方 焯 陳西曲 陳良艷 黃海林

（武漢輕工大學(xué)，湖北 武漢 430023）

自從1965 年庫(kù)利和圖基發(fā)表了快速傅里葉變換算法以來(lái)，數(shù)字信號(hào)處理這一學(xué)科蓬勃發(fā)展，逐漸成為一門涉及許多學(xué)科而廣泛引用于許多領(lǐng)域的新興學(xué)科。數(shù)字濾波器具有精度高、穩(wěn)定性好、靈活性強(qiáng)、便于集成、高性能等優(yōu)點(diǎn)[1-2]，在數(shù)字信號(hào)處理中發(fā)揮著十分重要的作用。

MATLAB 軟件是美國(guó)MathWorks 公司推出的一套高性能科學(xué)計(jì)算軟件，它具有強(qiáng)大的數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、信號(hào)處理和圖形顯示的功能。信號(hào)處理工具箱中包含許多由信號(hào)處理領(lǐng)域的權(quán)威專家編寫的函數(shù)，可以直接調(diào)用，使編程變得很簡(jiǎn)單。特別在數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，MATALB 軟件能夠很方便的完成數(shù)值計(jì)算以及圖形的繪制。下面我們具體說(shuō)明MATLAB 軟件分別在IIR（Infinite Impulse Response）和FIR（Finite Impulse Response）數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。

1 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

IIR 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)包含零點(diǎn)和單位圓內(nèi)的極點(diǎn)，因此可以用較低的階數(shù)設(shè)計(jì)出頻率選擇性較高的濾波器，所用的存儲(chǔ)單元少，計(jì)算量小、效率高。但I(xiàn)IR 濾波器一般不具有線性相位。設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的思路是先把數(shù)字技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計(jì)模擬IIR 濾波器，最后映射成一個(gè)等效的數(shù)字濾波器。

我們用沖擊響應(yīng)不變法和雙線性變換法分別設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器為例說(shuō)明MATLAB 軟件的運(yùn)用方法。設(shè)計(jì)IIR數(shù)字帶通濾波器，給定指標(biāo)為(1)200Hz＜f＜400Hz，衰減＜2dB，(2)f＜100Hz，f＞600Hz，衰減＞20dB，(3)抽樣頻率fs=2kHz。

先將模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)AD 轉(zhuǎn)換得到數(shù)字信號(hào)，那么所設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的的指標(biāo)為：

其中Wc1=200 Hz，Wc2=400 Hz 為兩個(gè)通帶截止頻率；Wst1=100 Hz，Wst2=600 Hz 為兩個(gè)阻帶截止頻率，fs=2000 Hz 為采樣頻率。wc1，wc2，wst1，wst2分別為轉(zhuǎn)換得到的數(shù)字濾波器的兩個(gè)通帶截止頻率和兩個(gè)阻帶截止頻率。

通常的設(shè)計(jì)方法是將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，再將模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計(jì)模擬低通濾波器，最后將設(shè)計(jì)的模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器。設(shè)計(jì)方法非常復(fù)雜，然而運(yùn)用MATLAB 軟件來(lái)設(shè)計(jì)非常方便，函數(shù)buttord 和cheb1ord 直接根據(jù)給定的技術(shù)指標(biāo)返回巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)和3dB 的截止頻率，再用butter 和cheb1ord 函數(shù)返回所設(shè)計(jì)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。用沖擊響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)，先設(shè)計(jì)出模擬濾波器，再用impinvar 函數(shù)將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器；用雙線性變換法設(shè)計(jì)可以用該函數(shù)直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。具體程序代碼如下：

fs=2000;%采樣頻率。

Wc=[2*pi*200 2*pi*400];Wst=[2*pi*100 2*pi*600];%通帶截止頻率和阻帶截止頻率。

Rp=2;Rst=20;%通帶最大衰減和阻帶最小衰減。

wc=Wc/fs;wst=Wst/fs;%所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的截止頻率。

[N，Wn]=buttord(Wc，Wst，Rp，Rst，'s');%用巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)，沖擊響應(yīng)不變法，'s' 表示設(shè)計(jì)模擬濾波器，N 為階數(shù)，Wn 為3dB 的截止頻率。

[B，A]=butter(N，Wn，'s');%返回模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，B 為分子多項(xiàng)式系數(shù)，A 為分母多項(xiàng)式系數(shù)。

