張 微 孫梅蘭 章玉澤 趙春影 嚴(yán)建國 王學(xué)為

（合肥學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系，安徽 合肥 230601）

我們?cè)谥v授和學(xué)習(xí)解析幾何課程的過程中深刻體會(huì)到傳統(tǒng)的“只注重本課程理論體系的完整性”的方法，很難適應(yīng)現(xiàn)在的人才培養(yǎng)要求。因此，我們對(duì)解析幾何課程的學(xué)習(xí)模式從以下幾個(gè)方面進(jìn)行了探討。希望能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)該課程，增加學(xué)習(xí)興趣，減少學(xué)習(xí)困難，讓學(xué)生更快地、無障礙地進(jìn)入后繼課程的學(xué)習(xí)，熟練地將所學(xué)的解析幾何知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際。

1 優(yōu)化學(xué)習(xí)素材，提高學(xué)習(xí)效能

首先，我們根據(jù)學(xué)習(xí)和實(shí)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，匯總了解析幾何知識(shí)在后繼課程和實(shí)際中應(yīng)用較多的“點(diǎn)”，對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行“強(qiáng)化”處理。將這些知識(shí)點(diǎn)在教材的有關(guān)章節(jié)中標(biāo)注，一方面提醒教師在教學(xué)中力爭(zhēng)對(duì)這些“點(diǎn)”講多、講深、講透，并介紹它們?cè)诤罄^課程或?qū)嶋H中的作用；另一方面提醒學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)重點(diǎn)關(guān)注。這樣，不僅讓學(xué)生對(duì)當(dāng)下所學(xué)知識(shí)有更深的理解，而且讓學(xué)生對(duì)未來要學(xué)的知識(shí)有初步的感知并產(chǎn)生好奇心，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

例如，向量的外積在物理學(xué)中表示力矩、磁力、角動(dòng)量等；參數(shù)方程是學(xué)生不夠重視且比較怕學(xué)習(xí)的部分，但參數(shù)方程在數(shù)學(xué)分析等學(xué)科中有非常廣泛的應(yīng)用，如用于求解各類積分，參數(shù)方程還廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際中；學(xué)生以往常常忽視對(duì)空間區(qū)域的作圖，認(rèn)為可有可無，但會(huì)作圖對(duì)求解重積分、曲面積分等是非常有用的。

再如，目前學(xué)習(xí)的二維、三維向量在代數(shù)中會(huì)推廣到n 維；現(xiàn)在學(xué)習(xí)的平面間的位置關(guān)系可以用代數(shù)中線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論來討論、二次曲面的分類問題可以用代數(shù)中的二次型的理論來研究。

其次，對(duì)解析幾何教材中在后繼課程和實(shí)際中應(yīng)用較少的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹叭趸碧幚怼１热?，三向量的雙重向量積等。

另外，我們還遴選了幾本含有“應(yīng)用型”實(shí)例的參考書，汲取不同教材中的精華，歸納它們的特點(diǎn)，為更好地學(xué)習(xí)該門課程開闊視野，總結(jié)如何利用這些參考書配合主教材進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。

2 提煉解析幾何課程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

有位哲學(xué)家指出：“即使是學(xué)生把教給他的所有知識(shí)都忘記了，但還能使他獲得受用終生的東西的那種教育才是最高最好的教育。”數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)教育中使學(xué)生受用終生的東西之一。我們根據(jù)在解析幾何教與學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)，挖掘出解析幾何課程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法可以使解析幾何的教與學(xué)的高度得到極大的升華。解析幾何中蘊(yùn)涵著數(shù)形結(jié)合、化歸、變換、類比、知識(shí)系統(tǒng)化等非常多的數(shù)學(xué)思想方法，這里僅以數(shù)形結(jié)合思想方法說明如下：

解析幾何是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法的典范，其內(nèi)容從始至終都貫穿著數(shù)形結(jié)合思想方法。教材的知識(shí)脈絡(luò)基本如下：介紹了向量及其運(yùn)算，把空間的幾何結(jié)構(gòu)向量化、代數(shù)化，從而把代數(shù)的方法引入到幾何中來。又引入了坐標(biāo)系，建立了空間向量的坐標(biāo)與空間點(diǎn)的坐標(biāo)，給出了向量各種運(yùn)算的坐標(biāo)表示，從而使向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算，這樣就把幾何問題的討論推進(jìn)到了可以計(jì)算的數(shù)量層面；建立曲線、曲面與其方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；在由平面和直線滿足的幾何條件建立起它們的方程后，用代數(shù)的方法研究點(diǎn)、線、面間的幾何問題（位置問題、度量問題）；由柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的幾何特征推導(dǎo)出它們的方程；通過對(duì)橢球面、雙曲面與拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論得出它們的形狀和一些幾何性質(zhì)；從二次曲線（面）的方程出發(fā)，通過代數(shù)運(yùn)算，找出適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，得出二次曲線（面）的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而能在平面上（空間中）確定它的位置，畫出它的幾何圖形。[1]

下面，舉例說明數(shù)形結(jié)合思想方法如何用于提高解題效率。

例1 已知兩條異面直線l1，l2，證明：連接l1上任一點(diǎn)和l2上任一點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在兩直線的公垂線段的垂直平分面上。

解題思路：先建立空間直角坐標(biāo)系，再寫出l1,l2在此直角坐標(biāo)系下的方程，最后證明l1上任一點(diǎn)與l2上任一點(diǎn)中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足兩直線的公垂線段的垂直平方面的方程。

