梁志國(guó)

(中航工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所 計(jì)量與校準(zhǔn)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100095)

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殘周期正弦波形參數(shù)擬合及其應(yīng)用

梁志國(guó)

(中航工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所 計(jì)量與校準(zhǔn)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100095)

摘要：介紹了殘周期正弦波擬合問(wèn)題的難點(diǎn)及解決思想：以無(wú)需初始值預(yù)估計(jì)的模型擬合方式，化解殘周期波形時(shí)信息不夠全面的問(wèn)題，從而一舉解決了殘周期條件下的正弦波形最小二乘擬合問(wèn)題。針對(duì)殘周期條件下的正弦擬合的特殊性，介紹了正弦波局域失真的思想及概念，以及適應(yīng)于局域波形的噪聲信號(hào)比的概念，并給出了噪聲信號(hào)比對(duì)于正弦參數(shù)擬合誤差的影響規(guī)律。針對(duì)殘周期正弦波擬合的應(yīng)用，給出了幾個(gè)典型的應(yīng)用事例，包括超低頻正弦參數(shù)的快速估計(jì)、AM和FM信號(hào)波形的數(shù)字化解調(diào)、沖擊波形峰值的精確估計(jì)、其它正弦波擬合算法的初始值估計(jì)等。證明了方法的有效性、可行性和工程實(shí)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：計(jì)量學(xué)；正弦波；曲線擬合；參數(shù)估計(jì)；評(píng)價(jià)；殘周期

0引言

正弦波形是人類應(yīng)用最多且最廣泛的波形之一，多種周期性的物理現(xiàn)象，諸如振動(dòng)、擺動(dòng)、波動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)等，均可以展現(xiàn)出正弦波形特性，而人們廣泛使用的交流電能、廣播、電視、通訊、導(dǎo)航、儀器儀表等眾多行業(yè)領(lǐng)域里均能見(jiàn)到正弦波的應(yīng)用。因此，導(dǎo)致正弦波形的基本參數(shù)幅度、頻率、初始相位、直流分量的估計(jì)和獲取成為這些應(yīng)用中最重要的基本工作之一。

關(guān)于正弦波形的四個(gè)參數(shù)，人們有眾多的應(yīng)用方式，而這四個(gè)波形參數(shù)的估計(jì)與獲取，也有眾多不同的方法[1-11]，如時(shí)域分析法、頻域分析法、直方圖統(tǒng)計(jì)分析法、最小二乘曲線擬合法、仿生非線性尋優(yōu)法等。

這些方法各有千秋，多數(shù)情況下，均需要擁有多個(gè)周期的正弦波形才能進(jìn)行有效的參數(shù)估計(jì)。當(dāng)周期個(gè)數(shù)減少時(shí)，參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確度往往隨之降低[12]，而當(dāng)波形數(shù)目不足一個(gè)周期時(shí)，絕大多數(shù)估計(jì)方法均告失靈，無(wú)法有效給出所要估計(jì)的四個(gè)參數(shù)。然而，人們依然希望能夠在不足一個(gè)周期的正弦波形條件下，有效估計(jì)出正弦波形的四個(gè)參數(shù)，這樣的工作將在處理超低頻信號(hào)參數(shù)快速估計(jì)，以及以正弦波為載波的調(diào)制信號(hào)解調(diào)等一系列場(chǎng)合具有重要的意義和價(jià)值。

1殘周期正弦波形參數(shù)擬合

前已說(shuō)明，有眾多正弦參數(shù)估計(jì)方法，但當(dāng)波形不足一個(gè)周期時(shí)，多數(shù)方法均失去了效用，其根本原因在于此時(shí)波形中的信息已經(jīng)不全了，例如少于一個(gè)周期的信號(hào)波形直接導(dǎo)致周期信息(頻率信息)不完整，由此導(dǎo)致直流分量信息不確切，進(jìn)而峰峰值信息可能不完整，因而初始相位信息也可能不確切。

