鄭華盛

(南昌航空大學數(shù)學與信息科學學院，南昌330063)

一類函數(shù)零點問題的推廣

鄭華盛

(南昌航空大學數(shù)學與信息科學學院，南昌330063)

[摘要]通過對幾道關于函數(shù)在滿足一類特定的積分等式條件下的零點存在性典型證明題進行觀察和深入地分析，提出了一類具有普適性的命題，并給予證明和推廣.

[關鍵詞]函數(shù)零點; 函數(shù)線性無關; 定積分; 等式; 推廣

有關函數(shù)的零點存在性問題是微積分學中的一類值得探究的問題.文[1-6]中分別給出了幾道滿足一類特定積分等式條件的函數(shù)零點存在性的典型證明題：

(i) 設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且

證明至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2∈(a，b)，使

f(ξ1)=f(ξ2)=0，

即f(x)在(a，b)內至少有兩個零點.

(ii) 設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且

證明f(x)在(a，b)內至少有兩個零點.

(iii) 設函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且

證明在(0，π)內至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

(iv) 設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，g(x)在[a，b]上有一階連續(xù)導數(shù)，且g′(x)≠0，

證明至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2∈(a，b)，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

(v) 設函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且

證明在(0，π)內至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

(vi) 設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且

證明f(x)在(a，b)內至少有n+1個零點.

(vii) 設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且

證明f(x)在(a，b)內有無窮多個零點.

那么，能否由上述幾個證明題得到一般性的結論？

1預備知識

下面，先給出函數(shù)線性無關的定義：

定義1[7]設有定義在區(qū)間I上的n個函數(shù)fi(x) (i=1，2，…，n)，若存在n個不全為零的常數(shù)ki(i=1，2，…，n)，使得當x∈I時

恒成立，則稱n個函數(shù)f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在區(qū)間I上線性相關；否則稱為線性無關.

通過對上述幾個實例的觀察，注意到它們的被積函數(shù)中所含1，x及1，ex在(a，b)上是線性無關的，1，cosx及sinx，cosx在(0，π)上是線性無關的，1，x，x2，…，xn在(a，b)上是線性無關的. 能否以此為主線，歸納出一般性命題？ 經過對上述幾個實例證明思想的深入分析，得到以下幾個一般性命題.

2主要結論

命題1設函數(shù)f(x)，g1(x)在[a，b]上連續(xù)，g1(x)≠0(?x∈(a，b))，且

則f(x)在(a，b)內至少有一個零點.

證(反證法)假設f(x)在(a，b)內無零點，則?x∈(a，b)，f(x)恒大于0或恒小于0.又由已知g1(x)≠0(?x∈(a，b))及g1(x)的連續(xù)性，必有g1(x)恒大于0或恒小于0，于是f(x)·g1(x)恒大于0或恒小于0，從而

參加實驗的孩子18歲時，Walter Mischel做了跟蹤調查，發(fā)現(xiàn)那些等待時間長的孩子，學業(yè)成功率明顯超過等待時間短的孩子：他們的SAT（美國大學入學考試）成績平均高出210分。其他方面也顯示出優(yōu)勢：社交能力更強、事業(yè)成功、家庭和諧、體質指數(shù)更勝一籌。

這與已知矛盾.故得證.

注1也可以對f(x)·g1(x)用積分中值定理，再由g1(x)≠0(?x∈(a，b))得證.

命題2設函數(shù)f(x)，g1(x)，ρ(x)在[a，b]上連續(xù)，

函數(shù)1，ρ(x)在(a，b)內線性無關，且ρ(x)在(a，b)內單調，則f(x)在(a，b)內至少有兩個零點.

證(反證法)由命題1知f(x)在(a，b)內至少有一個零點，假設f(x)在(a，b)內僅有一個零點x0，則由

知，f(x)·g1(x)在(a，x0)與(x0，b)內異號.不妨設x∈(a，x0)，f(x)·g1(x)>0；x∈(x0，b)，f(x)·g1(x)<0. 由已知1，ρ(x)在(a，b)內線性無關，于是ρ(x)在(a，b)內不恒為常數(shù). 又ρ(x)在(a，b)內單調，不妨設ρ(x)單調增加，則當x∈(a，x0)時，ρ(x)≤ρ(x0)；當x∈(x0，b)時，ρ(x)≥ρ(x0). 故

這與已知矛盾.故得證.

