黃樹來 姜永超 王 娟 徐進棟 張志廣

（青島農(nóng)業(yè)大學(xué)理信學(xué)院，山東 青島 266109）

作為普通物理實驗中通常開設(shè)的實驗，單擺測重力加速度是力學(xué)部分的重要實驗，該實驗可以測量當?shù)氐闹亓铀俣?，更重要的是，通過該實驗可以練習(xí)基本測量工具的使用，學(xué)會正確讀取和處理數(shù)據(jù)，以及對實驗結(jié)果進行分析，計算實驗結(jié)果的誤差及分析誤差的來源。

圖1 是單擺的原理示意圖。由振動理論可以證明，單擺的周期：

若θ 非常小時，取零級近似，則：

圖1 單擺的原理圖

由公式（1）可見周期T 不但與擺長有關(guān)，而且與偏角θ 有關(guān)。在偏角一定時，擺長L 與T2成線性關(guān)系；在擺長一定時，周期T 與成線性關(guān)系。

通過對該實驗所用公式及測量過程進行分析，該實驗中誤差的來源主要有以下幾個方面：

1 方法誤差

1）擺角。實驗中所用計算重力加速度的公式（2），是在θ 趨近零時的近似，因此測量一般是在擺角小于5 度下進行的，因此擺角會帶來誤差，這屬于系統(tǒng)誤差的范圍。要減小該部分誤差，應(yīng)取公式（1）的一級近似[1]：

2）空氣阻力。公式（2）中沒有考慮空氣阻力，單擺近似是簡諧振動。實際空氣阻力的存在會導(dǎo)致單擺做阻尼振動，所以用公式（2）計算出的重力加速度顯然是存在誤差的。針對這部分誤差，需加上空氣阻尼修正項來計算重力加速度。

阻尼存在時的重力加速度公式為[2]：

實際實驗中由于擺線較長，運動速度較小，阻尼項產(chǎn)生的誤差可以忽略。

3）擺線質(zhì)量和擺球半徑。實驗中擺線質(zhì)量和擺球半徑不能忽略時，都會影響周期的計算公式，通過微小測量比較，這部分誤差非常微小，通?？梢圆挥杩紤][3]。

4）擺線彈性。實驗中要求擺線不能伸縮，完全沒有彈性，通過選擇合適的擺線材料，可以減小擺線彈性帶來的誤差，但無法完全消除。

2 測量誤差

1）周期測量。使用電子秒表進行單擺周期測量，如果是重復(fù)單周期測量，由于計時開始和結(jié)束的時機選擇導(dǎo)致的誤差對測量周期的影響非常大，因此，實際測量時應(yīng)用等值累計測量，即一次測50 或者100 個周期的時間，然后求平均值，得到單擺的周期T。通過對比計算，多周期測量得比多次單周期測量得到的

周期誤差小得多。這部分誤差不可避免，但可以盡量減到最小。

2）擺長測量。如果用鋼卷尺直接測量擺線的長度，由于擺球的中心位置不容易確定，會導(dǎo)致測量誤差偏大。如圖2所示，實驗中，可以先用鋼卷尺測量L1和L2，再用游標卡尺測出擺球直徑d，則擺長表示為：

實驗中擺線長度通常50cm 以上，用最小刻度為1mm 的鋼卷尺進行測量，小球直徑2cm 左右，用卷尺不容易測量，使用游標卡尺測量，最小分度0.02mm。對比計算發(fā)現(xiàn)，公式（4）計算出的擺長誤差小于直接測量擺長的誤差。

圖2 測量擺長示意圖

3 數(shù)據(jù)處理誤差

實驗中通過改變擺長，測量不同擺長對應(yīng)的周期，通過做L—T2曲線求斜率，或者用線性回歸法，也可以得到重力加速度。但通過上面的理論分析，我們知道，L—T2并不是嚴格的線性關(guān)系，因此我們按直線作圖求斜率或者最小二乘法求出的重力加速度g 必然帶來誤差。

4 結(jié)論

通過對單擺測重力加速度實驗的誤差分析，明確了誤差的來源，其中擺角產(chǎn)生的誤差較大，實驗中擺角應(yīng)小于5°。通過多次測量求平均值來減小測量過程的隨機誤差。實驗中通過修正實驗理論，選擇合適的測量工具，可以最大限度減小實驗誤差。

［1］姜永超.大學(xué)物理實驗[Z].2015，1：50.

［2］戚明.大學(xué)物理[Z].198712：11.

［3］游艷琳.單擺測重力加速度實驗近似處理的誤差分析[Z].2015(5)：92.