在這種情況下，最有可能獲得有效估計(jì)結(jié)果的是曲線擬合法。理由是這種方法是直接使用正弦波模型作為擬合波形，通過(guò)尋找最小二乘意義下的殘差有效值來(lái)確定擬合波形參數(shù)，因而可望在波形周期不完整的條件下仍然能夠獲得有效的估計(jì)結(jié)果。

有許多種最小二乘正弦波擬合法，它們自身依然需要在擬合中進(jìn)行參數(shù)初始值的預(yù)估計(jì)[1-2]，當(dāng)這些參數(shù)初始值距離真值目標(biāo)較遠(yuǎn)時(shí)，極有可能導(dǎo)致估計(jì)過(guò)程發(fā)散，從而擬合失敗。而在殘周期條件下，波形參數(shù)的初始值估計(jì)恰是一個(gè)難點(diǎn)，在很多情況下都無(wú)法有效進(jìn)行，因而參數(shù)估計(jì)本身很難確保實(shí)現(xiàn)。

文獻(xiàn)[13] 找到一種方法，通過(guò)利用已知頻率條件下的三參數(shù)擬合算法，將正弦波形的四個(gè)參數(shù)的非線性四維搜索尋優(yōu)，轉(zhuǎn)變成頻率變量一個(gè)參數(shù)的線性搜索尋優(yōu)，并給出了明確的收斂區(qū)間為(0，2πf0] ；其中，f0為信號(hào)的真實(shí)頻率。無(wú)需初始值的預(yù)估計(jì)，將殘周期正弦擬合參數(shù)估計(jì)變成現(xiàn)實(shí)。仿真擬合結(jié)果表明，使用該文所述方法，在最少至0.004個(gè)信號(hào)周期的波形數(shù)據(jù)已經(jīng)可以正確擬合出正確的波形參數(shù)。當(dāng)波形曲線含有約0.1個(gè)信號(hào)周期以后，擬合幅度與擬合頻率趨于穩(wěn)定和正常，當(dāng)波形曲線含有約0.15個(gè)信號(hào)周期以后，擬合幅度與擬合頻率將獲得良好的擬合結(jié)果。

設(shè)正弦波形曲線方程為

y(t)=A0·cos(2πft+φ0)+D0

(1)

正弦波形采樣序列為x1，x2，...，xn，其最小二乘擬合曲線為

(2)

ω=2πfΔt

擬合殘差有效值為

(3)

式中：A為正弦波形的幅度擬合值；ω為正弦波形的角頻率擬合值；φ為正弦波形的初始相位擬合值；D為正弦波形的直流分量擬合值；ρ為正弦波形的擬合殘差有效值。而Δt為采樣間隔?？梢哉J(rèn)為，在采樣序列僅含有噪聲誤差時(shí)，ρ表示疊加在正弦波形之上的噪聲實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

使用這種方法，在1/3個(gè)信號(hào)周期上執(zhí)行波形最小二乘擬合，獲得的擬合結(jié)果為：信號(hào)頻率10.57349 Hz，幅度4773.703 mV，直流分量為-369.5314 mV，相位-0.31970 rad。擬合曲線與原始數(shù)據(jù)序列部分值如圖1所示。用多個(gè)信號(hào)周期獲得的擬合結(jié)果為：信號(hào)頻率11.00287 Hz，幅度4459.356 mV，直流分量為42.254 mV，相位-0.317383 rad。其中，采集速率為2000 Samples/s，序列長(zhǎng)度為1800點(diǎn)；信號(hào)幅度為4500 mV，頻率為11 Hz。

圖1　測(cè)量序列yi與擬合曲線(i)