隨著煙草行業(yè)信息化建設(shè)的飛速發(fā)展，卷煙工廠基本完成了基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)和各類業(yè)務(wù)系統(tǒng)建設(shè)，這些信息系統(tǒng)之間相對(duì)獨(dú)立，缺乏有機(jī)聯(lián)系，形成了信息孤島;各業(yè)務(wù)系統(tǒng)側(cè)重于業(yè)務(wù)處理，不能進(jìn)行充分的數(shù)據(jù)價(jià)值挖掘，缺乏為企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)的綜合分析、宏觀決策提供有力支持。因此，建設(shè)卷煙工廠的數(shù)據(jù)中心就顯得尤為迫切和重要。

[b，a]=impinvar(B，A，fs);%函數(shù)impinvar 用沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器，返回b 和a 分別為數(shù)字濾波器的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)。

[h1，w1]=freqz(b，a，100);%函數(shù)freqz 算出沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。

[N，Wn]=buttord(wc/pi，wst/pi，Rp，Rst);%用巴特沃斯濾波器直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，得到濾波器的階數(shù)和3dB 截止頻率。

[b，a]=butter(N，Wn);%返回?cái)?shù)字濾波器的系數(shù)。

[h2，w2]=freqz(b，a，100);%函數(shù)freqz 算出雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。

[N，Wn]=cheb1ord(Wc，Wst，Rp，Rst，'s');%用切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)模擬濾波器，得到濾波器的階數(shù)和3dB 截止頻率。

[B，A]=cheby1(N，Rp，Wn，'s');%得到模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。

[b，a]=impinvar(B，A，fs);%函數(shù)impinvar 用沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器

[h3，w3]=freqz(b，a，100);%函數(shù)freqz 算出沖擊響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。

[N，Wn]=cheb1ord(wc/pi，wst/pi，Rp，Rst);%用切比雪夫?yàn)V波器直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，得到濾波器的階數(shù)和3dB 截止頻率。

[b，a]=cheby1(N，Rp，Wn);%返回?cái)?shù)字濾波器的系數(shù)。

[h4，w4]=freqz(b，a，100);%函數(shù)freqz 算出雙線性變換法設(shè)計(jì)切比雪夫數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。

x=[wc/pi，wst/pi];

y=[-Rp，-Rp，-Rst，-Rst];%技術(shù)指標(biāo)

plot(w1/pi，20*log10(abs(h1))，'+'，w2/pi，20*log10(abs(h2))，'^'，w3/pi，20*log10(abs(h3))，'v'，w4/pi，20*log10(abs(h4))，'o'，x，y，'*');%畫圖

grid;xlabel('w/pi');ylabel('20Log(|H|)');axis([0，1，-50，10]);

legend(' 巴特沃斯，沖擊響應(yīng)不變法'，' 巴特沃斯，雙線性變換法'，' 切比雪夫，沖擊響應(yīng)不變法'，' 切比雪夫，雙線性變換法');

圖1 IIR 濾波器的幅頻響應(yīng)曲線

圖1 為程序運(yùn)行后的濾波器的幅頻響應(yīng)曲線?？梢钥闯鏊O(shè)計(jì)的4 種數(shù)字濾波器通帶截止頻率為0.2π 和0.4π，w＜0.1π 和w＞0.6π 為阻帶，阻帶的衰減均大于20dB，滿足了數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的技術(shù)要求。巴特沃斯濾波器在通帶沒(méi)有出現(xiàn)波紋，而切貝雪夫?yàn)V波器在通帶出現(xiàn)波紋；雙線性變換法實(shí)現(xiàn)模擬濾波器到數(shù)字濾波器的映射不出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，而沖擊響應(yīng)不變法實(shí)現(xiàn)該轉(zhuǎn)換高頻部分有混疊現(xiàn)象，因此，在高頻阻帶，沖擊響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的濾波器的幅頻響應(yīng)曲線會(huì)往上翹，所設(shè)計(jì)的濾波器的特征都符合要求。

2 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)沒(méi)有極點(diǎn)，保證了FIR 濾波器是穩(wěn)定的。FIR 濾波器很容易具有線性相位。設(shè)計(jì)FIR 濾波器通常有窗函數(shù)法和頻率采樣法。

窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR 濾波器的基本原理就是在時(shí)域逼近理想濾波器的單位沖擊響應(yīng)[3]，從而使所得到的頻率響應(yīng)與所要求的理想頻率響應(yīng)盡可能接近。這種時(shí)域逼近時(shí)通過(guò)在時(shí)域加窗的方法得到的，通過(guò)給定的技術(shù)指標(biāo)選擇窗函數(shù)的類型和長(zhǎng)度。例如利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位低通FIR 數(shù)字濾波器，通帶截止頻率wp=0.4π，阻帶截止頻率wst=0.6π，阻帶最小衰減50dB。常用的窗函數(shù)有矩形窗、三角窗、漢寧窗、海明窗、布萊克曼窗和凱澤窗，每個(gè)窗函數(shù)加窗后的濾波器的阻帶最小衰減不一樣，根據(jù)阻帶最小衰減50dB 我們選擇海明窗，然后根據(jù)海明窗過(guò)渡帶的寬度為6.6π/N，結(jié)合需要設(shè)計(jì)的過(guò)渡帶寬度wst-wp=0.2π 計(jì)算出海明窗的長(zhǎng)度N。截止頻率取通帶截止頻率和阻帶截止頻率中心，通過(guò)fir1 函數(shù)得到FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，程序代碼如下：

圖2 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)曲線

程序運(yùn)行后，結(jié)果如圖2 所示。濾波器的長(zhǎng)度N=33，阻帶截止頻率0.6π 的衰減為50dB，達(dá)到了濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。

頻率采樣法對(duì)期望的頻率響應(yīng)在0～2π 之間等間隔地采樣，通過(guò)采樣點(diǎn)的值還原出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。雖然頻率采樣點(diǎn)與理想的頻率響應(yīng)精確的符合，但是無(wú)法控制采樣點(diǎn)之間如何插值。抽樣點(diǎn)之間的理想頻率特性變化越陡峭，則內(nèi)插值與理想值之間的誤差就越大。在過(guò)渡帶兩邊會(huì)產(chǎn)生肩峰，通帶和阻帶也會(huì)產(chǎn)生波紋。這可以通過(guò)增加過(guò)渡帶抽樣點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，例如設(shè)計(jì)一個(gè)低通FIR 數(shù)字濾波器，wc=0.5π，抽樣點(diǎn)數(shù)為N=33，要求濾波器具有線性相位。(1)增加一點(diǎn)過(guò)渡帶進(jìn)行優(yōu)化，過(guò)渡帶抽樣點(diǎn)值為0.5；(2)增加抽樣點(diǎn)數(shù)至N=65，加兩點(diǎn)過(guò)渡帶優(yōu)化，過(guò)渡帶抽樣點(diǎn)值為0.5886，0.1065。程序代碼如下：

圖3 頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)曲線

程序運(yùn)行后，結(jié)果如圖3 所示?？梢钥闯?，增加一點(diǎn)過(guò)渡帶抽樣后，過(guò)渡帶的寬度由原來(lái)的2π/33，增大為4π/33，阻帶最小衰減由-17dB 增大為-30dB。可見(jiàn)增加過(guò)渡帶抽樣點(diǎn)，阻帶衰減增大，但過(guò)渡帶變寬了。抽樣點(diǎn)數(shù)增大到65 后，阻帶衰減增大為-65dB，過(guò)渡帶的寬度約為6π/65。若要阻帶衰減增大，又不影響過(guò)渡帶的寬度，就要增加抽樣點(diǎn)數(shù)。但增加抽樣點(diǎn)數(shù)，所設(shè)計(jì)的濾波器的延時(shí)器的數(shù)量也增大了，所以需要結(jié)合具體的應(yīng)用及硬件條件選擇合適的抽樣點(diǎn)數(shù)。

3 結(jié)論

本文介紹了MATLAB 在IIR 和FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用?？梢钥闯鯩ATLAB 的引入為數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)提供了便捷的數(shù)值計(jì)算方法，從大量的數(shù)據(jù)推導(dǎo)和計(jì)算中解放出來(lái)，使得數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單化、實(shí)用化，充分體現(xiàn)了MATLAB 軟件在數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中的優(yōu)越性。

［1］周硯江，顧煥峰，馮佳良.基于SPI 的快速多通道數(shù)據(jù)采集和數(shù)字濾波方法及應(yīng)用研究[J].電子測(cè)量與儀器學(xué)報(bào)，2008，22(3)：100-104.

［2］高明，張清，趙文才.一種基于DSP 技術(shù)的平視顯示器視差自動(dòng)檢測(cè)方法[J].國(guó)外電子測(cè)量技術(shù)，2010，29(12)：24-27.

［3］陳后金，薛健，胡健.數(shù)字信號(hào)處理[M].北京：高等教育出版社，2007.