U、V的3個標量函數(shù)FX、FY、FZ 所定義，標量函數(shù)說明了曲面參數(shù) （U，V）到笛卡爾坐標 （X，Y，Z）的變換或映射關(guān)系。多面片曲面中每個面片中的點坐標可由局部參數(shù)（u，v）或全局參數(shù) （U，V）定義。曲線則由單參數(shù)定義，情況類似。如圖2所示。

圖2 曲面的參數(shù)化定義

2.1 基本對象和接口

CATIA 幾何建模器 （CATIA geometric modeler，CGM）中封裝了CATCurve和CATSurface接口分別定義曲線和曲面對象，所定義曲線和曲面必須是二階可微，即C2連續(xù)的。與之相關(guān)聯(lián)的幾個重要對象和接口有：

（1）CATCrvParam／CATSurParam 對象：定義曲線／面上點的全局參數(shù)；

（2）CATCrvLimits／CATSurLimits對象：定義曲線／面邊界，可由包圍盒的兩個角點CATCrvParam／CATSur－Param 參數(shù)定義；

（3）CATKnotVector對象：定義節(jié)點矢量，提供了獲取節(jié)點值，控制點，分段弧數(shù)，自由度，重合度等全套接口函數(shù)；

（4）Eval接口：CATCurve／CATSurface：：Eval實現(xiàn)參數(shù)坐標至笛卡爾坐標的轉(zhuǎn)換和三階導(dǎo)數(shù)的求?。?/p>

（5）GetParam 接口：CATCurve／CATSurface：：Get－Param 實現(xiàn)笛卡爾坐標至參數(shù)坐標的轉(zhuǎn)換；

（6）GetEquation 接口：獲得曲線／面方程對象CATMathFunctionX／CATMathFunctionXY；

（7）GetKnotVector／GetKnotVectorU／V 接口：獲得CATKnotVector對象。

2.2 參數(shù)讀取和計算

（1）點對象信息

曲線面分別利用CATCurve和CATSurface對象的接口函數(shù)求取曲線面上的點及其導(dǎo)數(shù)。如曲線中點及該點切向和法向的計算過程如下：

對如圖3 （a）所示的曲線進行計算，結(jié)果為：

中點坐標：（262.734，114.157，209.558）：

一階導(dǎo)數(shù)：（0.779724，－0.558819，－0.358627）；

二階導(dǎo)數(shù)：（－0.00640612，－0.00114124，－0.00163766）；

三階導(dǎo)數(shù)： （－9.6987e－005，7.44916e－005，－2.68162e－005）。

可見，三階導(dǎo)數(shù)的取值已經(jīng)非常之小，幾何意義不大。也可以采用第二種方法，即使用接口函數(shù)CATCurve：：GetEquation獲得該曲線的MathFunctionX 數(shù)學(xué)函數(shù)對象，該對象也提供了Eval類接口函數(shù)，所求結(jié)果與上述結(jié)果一致。

曲面上點信息的讀取過程與之類似，圖3 （b）顯示了曲面中點及其各向切矢和法矢的計算結(jié)果。

圖3 CATIA 中曲線的底層操作

（2）點的解析解

此外，還能讀取通過CATKnotVector：：GetPolynomialBasisForOneArc接口函數(shù)讀取NURBS多項式，并對曲線面上的點求解析解。以曲線為例：

解析解計算結(jié)果與對象法讀取的結(jié)果一致。

（3）NURBS參數(shù)

為了讀取NURBS參數(shù)，應(yīng)使用CATCreateCrvFitting－ToNurbsCrv全局函數(shù) （可設(shè)置擬合誤差）將一般曲線轉(zhuǎn)化為NURBS 曲線對象CATNurbsCurve，該對象由CATCurve繼承而來，增加了GetOneControlPoint函數(shù)用于讀取控制點信息。

下面給出NURBS節(jié)點和控制點參數(shù)的讀取過程：

對如圖3 （a）所示的曲線進行計算，結(jié)果為：

自由度：5

分段弧數(shù)：3

節(jié)點數(shù)：4

節(jié)點值：0，106.771，254.757，459.452

重復(fù)度：6，3，3，6，

控制點數(shù)：12

控制點： （100，70，300） （102.004，99.0517，287.637）（108.124，121.486，276.488）

（118.362，137.304，266.554） （152.613，159.256，245.748）（203.535，148.733，229.986）

（235.575，134.094，221.656） （299.801，92.7058，198.798）（310.217，54.9492，161.893）

（286.537，43.1674，132.534） （233.131，41.5177，95.2366）（150，50，50）

將這些控制點用直線連接，結(jié)果顯示于圖3 （a）；圖3（b）中也展示了NURBS曲面參數(shù)求解后獲得的部分控制點和兩條控制線。

3 NURBS曲線面的反求

工程應(yīng)用中，一般已知型值點陣Qi，j（Qi，j∈S），要求NURBS的解析表達式，因此，需要反求控制點陣P，設(shè)Q為型值點陣列，R 為基函數(shù)系數(shù)矩陣，P 為控制點網(wǎng)矩陣，則NURBS曲面方程定義式可表示為矩陣形式