2局域失真

引入殘周期擬合方法后，如何評(píng)價(jià)擬合效果成為一個(gè)難點(diǎn)。其物理定義、應(yīng)用價(jià)值、與現(xiàn)在正弦模型參量的關(guān)系問(wèn)題等，均應(yīng)相容。文獻(xiàn)[14] 提出的局域失真的定義與概念恰好解決了這一問(wèn)題。它在殘周期局部波形擬合方法的基礎(chǔ)上，推廣豐富了正弦波形失真的定義與概念；將正弦波局域波形失真分解成“共模失真”、“差模失真”和“總失真”三部分，其中，當(dāng)波形長(zhǎng)度等于整數(shù)個(gè)周期時(shí)，局域總失真的定義與現(xiàn)有正弦波總失真的定義相一致，而差模失真和共模失真是總失真的兩個(gè)不同的失真分量。

3殘周期擬合效果的衡量

由于涉及到殘周期正弦曲線擬合，造成以往的以完整波形為基礎(chǔ)定義的波形參數(shù)在此產(chǎn)生了應(yīng)用限制，無(wú)法確切描述擬合參數(shù)誤差的變化規(guī)律。為此，文獻(xiàn)[15] 提出了采樣序列的噪聲信號(hào)比的概念，并定義采樣序列的噪聲信號(hào)比為擬合殘差有效值與波形序列最大值和最小值差異之比。并用該定義衡量殘周期序列，找出了擬合參數(shù)誤差與噪聲信號(hào)比間的規(guī)律。

設(shè)正弦波幅度為5 V，頻率1000 Hz，直流分量0 V，采樣序列長(zhǎng)度n=10000。

選取波形長(zhǎng)度為0.4個(gè)信號(hào)周期，正弦波噪聲信號(hào)比NSM=1%，初始相位φ0從0°~360°按照9°增量等間隔變化，獲得采樣序列噪聲信號(hào)比NSR隨初始相位φ0變化曲線如圖2所示。

圖2　NSR隨初始相位φ0變化曲線

圖3為幅度A、角頻率ω和直流分量D擬合相對(duì)誤差隨初始相位φ0變化曲線，圖4為初始相位φ0擬合誤差隨初始相位變化曲線。

圖3　擬合相對(duì)誤差隨初始相位φ0變化曲線

圖4　擬合相位誤差Δφ隨初始相位φ0變化曲線

4調(diào)制解調(diào)

由于能夠在殘周期條件下估計(jì)正弦波形的四個(gè)參數(shù)，并且良好的收斂性可保證在很寬的邊界條件下的絕對(duì)收斂，因而該方法可以很容易地直接應(yīng)用于AM，F(xiàn)M等調(diào)制信號(hào)的數(shù)字化解調(diào)[16-17]。除了擁有較強(qiáng)的自適應(yīng)性外，由于殘周期的適用性特征減小了解調(diào)的窗口效應(yīng)，由此還獲得了更高的解調(diào)分辨力和更好的響應(yīng)特性。

圖5為按照已知參數(shù)構(gòu)造的理想調(diào)幅信號(hào)[16]，圖6為其解調(diào)波形結(jié)果。其中，載波正弦波峰值1 V，頻率100 Hz；調(diào)制信號(hào)為正弦波，調(diào)制度95%，頻率為5.5 Hz；量程4 V，采樣速率為8 kSample/s，n=5000。

圖5　AM信號(hào)時(shí)域波形

圖6　AM信號(hào)的解調(diào)波形結(jié)果

圖7是使用Tektronix公司TDS784D型數(shù)字存儲(chǔ)示波器，對(duì)于RS公司的SMT03型射頻信號(hào)源的調(diào)頻正弦信號(hào)進(jìn)行測(cè)量獲得的FM信號(hào)時(shí)域波形[17]；其A/D位數(shù)8，測(cè)量范圍-4~4 V，采集速率25 MSample/s，采樣點(diǎn)數(shù)n=5000；載波信號(hào)峰值1.414 V，載波頻率300 kHz；調(diào)制頻偏250 kHz，調(diào)制頻率15 kHz。圖8為FM信號(hào)的解調(diào)結(jié)果。

圖7　實(shí)測(cè)FM信號(hào)時(shí)域波形

圖8　FM信號(hào)的解調(diào)波形結(jié)果

5沖擊波形峰值估計(jì)

