朱　生，　鄒爾新，　姜麗華，　劉詩淼

(1.吉林工商學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室， 長春130507；　2.長春財經(jīng)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室, 長春130122)

中心矩估計法研究

朱生1，鄒爾新2，姜麗華2，劉詩淼2

(1.吉林工商學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室， 長春130507；2.長春財經(jīng)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室, 長春130122)

[摘要]重點研究了利用樣本中心矩估計總體中心矩的理論依據(jù)，同時給出了應(yīng)用實例.

[關(guān)鍵詞]點估計； 樣本中心矩； 總體中心矩； 矩估計

1引言

矩估計是英國著名統(tǒng)計學(xué)家K.earson在1894年提出的.實際問題中，當(dāng)總體概率分布未知時，點估計是常用的未知參數(shù)估計[1]的方法之一，方法的關(guān)鍵是構(gòu)造估計未知參數(shù)的統(tǒng)計量，其中矩估計是一種行之有效的方法.目前教科書及相關(guān)文獻[2-3]僅介紹了利用樣本原點矩估計總體原點矩的方法，如何利用樣本中心矩估計總體中心矩則很少提及.本文詳細介紹了利用樣本中心矩估計總體中心矩的理論依據(jù)和方法.

2預(yù)備知識

k階總體原點矩νk=EXk(k=1,2,…),

k階總體中心矩μk=E(X-EX)k(k=2,3,…),

又R(x1,x2,…,xk)是k個變量的有理函數(shù)，且R(a1,a2,…,ak)≠±∞，則

定義2[1]用樣本矩估計同類總體矩，稱矩估計法.

常用的矩估計法是：用統(tǒng)計量k階樣本原點矩

估計k階總體原點矩νk.

3主要結(jié)論

用樣本中心矩估計總體中心矩的矩估計法的定義：

定義3設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x,θ)，參數(shù)θ未知；假定θ可寫成總體X的前m階中心矩μk(k=2,3,…,m)的函數(shù)：

θ=g(μ2,μ3,…,μm)，

且μm系數(shù)不為0；(X1,X2,…,Xn)是總體X的樣本，則用統(tǒng)計量

下面進一步討論該方法的理論依據(jù).

首先證明

定理1設(shè)(X1,X2,…,Xn)為來自總體X的樣本，則有

由引理1得

定理得證.

由此可得

定理2設(shè)(X1,X2,…,Xn)為來自總體X的樣本，則有

證由二項式展開定理可得

由引理2及定理1

而由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及二項式定理有

即

定理得證.

4實例

設(shè)總體X的概率分布為

X-101Pθ1-2θθ

此時可以利用本文提出的方法，即用2階樣本中心矩估計2階總體中心矩，可得未知參數(shù)θ的中心矩估計.做法如下：

EX=0,

E(X-EX)2=EX2=(-1)2·θ+12·θ=2θ.

由

可得

5結(jié)束語

本文對利用樣本中心矩估計總體中心矩給出了理論依據(jù)，并通過實例給出應(yīng)用，最終達到估計總體中未知參數(shù)的目的.這些結(jié)論與實例在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)中有一定補充與參考意義，能使學(xué)生對矩估計有更全面深入的了解，矩估計并不僅僅是用樣本原點矩估計總體原點矩，用樣本中心矩同樣可以估計總體中心矩，而且在某些情況下會有很好的效果(如實例).那么矩估計在實際應(yīng)用中如何選擇那？在能做到估計總體中未知參數(shù)的前提下，通常選擇矩(無論原點矩還是中心距)更容易求得，同時用低階矩進行估計.因此用矩估計得到的未知參數(shù)的估計量(值)一般不是唯一的.

[參考文獻]

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The Research of Central Moment Estimate

ZHUSheng1，ZOUEr-xin2，JIANGLi-hua2，LIUShi-miao2

(1.Departments of Basic Mathematics Teaching and Research Section, Jilin Business and Technology College, Changchun 130507, China;2.Mathematics Teaching and Research Department, Changchun University of Finance and Economics，Changchun 130122, China)

Abstract:This paper focuses on the theoretical basis of using the sample central moments to estimate the overall central moments, and give the applied example.

Key words:point estimation； sample central moment； overall central moment； moment estimate

[中圖分類號]O212.1

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)04-0109-04