趙蕾，文忠橋，朱家明

（1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽蚌埠233030；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030）

現(xiàn)貨資產(chǎn)的價(jià)格受各因素的干擾會出現(xiàn)上下波動的情形，企業(yè)為了保護(hù)現(xiàn)貨資產(chǎn)會選擇用期貨資產(chǎn)來轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn).本文便介紹了基于最小方差套期保值模型的Copula-GARCH 模型來對鋁現(xiàn)貨資產(chǎn)進(jìn)行保護(hù).

GARCH-M 模型[1]是從ARCH 模型演變而來的，ARCH 模型最早由恩格爾提出，金融學(xué)家常用此類模型分析金融時(shí)間序列的波動規(guī)律.但構(gòu)建ARCH模型時(shí)需要估計(jì)很多的參數(shù)，由此產(chǎn)生了GARCH類模型，此類模型便用較少的參數(shù)來描述隨機(jī)誤差項(xiàng)的條件異方差特性.因?yàn)榻鹑谫Y產(chǎn)組合的收益率會受到風(fēng)險(xiǎn)大小的影響，因此本模型采用了GARCHM模型來預(yù)測鋁現(xiàn)貨與期貨資產(chǎn)收益率序列的標(biāo)準(zhǔn)差，這樣預(yù)測的結(jié)果更具符合實(shí)際.Copula 函數(shù)的概念最早由Slkar 提出，此函數(shù)用來描述變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu).本文便采用了Copula 函數(shù)來計(jì)算鋁現(xiàn)貨與期貨收益率序列的相關(guān)系數(shù).

Copula 函數(shù)在套期保值方面運(yùn)用廣泛.Lee[2]構(gòu)建一個(gè)基于Copula的機(jī)制轉(zhuǎn)換GARCH模型，結(jié)果發(fā)現(xiàn)引入Copula函數(shù)很大程度上提高了套期保值有效性.馬超群等[3]分別用Copula-GARCH 模型、CCCGARCH模型、ECM-GARCH模型對外匯期貨套期保值的效果進(jìn)行研究，結(jié)果表明Copula-GARCH 模型套期保值效果最好.王玉剛等[4]用Copula模型與傳統(tǒng)的方法計(jì)算的套期保值效果進(jìn)行對比，結(jié)果表明Copula模型最優(yōu).

Copula-GARCH 模型的套期保值效果的研究是基于最小方差套期保值模型.本模型的特別之處在于：一方面，首先確定Gumbel Copula和Clayton Copu?la 的Kendall 秩相關(guān)系數(shù)，結(jié)合二元Copula 函數(shù)的相關(guān)性計(jì)算出上尾相關(guān)數(shù)λu和下尾相關(guān)數(shù)λl，以此兩者的平均數(shù)作為期貨和現(xiàn)貨的相關(guān)系數(shù)，其很好地描述了價(jià)格的波動情況.另一方面，本文用GARCH-M模型預(yù)測現(xiàn)貨及期貨收益率標(biāo)準(zhǔn)差，此模型將收益率的風(fēng)險(xiǎn)因素考慮進(jìn)來，更具現(xiàn)實(shí)意義.

本文首先介紹了Copula 模型與Copula-GARCH模型的最優(yōu)套期保值比率的確定，其次介紹了兩模型的相關(guān)系數(shù)的確定，隨后介紹了鋁現(xiàn)貨與期貨收益率標(biāo)準(zhǔn)差的預(yù)測.通過實(shí)證分析來比較套期保值比率的大小與套期保值有效性，最終將兩模型的效果進(jìn)行對比，結(jié)果表明Copula-GARCH 模型有效性較高.

1 模型及方法

1.1 最優(yōu)套期保值比率

最優(yōu)套期保值比率是指完全消除現(xiàn)貨價(jià)格變動帶來的風(fēng)險(xiǎn)的套期保值比率.通常用最小方差套期保值比率來估計(jì)最優(yōu)套期保值比率，即套期保值收益的方差最小時(shí)的比率.基于Copula 的最小方差套期保值模型[5]最優(yōu)套期保值比率為：

本文采用二元Copula-GARCH 模型[6]，本模型的特點(diǎn)是結(jié)合阿基米德Copula 函數(shù)來計(jì)算相關(guān)系數(shù).基于Copula-GARCH 最小方差套期保值模型的最優(yōu)套期保值比率為：

其中λu和λl分別為上尾及下尾相關(guān)數(shù)，σs，t和σf，t分別為現(xiàn)貨和期貨收益率序列的動態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差.