基函數(shù)系數(shù)矩陣R 由多項式函數(shù)Ni，k（k 為階次）構(gòu)成，Ni，k的基函數(shù)又由節(jié)點矢量u＝ ［u0，…，um＋2p］，v＝［v0，…，vn＋2q］采用Cox－De Boor公式［2，8］遞推

其中

對矩陣方程進行求解，可反求出控制點：

P＝R－1Q，R 為方陣；

P＝ （RTR）－1RTQ，R 不為方陣。

NURBS曲面反求以曲線反求為基礎(chǔ)，而曲線反求的核心是控制點的反求，其基本步驟是：

（1）讀入型值點Q，計算節(jié)點矢量u、v；

（2）使用De－Boor公式，計算多項式基函數(shù)Ni，k，構(gòu)造系數(shù)矩陣R；

（3）帶入曲線方程，構(gòu)造方程組RP＝Q；

（4）附加合適的邊界條件，得到未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)一致的可解方程組；

（5）采用合適的方法求解方程組，得到控制點P。

3.1 NURBS曲線的控制點反求

NURBS曲線反求可描述為：已知n個型值點Qi（i＝1，…，n），曲線自由度為k，求控制點Pi。

為滿足曲線端點就是型值點的要求，節(jié)點矢量的兩端應(yīng)取k＋1重復(fù)度，即u0＝u1＝…＝uk，un＋k＝un＋k＋1＝…＝un＋2k。

對三次樣條曲線 （k＝3），取規(guī)范化節(jié)點矢量，則兩端重復(fù)節(jié)點矢量為：u0＝u1＝u2＝u3＝0，un＋3＝un＋4＝un＋5＝un＋6＝1。

首末短短重復(fù)度為m＝k＋1＝4。

其它節(jié)點值可采用累積弦長法進行參數(shù)化

附加以下條件：

（1）首末端點應(yīng)分別與控制點重合，即：p0＝q0，pn＋k－1＝qn。

（2）邊界條件。一般要求邊界點 （首末端點）切矢q0′和qn′連續(xù)，即有

使用基函數(shù)遞推式 （2），求系數(shù)矩陣R，帶入式 （1），整理得以下矩陣方程

其中

3.2 矩陣方程的求解

方程組 （1）為典型的三對角矩陣方程，易采用高斯消去法求解。

給定形的矩陣方程如下

經(jīng)過n－1次消元，可化為同解上三角矩陣方程

其中

回代求出未知數(shù)：xn＝gn，xi＝qi－uixi＋1（i＝n－1，n－2，…，1）。

該過程亦稱為追趕法，是三對角方程組的典型求解方法。

3.3 m×n維點陣擬合NURBS曲面

以均勻雙三次B樣條（k＝3）為例，典型的反求問題可描述為：已知m×n維型值點陣Qi，j（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m），求控制點陣Pi，j（i＝1，2，…，n＋1；j＝1，2，…，m＋1）。

采用兩次反求法，即分別對u 向和v 向控制點進行反求，即可求取控制點陣：

（1）計算u向控制點。對u 向的m 組型值點，按照反算公式，并添加邊界條件，即可求解矩陣方程，獲得m 組B樣條曲線的控制頂點Vi，j（i＝1，2，…，n，n＋1；j＝1，2，…，m）。因為每條曲線都要添加兩個邊界條件才能求解，因而每條曲線上的控制點數(shù)為 （n＋1）；

（2）計算v向控制點。將Vi，j視為v 向的m 組型值點，再作 （n＋1）次B樣條曲線反算，所求v向控制點Pi，j即為整個曲面的控制點。

CATIA 提供了幾何對象包CATGeoFactory，開放有NURBS曲線面生成的接口函數(shù)CATCreateNurbsCurve和CATCreateNurbsSurface，它們均以節(jié)點向量和控制點陣為主要輸入?yún)?shù)，調(diào)用結(jié)果是生成CATNurbsCurve或CATNurbsSurface對象，該對象可直接在CATIA 界面中顯示。

使用CATIA 開發(fā)環(huán)境，導(dǎo)入型值點陣，自定義函數(shù)封裝節(jié)點計算、控制點反求及其求解算法，然后調(diào)用CATGeoFactory：： CATCreateNurbsCurve／CATCreateNurbs－Surface接口生成NURBS 曲線面對象，轉(zhuǎn)化為特征后在CATIA 界面中顯示。圖4是在CATIA 中對30×20維點陣進行NURBS曲面重構(gòu)的結(jié)果。

圖4 由點陣生成NURBS曲面

4 結(jié)束語

特征在界面上以對象形式存在，在底層則是通過幾何拓撲或解析計算生成。文中NURBS曲線面信息的讀取以及曲線面的反向生成，均借助CATIA 的NURBS對象接口實現(xiàn)，并交由顯示渲染接口生成，因而具有流程簡單，代碼清晰，可維護性和封裝性強等特點。作為曲線面建模和逆向建模的核心算法，該模塊可在復(fù)雜曲線和型面［9，10］建模分析中直接應(yīng)用或修改后應(yīng)用。

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