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對(duì)重力作用下兩類軌道脫軌問(wèn)題的對(duì)比研究

李偉康

(蕪湖市第一中學(xué)安徽 蕪湖241000)

脫軌問(wèn)題在各類高考模擬考試中較為常見(jiàn)，在高考中也時(shí)有出現(xiàn)，考生解決此類問(wèn)題感到困難，主要原因是脫軌問(wèn)題涉及到的是變速圓周運(yùn)動(dòng)，學(xué)生較為陌生．本文通過(guò)對(duì)重力作用下兩類軌道脫軌問(wèn)題的對(duì)比研究，指出兩類軌道的特點(diǎn)、區(qū)別及此類問(wèn)題的分析方法，給出不脫軌的條件．

1圓形軌道

1.1圓形軌道內(nèi)側(cè)的運(yùn)動(dòng)

【例1】如圖1所示，半徑為R的豎直圓形軌道固定不動(dòng)，內(nèi)壁光滑，一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球靜止在軌道最低點(diǎn)A處，現(xiàn)給小球一沿軌道切線方向的初速度v0.

6實(shí)驗(yàn)探究抓住機(jī)會(huì)疑

實(shí)驗(yàn)對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)與技能要求很高，學(xué)生疑惑最多．實(shí)驗(yàn)中學(xué)生是選擇記住實(shí)驗(yàn)原理、步驟、條件、注意事項(xiàng)，按部就班完成實(shí)驗(yàn)，還是帶著質(zhì)疑精神完成實(shí)驗(yàn)探究，兩種不同的態(tài)度，學(xué)習(xí)結(jié)果大相徑庭．鼓勵(lì)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中質(zhì)疑，大膽提出疑問(wèn)，勤于思考、積極動(dòng)手在探索中解決疑惑．如果學(xué)生能產(chǎn)生疑問(wèn)，在師生尋疑、釋疑過(guò)程中完成學(xué)習(xí)，學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究將會(huì)有很好的收獲．如,在探究物體獲得的加速度與所受合外力、質(zhì)量之間的關(guān)系時(shí)，實(shí)驗(yàn)條件要求：平衡摩擦力、懸掛重物的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于小車．有學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)條件提出疑問(wèn)．

生：為什么要這樣要求？(很多同學(xué)附和)

師：如果不平衡摩擦力，小車的合外力應(yīng)該是多少？

生1：懸掛物重力減去摩擦力．

生2：不對(duì)，應(yīng)該是細(xì)線拉力減去摩擦力．

師：有爭(zhēng)議，很好．細(xì)線拉力和懸掛物重力大小是否相同？請(qǐng)同學(xué)們受力分析后思考．摩擦力是否能測(cè)量出來(lái)呢？

生：懸掛物受到重力和細(xì)線拉力，加速下降，故重力大于細(xì)線拉力．摩擦力不能測(cè)量．

師：對(duì)，只有平衡摩擦力后，細(xì)線對(duì)小車的拉力才能近似看成是小車的合外力．細(xì)線的拉力怎樣測(cè)量呢？

生：用傳感器、用彈簧測(cè)力計(jì)……

師：很好，傳感器可以，彈簧測(cè)力計(jì)操作有難度．如果不用傳感器，又該如何？通過(guò)細(xì)線給小車懸掛重物，其質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于小車質(zhì)量，懸掛物加速下降的加速度較小，其重力近似等于細(xì)線的拉力，這一點(diǎn)以后解釋．

參 考 文 獻(xiàn)

1李鎮(zhèn)西．我對(duì)民主課堂的理解．新浪博客.

圖1

問(wèn)題一：v0滿足什么條件，才能使小球不脫離圓形軌道？

解析：(1)如圖2所示，B點(diǎn)與圓心O點(diǎn)等高，由A到B，設(shè)小球與圓心連線與豎直方向間夾角為α，則

此過(guò)程中顯然FN不可能達(dá)到零，即小球不會(huì)在A與B間脫離軌道．只須滿足

即

小球便無(wú)法越過(guò)B點(diǎn)，從而沿原路徑返回，不會(huì)脫離軌道．

圖2

(2)若小球越過(guò)了B點(diǎn)，由B到C，設(shè)處于P點(diǎn)的小球與圓心連線和豎直方向間夾角為β，則

由于v和β均不斷減小，所以軌道對(duì)小球的壓力FN也不斷減小，小球越來(lái)越容易脫離軌道．因此，要使小球始終不脫離軌道，必須使其能通過(guò)最高點(diǎn)D，在D點(diǎn)

且FN≥0，即

又

得

綜上，要使小球始終不脫離圓形軌道，其初速度必須滿足

或

解析：由問(wèn)題一的結(jié)論可知，此時(shí)小球會(huì)脫離軌道．如圖2，在P點(diǎn)

由A到P

聯(lián)立解得

1.2圓形軌道外側(cè)的運(yùn)動(dòng)

【例2】如圖3所示，半徑為R的豎直半圓形軌道固定不動(dòng)，外壁光滑，一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球靜止在軌道的最高點(diǎn)，若某時(shí)刻小球受到輕微擾動(dòng)，問(wèn)：小球是否會(huì)脫離圓形軌道，在何處脫離？

圖3

解析：顯然，若小球能到軌道最低點(diǎn)，在最低點(diǎn)沒(méi)有力能給其提供向心力，所以小球必在最低點(diǎn)之前脫離軌道．

如圖4所示，設(shè)小球在A處脫離軌道，則有

再根據(jù)機(jī)械能守恒定律

聯(lián)立解得

圖4

【例3】如圖5所示，半徑為R的豎直半圓形軌道固定不動(dòng)，外壁光滑，一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球在軌道上某點(diǎn)A處，獲得一沿軌道切線方向向上的初速度v0.要使小球能沿軌道到達(dá)最高點(diǎn)，對(duì)其初速度v0及A點(diǎn)位置有什么要求？