1.2 相關(guān)系數(shù)的確定

Copula模型相關(guān)系數(shù)是運(yùn)用Matlab 計(jì)算出鋁現(xiàn)貨與期貨收益率序列的Kendall 秩相關(guān)系數(shù)并結(jié)合Copula 函數(shù)的相關(guān)特性而求得.Gumbel Copula 函數(shù)Kendall 秩相關(guān)系數(shù)τ與具有參數(shù)解析函數(shù)的Copula函數(shù)的未知參數(shù)θ兩者的關(guān)系[7]為θ=1/（1-τ）.對上尾相關(guān)數(shù)進(jìn)行估計(jì)的現(xiàn)貨與期貨收益率序列的二元Copula函數(shù)的表達(dá)式為：

當(dāng)u1=u2=α=50%時(shí)，此值為中位數(shù)Copula 值.中位數(shù)相關(guān)系數(shù)[8]為ρ*=4C（50%，50%）-1.

根據(jù)阿基米德Copula 函數(shù)的重要特性可知，對于Gumbel Copula函數(shù)，Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ、未知參數(shù)θ及上尾相關(guān)數(shù)λu三者的關(guān)系是θ=1/（1-τ），λu=2-21/θ.對于Clayton Copula 函數(shù)，Kendall 秩相關(guān)系數(shù)τ、參數(shù)θ及下尾相關(guān)數(shù)λl三者的關(guān)系是θ=2τ/（1-τ），λl=2-1/θ.本模型的相關(guān)系數(shù)即為.

1.3 現(xiàn)貨及期貨收益率標(biāo)準(zhǔn)差的預(yù)測

Copula 模型的現(xiàn)貨收益率標(biāo)準(zhǔn)差σs的計(jì)算采用了EWMA模型.EWMA模型[9]的具體形式如下：

其中ΔRs，t為第t日相對于前一日的現(xiàn)貨收益率的變動數(shù)值；Rs，t，Rs，t-1分別為第t，t-1 日的現(xiàn)貨收益率；?表示現(xiàn)貨收益率的變動幅度；λ為衰減因子，通常取值0.97；n為數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)長度.

在套期保值研究中，由于GARCH-M 模型能很好地解決收益率的波動性問題，因此用此模型來預(yù)測Copula 模型的期貨收益率標(biāo)準(zhǔn)差及Copula-GARCH模型期貨和現(xiàn)貨收益率標(biāo)準(zhǔn)差.

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)來源及處理

對從2013年1月1日到2015年3月10日之間的數(shù)據(jù)進(jìn)行套期保值有效性研究，共667 組有效數(shù)據(jù).其中，用2013年1月1日到2014年12月31日之間的數(shù)據(jù)計(jì)算套期保值比率，用2015 年1 月1 日到2015年3 月10 日之間的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?本文用長江有色鋁主力合約來對現(xiàn)貨進(jìn)行套期保值，現(xiàn)貨數(shù)據(jù)和基差來源于生意社大宗商品價(jià)格，現(xiàn)貨價(jià)格減去基差便得期貨價(jià)格.

首先對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，分別計(jì)算出鋁現(xiàn)貨與期貨套期保值前的歷史期與套期保值時(shí)期的收益方差，處理結(jié)果見表1.

表1 期貨與現(xiàn)貨收益方差表Tab.1 Futures and spot returns variance table

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：鋁現(xiàn)貨與期貨收益率序列統(tǒng)計(jì)特征的峰度分別為6.816785、6.056206，而正態(tài)分布的峰度值為3，表明鋁現(xiàn)貨及期貨收益率序列顯著異于正態(tài)分布.結(jié)合J-B 統(tǒng)計(jì)量的值可知鋁現(xiàn)貨與期貨收益率序列服從尖峰厚尾的分布.

表2 收益率序列基本統(tǒng)計(jì)特征Tab.2 Basic statistical characteristics of logarithm series

2.2 平穩(wěn)性及協(xié)整檢驗(yàn)

對鋁現(xiàn)貨與期貨收益率序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)時(shí)，根據(jù)AIC 準(zhǔn)則自動選擇滯后階數(shù)，選擇帶截距項(xiàng)而無趨勢項(xiàng)的模型進(jìn)行ADF 檢驗(yàn)，ADF 統(tǒng)計(jì)量的值分別為-9.487891、-10.50247，說明現(xiàn)貨與期貨收益率序列拒絕存在一個(gè)單位根的原假設(shè)，即這兩個(gè)序列平穩(wěn).

其次進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)，即對現(xiàn)貨期貨收益率序列的回歸殘差進(jìn)行ADF檢驗(yàn).結(jié)果表明在1%顯著性水平下，線性回歸方程殘差A(yù)DF 統(tǒng)計(jì)量的值為-10.78396，說明殘差平穩(wěn)，即兩者具有協(xié)整關(guān)系.