有一些專業(yè)領(lǐng)域，本身研究的并非正弦波形，也可以嘗試使用殘周期正弦波擬合方式，并能獲得良好的結(jié)果。例如，沖擊專業(yè)中的基本任務(wù)——沖擊峰值的估計(jì)，由于受到尖峰毛刺、振鈴噪聲、量化誤差等因素的影響，在某些情況下很難獲得精確的峰值估計(jì)結(jié)果，使用殘周期正弦波曲線模型進(jìn)行擬合處理，省去了濾波等環(huán)節(jié)，從原則上講，應(yīng)該能夠獲得更加精確的估計(jì)結(jié)果[18]。

用350B04型沖擊加速度傳感器(11024號(hào))和配套的PCBF482A型放大器，在沖擊加速度校準(zhǔn)裝置上按校準(zhǔn)規(guī)范所述方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，獲得如圖9所示的沖擊加速度校準(zhǔn)曲線波形[19]。

圖9　沖擊加速度傳感器校準(zhǔn)曲線波形

所用采集設(shè)備為TDS544A型數(shù)字存儲(chǔ)示波器。模擬帶寬500 MHz，8 Bits A/D，最小電壓分度1 mV/div，存儲(chǔ)深度50 kSample/ch；雙通道采樣設(shè)置，每通道采樣率為6.25 MS/s；放大器歸一化系數(shù)為1，截止頻率為30 kHz，放大倍數(shù)1。

該加速度傳感器靈敏度的標(biāo)稱值0.9400 mV/g，用直接讀取法獲得其加速度校準(zhǔn)脈沖峰值3221.14g，電壓脈沖峰值為3.241 V，所用數(shù)字濾波器帶寬20 kHz，按檢定規(guī)程所述方法進(jìn)行校準(zhǔn)獲得的校準(zhǔn)靈敏度為1.0062 mV/g。

截取沖擊波形峰值附近的約1/2幅度的脈沖，用殘周期正弦參數(shù)擬合法進(jìn)行波形擬合，獲得擬合曲線與測(cè)量曲線的對(duì)比圖如圖10所示[18]，其正弦峰值擬合值為A= 0.7321408 V；直流偏移擬合值為D=2.675251 V；最終獲得擬合脈沖峰值為 3.407392 V。此時(shí)，擬合殘差的有效值為ρ=70.10334 mV。

圖10　沖擊加速度校準(zhǔn)波形及擬合曲線(1/2幅度)

截取沖擊波形峰值附近的約3/4幅度的脈沖，用殘周期正弦參數(shù)擬合法進(jìn)行波形擬合，獲得擬合曲線與測(cè)量曲線的對(duì)比圖如圖11所示[18]，其正弦峰值擬合值為A=0.959759 V，直流偏移擬合值為D=2.422325 V；最終獲得擬合脈沖峰值為3.382084 V。此時(shí)，擬合殘差的有效值為ρ=91.8689 mV。

圖11　沖擊加速度校準(zhǔn)波形及擬合曲線(3/4幅度)

6預(yù)估計(jì)

前已指明，有很多種最小二乘擬合算法都可以應(yīng)用于正弦波形的參數(shù)估計(jì)，它們之所以不能應(yīng)用于殘周期條件下的正弦參數(shù)估計(jì)，主要是無(wú)法解決估計(jì)初始值的確定問(wèn)題，當(dāng)估計(jì)初始值可以確定以后，這些方法即可被喚醒，使用本文所述殘周期最小二乘擬合算法獲得的結(jié)果作為初始值，再結(jié)合牛頓法等其它四參數(shù)最小二乘擬合方法，可以獲得更為精確的擬合結(jié)果。

