劉曉霞　李 波　杜彩云

(太原五中　山西 太原　030000)

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探究豎直振動(dòng)彈簧的角頻率與質(zhì)量的關(guān)系
——離散化模型

劉曉霞李 波杜彩云

(太原五中山西 太原030000)

摘 要：本文建立了彈簧的離散化模型，將彈簧離散化成n段，從彈簧系統(tǒng)的能量出發(fā)，構(gòu)造系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，當(dāng)n→∞時(shí)，得到彈簧振動(dòng)的角頻率的表達(dá)式為ω·tan=．

關(guān)鍵詞：豎直彈簧振動(dòng)頻率

1引言

質(zhì)量為m1的彈簧，一端固定，另一端連接一質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)(或稱為“彈簧加質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)”)[1]振動(dòng)的這一經(jīng)典問題，在很多文獻(xiàn)[1～7]中都有討論．

文獻(xiàn)[2]將彈簧簡化為一根均勻的彈性桿，用波動(dòng)方程導(dǎo)出彈簧的振動(dòng)的角頻率滿足

文獻(xiàn)[3]分析了在水平方向上彈簧質(zhì)量對振動(dòng)周期的影響，用波動(dòng)方程推導(dǎo)出彈簧的振動(dòng)的角頻率與羅蔚茵老師有相同的結(jié)論，并用瑞利法討論了彈簧在水平方向上振動(dòng)的的基頻．

上面討論的都是水平方向上彈簧的質(zhì)量對振動(dòng)周期的影響？那么豎直方向上彈簧的質(zhì)量對振動(dòng)角有什么影響呢？

文獻(xiàn)[4]用拉普拉斯變換法求解了一端固定，一端與質(zhì)點(diǎn)連結(jié)的彈性桿[5]的振動(dòng)問題，得出桿的振動(dòng)的角頻率．文獻(xiàn)[6]研究了豎直方向上彈簧的振動(dòng)解，利用波動(dòng)方程推導(dǎo)得出彈簧的振動(dòng)的角頻率并得出振動(dòng)方程，討論了極限情況下的振動(dòng)解．文獻(xiàn)[7]等人研究了豎直振動(dòng)彈簧的質(zhì)量對振動(dòng)角頻率的影響，構(gòu)建了彈簧的連續(xù)化模型，從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)角度探究了其質(zhì)量對振動(dòng)角頻率的影響．那么，如果構(gòu)建彈簧的離散化模型，能否探究出豎直振動(dòng)彈簧質(zhì)量對振動(dòng)角頻率的影響？

2彈簧的離散化模型

圖1　豎直彈簧諧振子

下面就來求將豎直的彈簧離散成n段，那么彈簧系統(tǒng)振動(dòng)的角頻率與彈簧的質(zhì)量或者振子的質(zhì)量有什么關(guān)系，當(dāng)n→∞時(shí)，會得出什么的結(jié)論？

2.1系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)

2.1.1系統(tǒng)的動(dòng)能

將豎直的彈簧離散成n段，設(shè)第一小段彈簧偏離原來位置的位移為u1，第二小段彈簧偏離原來位置的位移為u2……，第n小段彈簧偏離原來位置的位移為un．質(zhì)量為m2的振子懸掛在彈簧的下端，則它偏離原來位置的位移為un．

彈簧的動(dòng)能是n小段彈簧的動(dòng)能之和

(1)

振子的動(dòng)能是

(2)

則系統(tǒng)的動(dòng)能是彈簧的動(dòng)能和振子的動(dòng)能之和

(3)

2.1.2系統(tǒng)的勢能

假設(shè)彈簧的上端固定點(diǎn)為勢能零點(diǎn)，則可知第一小段彈簧的重力勢能是

(4)

第二小段彈簧的勢能是

(5)

第三小段彈簧的勢能是

(6)

第n小段彈簧的勢能是

(7)

則由上可知彈簧的重力勢能為

(8)

已經(jīng)得到彈簧的重力勢能，下面來推導(dǎo)彈簧的彈性勢能，第一小段彈簧的彈性勢能為

(9)

第二小段彈簧的彈性勢能為

(10)

第三小段彈簧的彈性勢能為

(11)

……

第n小段彈簧的彈性勢能為

(12)