2.3 Copula-GARCH模型估計(jì)

運(yùn)用GARCH-M模型對鋁現(xiàn)貨和期貨收益率序列的估計(jì)結(jié)果見表3.從結(jié)果知，在5%顯著性水平下，z統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的p值均為0，說明GARCH-M 模型的參數(shù)均是顯著的.由表3可知，鋁現(xiàn)貨與期貨收益率序列對應(yīng)的GARCH-M模型檢驗(yàn)結(jié)果中參數(shù)之和分別為0.750413、0.991962，即α+β＜1，說明GARCHM 模型是寬平穩(wěn)的.利用MATLAB 軟件編程，計(jì)算Gumbel Copula 和Clayton Copula 函數(shù)對應(yīng)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)，帶入關(guān)系式分別計(jì)算出λu和λl.計(jì)算結(jié)果見表4.

表3 GARCH-M模型估計(jì)結(jié)果Tab.3 GARCH-M model estimation results

表4 Copula函數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.4 Copula function estimation results

2.4 兩種模型套期保值結(jié)果比較

本文將上尾及下尾相關(guān)數(shù)的平均值，GARCH-M模型預(yù)測出的期貨和現(xiàn)貨收益率的標(biāo)準(zhǔn)差代入最優(yōu)套期保值比率方程（2），從而求出Copula-GARCH 模型的套期保值比率，并與Copula 模型的套期保值比率相比較，計(jì)算結(jié)果見表5.

表5 不同模型套期保值比率及有效性比較Tab.5 The comparison of different models’hedge ratio and effectiveness

由表5 可知Copula-GARCH 模型的套期保值比率高于Copula 模型，說明Copula-GARCH 模型在節(jié)省成本方面弱于Copula模型.

2.5 套期保值效果比較

2.5.1 套期保值有效性理論

套期保值的有效性是用風(fēng)險(xiǎn)降低的百分比來衡量的.套期保值有效性Hec越大說明風(fēng)險(xiǎn)降低的百分比越高，即模型效果越好.套期保值有效性[10]為：

2.5.2 套期保值組合收益率方差的計(jì)算

套期保值組合的收益率是指根據(jù)套期保值比率來規(guī)避現(xiàn)貨的風(fēng)險(xiǎn)后最終得到的收益率.套期保值組合收益率[11]的表達(dá)式為：

其中，Rh為套期保值組合的收益率，Rs、Rf分別為套期保值期鋁現(xiàn)貨與期貨收益率，h為套期保值比率.將Rs、Rf，表5中套期保值比率代入式（8）可得每天套期保值組合的收益率Rh，此時(shí)便可計(jì)算出套期保值組合收益率的方差.經(jīng)計(jì)算知，Copula 模型與Copula-GARCH 模型套期保值組合收益率的方差分別為1.8935E-05、5.10244E-06.

2.5.3 套期保值有效性的計(jì)算

進(jìn)行套期保值收益率的方差即為套期保值組合收益率的方差，未進(jìn)行套期保值的收益率的方差即為由樣本外數(shù)據(jù)得到的現(xiàn)貨收益率的方差，由表1知其值為3.5021E-05.最終將計(jì)算出的套期保值組合收益率方差與現(xiàn)貨收益率方差代入式（7）便可求出套期保值有效性，其結(jié)果見表5.

2.5.4 不同模型套期保值效果比較

從表5可知，Copula-GARCH模型與Copula模型套期保值比率分別為0.585778263、0.343316879，此處說明用Copula模型對鋁現(xiàn)貨進(jìn)行套期保值可以適當(dāng)節(jié)省成本.Copula-GARCH 模型與Copula 模型套期保值有效性分別為0.854303505、0.459323273，說明Copula-GARCH模型套期保值效果更為顯著.

3 結(jié)論

本文運(yùn)用Copula模型和Copula-GARCH 模型首先對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行研究，其次用這兩種模型來預(yù)測期貨與現(xiàn)貨收益率標(biāo)準(zhǔn)差的大小，求得最優(yōu)套期保值比率，最終基于套期保值組合收益率的結(jié)果計(jì)算并分析了兩種模型的套期保值有效性，通過實(shí)證分析可得結(jié)論如下：

（1）鋁現(xiàn)貨與期貨收益率序列為平穩(wěn)時(shí)間序列且存在長期穩(wěn)定的協(xié)整關(guān)系.

（2）利用Copula-GARCH 模型進(jìn)行套期保值比Copula 模型更有效地規(guī)避了現(xiàn)貨價(jià)格風(fēng)險(xiǎn).企業(yè)對現(xiàn)貨資產(chǎn)進(jìn)行保護(hù)時(shí)可以運(yùn)用本模型.

（3）本文未充分考慮現(xiàn)實(shí)中影響套期保值效果的其它因素，因此存在一些不足，企業(yè)進(jìn)行套期保值時(shí)要充分考慮其它因素的影響.

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