由于在空間科學(xué)材料實(shí)驗(yàn)中針對(duì)熱電偶信號(hào)的精度要求在微伏級(jí)，因而對(duì)系統(tǒng)的抗干擾能力有著很高的要求。在硬件設(shè)計(jì)中，通過(guò)放大調(diào)理電路的設(shè)計(jì)，系統(tǒng)接地方式的選取以及相應(yīng)的抗干擾設(shè)計(jì)，從而減少噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響，提高信號(hào)檢測(cè)精度[1]。

7結(jié)束語(yǔ)

綜上所述可見(jiàn)，殘周期正弦擬合方法出現(xiàn)后，不僅僅是對(duì)于正弦波形本身，例如超低頻正弦參數(shù)的快速處理等，對(duì)于那些以正弦模型為基礎(chǔ)的波形參數(shù)，如AM，F(xiàn)M信號(hào)的調(diào)制信號(hào)，以及單峰、單谷類沖擊波形，S狀波形等，很多種曲線波形都可以使用殘周期正弦模型進(jìn)行處理并獲得一些波形參數(shù)信息。因而，對(duì)于波形參數(shù)的估計(jì)、處理和計(jì)量測(cè)試來(lái)說(shuō)，具有廣闊的應(yīng)用前景和重大的實(shí)用價(jià)值。不僅如此，對(duì)于天體運(yùn)行來(lái)說(shuō)，多數(shù)情況下人們認(rèn)為其是周期運(yùn)行的，且周期可能非常長(zhǎng)，遠(yuǎn)超出人的壽命本身，若能通過(guò)天體觀測(cè)，以多普勒頻移方式將其運(yùn)行周期映射成正弦規(guī)律，則使用殘周期正弦擬合方法本身推算和估計(jì)天體運(yùn)行周期，在宇宙探索和天文研究中，將獲得其它方法意想不到的效果，極大拓展人們的研究視野和研究空間，使一些原來(lái)不可能的事情變成可能。

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Curve-fit Method and Its Application of Four-parameter Sine Wave with Partial Period

LIANG Zhiguo

(National Key Laboratory of Science and Technology on Metrology & Calibration，Changcheng Institute

of Metrology & Measurement，Beijing 100095，China)

Abstract：Both the difficulties and solving idea of four-parameter sinusoidal curve-fit with partial period waveforms are introduced in this paper，and through the method without pre-estimation of initial value of four-parameter，the problem of less information of partial period is solved.So the pre-estimation of four-parameter in sine wave curve-fitting is not needed.Aiming at the specialty of four-parameter curve-fit with partial period，a definition about the local distortion of sinusoidal waveforms is presented，and the definition of Signal to Noise Ratio of sampling series(SNR)and the Noise to Signal Ratio of sampling series(NSR)are put forward.By using the method of varying known parameters of partial period of sinusoidal waveforms and the Gauss noise level，when the width of period，phase，and SNR are varied，the varying rules of curve-fitting error of partial period sinusoidal are studied by experiments.The results show that，in partial period sinusoidal curve-fitting，the varying rule between NSR and phase of sinusoidal series is fixed，and all the curve-fitting errors of amplitude，frequency，phase，and DC bias vary as NSR.The partial period sinusoidal curve-fitting errors can be estimated by using simulation with curve-fitting parameters.In some experiments，including the fast parameter estimation of ultra-low frequency sine wave，the demodulation of AM，F(xiàn)M and PM waveforms，and the precise estimation of peak of impulse，and the initial value estimation of other sinusoidal wave forms curve-fitting，the validity and feasibility of the method are proved.

Key words：metrology；sinusoidal；curve-fit；parameter estimation；evaluation；partial period

作者簡(jiǎn)介：梁志國(guó)(1962-)，男，黑龍江巴彥人，研究員，博士，主要研究方向?yàn)閿?shù)字化測(cè)量與校準(zhǔn)、模式識(shí)別、動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)、精確測(cè)量。

基金項(xiàng)目：航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20085644009)

收稿日期：2015-07-03

中圖分類號(hào)：TB973

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-5795(2015)05-0015-05

doi：10.11823/j.issn.1674-5795.2015.05.03