則彈簧的彈性勢能為

(13)

我們又知道質(zhì)量為m2的振子的重力勢能為

V2=-m2g(l0+un)

(14)

而系統(tǒng)的勢能是振子的重力勢能，彈簧的重力勢能以及彈簧的彈性勢能之和，所以

(15)

2.1.3系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)

拉格朗日函數(shù)L=T-V[8]是位形空間內(nèi)系統(tǒng)的特征函數(shù)，確定了系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，通過哈密頓原理，就可導(dǎo)出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程．則該豎直振動(dòng)彈簧系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

(16)

2.2系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

2.2.1系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

因?yàn)槔窭嗜辗匠虨?/p>

(17)

將式(16)代入式(17)中可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

(18)

將運(yùn)動(dòng)方程后面的常數(shù)項(xiàng)消掉，我們設(shè)

(19)

將式(19)代入式(18)可得

(20)

2.2.2系統(tǒng)的特征方程

因?yàn)槭?20)是二階常系數(shù)線性微分方程組，所以設(shè)方程組的解為

Un=Ancos(ωt+φ)

(21)

將式(21)代入式(20)，可得

(22)

式(22)視為A1，A2，…，An的方程；要有非零解，系數(shù)行列式必須為零

(23)

式(23)為特征方程.

2.3系統(tǒng)振動(dòng)的角頻率

2.3.1系統(tǒng)振動(dòng)的角頻率

為求解式(23)，我們設(shè)

則式(23)變?yōu)?/p>

(24)

通過計(jì)算可得遞推關(guān)系式為

βΔn-1-Δn-2=0

(25)

其中

(26)

又因?yàn)?/p>

(27)

將式(27)代入式(25)可得

(28)

式(28)經(jīng)過變換可得

(cosλ-β)tannλ=sinλ

(29)

2.3.2當(dāng)n→∞時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)的角頻率

式(29)是離散化模型得出的豎直振動(dòng)的彈簧的角頻率的表達(dá)式，要求當(dāng)n→∞時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)的角頻率，則

通過對比式(24)和式(27)可以知道

(30)

當(dāng)n→∞時(shí)，則可以得到

(31)

所以可知

(32)

(33)

(34)

將式(29)、(32)、(33)、(34)聯(lián)立可得

(35)

式(35)所推導(dǎo)出的結(jié)論與文獻(xiàn)[7]中從連續(xù)化模型推導(dǎo)出的結(jié)果一致.

3結(jié)論

在離散化模型中，將彈簧離散化成n段，從彈簧系統(tǒng)的能量出發(fā)，構(gòu)造系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，代入拉格朗日方程得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，消去常數(shù)項(xiàng)，則運(yùn)動(dòng)方程為二階常系數(shù)線性微分方程組．假設(shè)方程的解，得到特征方程，進(jìn)一步求出本征角頻率，當(dāng)n→∞時(shí)，得到彈簧振動(dòng)的角頻率的表達(dá)式

參 考 文 獻(xiàn)

1Weinstock R．Oscillations of a particle attached to a heavy spring：An application of the StieItjes integral．Am.J.Phys,1979,47(6)：508～514

2羅蔚因.關(guān)于彈簧振子固有頻率的進(jìn)一步討論.大學(xué)物理,1985,4(11):9～11

3陳鏡寰.彈簧振子系統(tǒng)振動(dòng)的周期.大學(xué)物理, 1988,7(12):1～3

4林瓊桂.與質(zhì)點(diǎn)連結(jié)的彈性桿的振動(dòng).大學(xué)物理,2004, 23 (3) :18～24

5M.L.James,G.M.Smith,J.C.Wolford,P.W.Whaley,Vibration of Mechanical and Structural Systems, Harper Collins College Publishers, New York, 1994:27～29

6陳代綬.垂直懸掛質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)的振動(dòng).大學(xué)物理,2007,26 (9):22～26

7劉曉霞,王智.豎直振動(dòng)彈簧的質(zhì)量對振動(dòng)周期的影響.大學(xué)物理,2010,29(11):51～54

8管靖.劉文彪. 理論力學(xué).北京.科學(xué)出版社，2008.13～14

收稿日期：(2015-02-05)