命題3設f(x)，g1(x)，ρ(x)在[a，b]上連續(xù)，

1，ρ(x)，ρ2(x)，…，ρn(x)在(a，b)內線性無關，且ρ(x)在(a，b)內單調，則f(x)在(a，b)內至少有n+1個零點.

證(用數(shù)學歸納法)當n=0時，即為命題1，結論成立；當n=1時，即為命題2，結論成立；

假設n=k時結論成立，則f(x)在(a，b)內至少有k+1個零點，下面用反證法證明：當n=k+1時結論也成立，即證f(x)在(a，b)內至少有k+2個零點.

假設函數(shù)f(x)在(a，b)內恰有k+1個零點，不妨設零點分別為x1，x2，…，xk+1，其中a0；x∈(x1，x2)，f(x)<0；依此類推.

取

G(x)=f(x)·g1(x)·(ρ(x)-ρ(x1))·(ρ(x)-ρ(x2))…(ρ(x)-ρ(xk+1))，

由已知?x∈(a，b)，g1(x)≠0及g1(x)的連續(xù)性，于是g1(x)在(a，b)上不變號，不妨設g1(x)>0(?x∈(a，b)). 又由已知ρ(x)在(a，b)內單調，不妨設ρ(x)單調增加，于是

(ρ(x)-ρ(x1))·(ρ(x)-ρ(x2))…(ρ(x)-ρ(xk+1))

綜上所述，由數(shù)學歸納法即可證得.

特別地，取g1(x)=1，ρ(x)=x，則由命題3可得前述典型證明題(vi). 類似地，可利用命題3設計和構造函數(shù)的零點存在性證明題. 如，取g1(x)=1，ρ(x)=ex，即得

推論1設f(x)在[a，b]上連續(xù)，

則f(x)在(a，b)內至少有n+1個零點.

類似于命題3，可證得

命題4設函數(shù)f(x)，g1(x)在[a，b]上連續(xù)，

1，ρ(x)，ρ2(x)，…在(a，b)內線性無關，且ρ(x)在(a，b)內單調，則f(x)在(a，b)內有無窮多個零點.

特別地，取g1(x)=1，ρ(x)=x，即得前述證明題(vii).

3結束語

本文通過對一類滿足特定積分等式條件下的函數(shù)的零點存在性典型證明題及其證明方法進行深入地觀察和細致地分析，歸納出具有普適性的一般性命題，并作進一步推廣. 這種由特殊至一般，對已有命題做合乎邏輯的分析，進而提出一般性命題，并加以證明和推廣的過程是研究性與創(chuàng)新性學習的基本形式之一. 對從事數(shù)學教學的教師也有一定的參考價值，由此可以編制出一些在滿足特定積分等式條件下的函數(shù)至少有兩個及更多零點的存在性新證明題.

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TheExtensionofaKindofProblemswithZerosoftheFunction

ZHENG Hua-sheng

(SchoolofMathematicsandInformationScience，NanchangHangkongUniversity，Nanchang330063，China)

Abstract:Akindofgeneralitypropositionsispresentedbyobservingandanalyzingseveraltypicalproofproblemsofzerosexistenceofthefunctionwithspecificdefiniteintegralequalities.Andthen，theproofandextensionareimplemented.

Keywords:zeroofafunction；linearindependenceoffunctions；definiteintegral；equality；extension

[基金項目]中央高校業(yè)務費資助項目(河海大學)；河海大學小型教改項目(2014)；南京農業(yè)大學工學院研究型教改項目(2014)；河海大學文天學院大學數(shù)學課程教學團隊(20002)，安徽省級項目，《高等數(shù)學》教學改革研究(zl201206)，重點教學研究項目(校內)

[收稿日期]2015-03-29

[中圖分類號]O172.2；O13

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)04-0045-04

[基金項目]江西省及南昌航空大學教學改革研究項目(JXJG-13-8-18，JY1329)；江西省自然科學基金項目(20114BAB201001)；江西省教育廳科技項目(GJJ12431)

[收稿日期]2014-12-26； 2015-04-22