圖5

解析：要保證能到最高點(diǎn)，顯然，在最高點(diǎn)的速度v應(yīng)滿足

(1)

同時(shí)還要保證小球始終不脫軌，分析知，越往上運(yùn)動(dòng)，小球速度越小，而重力沿半徑方向的分力越大，小球越不容易脫軌．因此，只須保證小球在起點(diǎn)A處不脫軌即可，即要滿足

且FN≥0，亦即

(2)

上滑過(guò)程中還滿足機(jī)械能守恒定律

(3)

由(1)、(3)兩式得

同時(shí)還要滿足式(2)，所以應(yīng)有

為使v0有解，必須滿足

即

綜上，對(duì)初位置A點(diǎn)的要求是必須滿足

在該范圍內(nèi)對(duì)初速度v0的要求是必須滿足

值得注意的是，有時(shí)命題者命題時(shí)往往忽視這個(gè)問(wèn)題，隨便給出一個(gè)初位置，讓求小球的初速度必須滿足什么條件才能到達(dá)最高點(diǎn)，從而出現(xiàn)了不自洽問(wèn)題．

2拋物線軌道

2.1拋物線軌道外側(cè)的運(yùn)動(dòng)

【例4】如圖6所示，沿水平方向和豎直方向建立平面直角坐標(biāo)系，固定光滑軌道的解析式為

問(wèn)題一：若在軌道頂端O點(diǎn)外側(cè)輕輕釋放一個(gè)小球，小球沿軌道下滑過(guò)程中，會(huì)脫離軌道嗎？

圖6

如圖7所示．由機(jī)械能守恒定律可知，在O點(diǎn)由靜止釋放的小球滑到P點(diǎn)時(shí)的速度vP1必小于平拋運(yùn)動(dòng)的物體到P點(diǎn)時(shí)的速度v，從而必有

FN>0

圖7

小球始終不會(huì)脫軌．

問(wèn)題二：若在軌道頂端O點(diǎn)外側(cè)給小球一水平向右的初速度vx1，為使小球不脫離軌道，對(duì)vx1的大小有何要求？

解析：由對(duì)問(wèn)題一的分析易知，只須vx1≤v0.

問(wèn)題三：若在軌道上外側(cè)任一位置P，給小球一沿軌道切線向上的初速度vP2，為使小球能沿軌道到達(dá)最高點(diǎn)而不發(fā)生脫軌，對(duì)vP2的大小有何要求？對(duì)位置P有何要求？

解析：由對(duì)問(wèn)題一的分析易知，只須

這就保證了在起點(diǎn)P處不脫軌．此后小球向上運(yùn)動(dòng)到其他任意位置，其速度均小于從O點(diǎn)以初速度v0平拋物體運(yùn)動(dòng)到該位置時(shí)的速度，小球始終不會(huì)脫軌．為了使小球能到最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律，必有

vP2≥vP1

即

綜上，只須

而對(duì)起點(diǎn)P的位置無(wú)要求．

2.2拋物線軌道內(nèi)側(cè)的運(yùn)動(dòng)

問(wèn)題四：若在軌道頂端O點(diǎn)內(nèi)側(cè)給小球一水平向右的初速度vx2，為使小球不脫離軌道，對(duì)vx2的大小有何要求？

解析：由對(duì)問(wèn)題一的分析易知，只須vx2≥v0.

問(wèn)題五：若在軌道上內(nèi)側(cè)任一位置P，給小球一沿軌道切線向上的初速度vP3，為使小球能沿軌道到達(dá)最高點(diǎn)而不發(fā)生脫軌，對(duì)vP3的大小有何要求？對(duì)位置P有何要求？

解析：由對(duì)問(wèn)題一的分析容易得知，只須

這就保證了在起點(diǎn)P處不脫軌．此后小球向上運(yùn)動(dòng)到其他任意位置，其速度均大于從O點(diǎn)以初速度v0平拋物體在該位置的速度，小球始終不會(huì)脫軌．

3總結(jié)

(1)拋物線軌道，若物體在起點(diǎn)未脫軌，則以后始終不會(huì)脫軌；圓形軌道，若物體在起點(diǎn)未脫軌，則以后還有可能脫軌．

(2)兩類軌道內(nèi)側(cè)的運(yùn)動(dòng)，不脫軌對(duì)起點(diǎn)無(wú)要求；圓形軌道外側(cè)不脫軌，對(duì)起點(diǎn)有要求，不能為任意位置，而拋物線軌道外側(cè)不脫軌則對(duì)起點(diǎn)無(wú)要求．

(3)變速圓周運(yùn)動(dòng)和一般曲線運(yùn)動(dòng)的分析方法均為把物體受到的力沿軌跡切向和徑向做正交分解，其中沿徑向的合力提供物體所需向心力．

(4)不管哪一類軌道，不脫軌的判斷標(biāo)準(zhǔn)為軌道對(duì)物體始終有彈力，即根據(jù)

求出任一位置處軌道對(duì)物體的彈力．若彈力不為負(fù)，符合實(shí)際情況，物體不脫軌；若彈力為負(fù)，不符合實(shí)際情況，物體脫軌；物體脫軌處的特點(diǎn)是軌道對(duì)物體的彈力剛好為零．

收稿日期：(2015-01-26)