上題是用代數(shù)方法解決幾何問題。

例2 已知：x2+y2+z2=1，a2+b2+c2=1，求證：ax+by+cz≤1。

解題思路：由x2+y2+z2=1 知點(diǎn)(x,y,z)在以原點(diǎn)為球心的單位球面上；平面ax+by+cz=0 過原點(diǎn)；點(diǎn)(x,y,z)到平面ax+by+cz=0 的距離是此距離應(yīng)該小于等于單位球面的半徑，得出結(jié)論。

上例是用幾何方法解決代數(shù)問題。

3 總結(jié)利用案例學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)

我們?yōu)榻馕鰩缀蔚拿總€(gè)知識(shí)模塊尋找了至少一個(gè)實(shí)際應(yīng)用案例，分析如何利用這些案例來理解相關(guān)知識(shí)，如何建模并解決這些案例中的問題。通過所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，擴(kuò)展知識(shí)面，提高學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)分析與解決問題的能力。

例3[2]激光測(cè)量中的直線與平面問題

由激光知識(shí)可知，若圖1 中光軸為z 軸，則由點(diǎn)P 的激光在平面π 上點(diǎn)Pi(xi,yi,zi)(i=1，…，n)的光強(qiáng)為：

式中的z0為點(diǎn)P 的豎坐標(biāo)。

圖1

由于平面π 過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以其方程可記為

圖2

下面要求出A,B,z0，為此我們要在平面π 上確定若干點(diǎn)Pi(xi，yi，zi)(i=1，…，n)，為方便計(jì)算，構(gòu)造如圖2 中結(jié)構(gòu)的邊長為r 的組合等邊三角形，將這些三角形的頂點(diǎn)作為Pi(xi，yi，zi)(i=1，…，n)點(diǎn)，要求出Pi(xi，yi，zi)(i=1，…，n)的坐標(biāo)和A,B,z0共3n+3 個(gè)未知量，需要3n+3 個(gè)方程。由Pi(xi，yi，zi)(i=1，…，n)的坐標(biāo)滿足方程（1）和（3）式，會(huì)產(chǎn)生2n 個(gè)方程，還需要3n+3-2n=n+3 個(gè)方程。

圖2 的結(jié)構(gòu)中任意相鄰兩點(diǎn)間的距離均是邊長r，此結(jié)構(gòu)中共有(n-1)+(n-2)=2n-3(n≥2)條鄰邊，由此可得2n-3 個(gè)方程，所以令2n-3=n+3 有n=6。

因此，通過求解如下方程組：

求解上面的21 個(gè)方程得A，B，z0和Pi(xi，yi，zi)(i=1，…，n)的坐標(biāo)。

上例可以作為“直線與平面”這部分知識(shí)的應(yīng)用案例。

例4[3]飛機(jī)機(jī)翼的外形曲面

某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼為直紋面，圖3 表示兩個(gè)平行截面之間的機(jī)翼外形。橫截面的邊界是兩條參數(shù)閉曲線：

圖3

對(duì)于同一參數(shù)u1，在兩截面的邊界線分別對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)這兩點(diǎn)之間的直線向量式方程為

其中(0≤v≤1)為參數(shù)。當(dāng)u1從0→1 時(shí)，上直線就連續(xù)地描出一張直紋曲面，此直紋曲面的方程可以寫為：

其中0≤u，v≤1 為曲面的參數(shù)。

上例作為學(xué)習(xí)“直紋曲面”這部分知識(shí)的應(yīng)用案例。

4 總結(jié)如何利用信息技術(shù)學(xué)習(xí)解析幾何的經(jīng)驗(yàn)

我們探討設(shè)計(jì)了一些該課程的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目。如運(yùn)用Mathematica、Matlab 等軟件制作“解析幾何”中的曲面和曲線圖形，通過動(dòng)態(tài)演示形象地揭示幾何概念的內(nèi)涵，清晰地展現(xiàn)幾何圖形的構(gòu)造和特點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的直觀性和形象性，多角度、多側(cè)面、多層次深化學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而增加課程的趣味性，激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，加深對(duì)知識(shí)的理解，取得傳統(tǒng)式學(xué)習(xí)難以達(dá)到的效果。

例5[4]利用Matlab 畫出的圖像。

輸入如下命令：[x，y]=meshgrid(-4：0.5：4);z=sqrt(x.^2+y.^2);surf(x，y，z)

運(yùn)行結(jié)果為所求圓錐面的圖像（略）。

本文是我們?cè)趯?shí)施安徽省大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目“解析幾何模塊化進(jìn)程中創(chuàng)新學(xué)習(xí)方法的探索與實(shí)踐”的過程中的收獲和感悟。該項(xiàng)目的特色是首先考慮到解析幾何課程的特點(diǎn)，再從學(xué)生自身學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，希望在總結(jié)解析幾何知識(shí)在后繼課程和實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ)上，探索出解析幾何課程的創(chuàng)新學(xué)習(xí)方法并付諸實(shí)踐。

［1］呂林根.解析幾何學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書[M].北京：高等教育出版社，2006.

［2］徐陽，楊興云.空間解析幾何及其應(yīng)用[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2006.

［3］蔣大為.空間解析幾何及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

［4］汪曉銀，鄒庭榮，周保平.數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].2 版.北京：科學(xué)出版社，2010.

［5］馬淑云，王陽.解析幾何教學(xué)中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法芻議[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，10(3)：87-91.

［6］王穎.將解析幾何融入線性代數(shù)教學(xué)中的思考[J].高師理科學(xué)刊，2013，33(4)：62-64.