馬 穎，田維堅(jiān)，樊養(yǎng)余

（1.西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安710072；2.西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，陜西 西安710032）

0 引 言

蟻群算法 （ant colony algorithm，ACA）在離散組合優(yōu)化領(lǐng)域取得了巨大成功，是最有效的優(yōu)化手段之一。其在連續(xù)空間的組合優(yōu)化應(yīng)用時(shí)，一般的做法是仍然采用離散算法模型，將連續(xù)問題離散化。在計(jì)算復(fù)雜度和求解精度要求不高時(shí)，這樣的做法基本可以得到滿意的優(yōu)化結(jié)果，但是對(duì)一些特殊情況，如高維優(yōu)化問題，則存在一定的求解困難。

真正將蟻群算法應(yīng)用于連續(xù)函數(shù)求解的文獻(xiàn)，目前仍不是太多。Socha等在充分研究蟻群算法結(jié)構(gòu)和信息素概率選擇機(jī)制后，提出了用于求解連續(xù)空間優(yōu)化問題的蟻群算法 （ACOR）［1］，該算法引入高斯核函數(shù)表達(dá)復(fù)雜函數(shù)概率密度分布，定義了解存儲(chǔ)器作為算法的信息素模型，將ACA 的離散概率選擇連續(xù)化，從本質(zhì)上將算法擴(kuò)展到連續(xù)空間優(yōu)化問題上。ACOR算法由于沒有改變蟻群算法基于概率選擇和信息素更新的本質(zhì)，因而也被一些學(xué)者稱為擴(kuò)展蟻群算法［2］。文獻(xiàn) ［1］的測(cè)試結(jié)果表明，ACOR是目前最具競(jìng)爭(zhēng)力的蟻群算法。雖然ACOR能夠充分發(fā)揮蟻群算法的優(yōu)勢(shì)，但是也存在收斂速度過快而導(dǎo)致的求解精度不高、容易陷入局部最優(yōu)和出現(xiàn)停滯現(xiàn)象等缺陷。

量子優(yōu)化算法由于采用了量子比特作為信息的基本載體，因此具備了量子計(jì)算的許多特質(zhì)，在信息容量、并行計(jì)算能力等諸多方面有著比經(jīng)典計(jì)算無法比擬的優(yōu)勢(shì)。本文將ACOR核心思想引入量子領(lǐng)域，提出量子擴(kuò)展蟻群連續(xù)優(yōu)化改進(jìn)算法 （improved quantum extended ant colony algorithm for continuous optimization，IQEACA），算法采用云模型對(duì)ACOR中關(guān)鍵的高斯核函數(shù)采樣自適應(yīng)機(jī)制進(jìn)行改進(jìn)，增強(qiáng)了全局搜索能力。

1 擴(kuò)展蟻群算法簡(jiǎn)介

1.1 高斯核函數(shù)

高斯核函數(shù)Gi（x）是其各組成元素的高斯函數(shù)（x）的線性組合形成，即

式中：Gi（x）——第i個(gè)高斯核函數(shù)，每個(gè)高斯核函數(shù)由k個(gè)獨(dú)立的高斯函數(shù)組成。高斯核函數(shù)包含3個(gè)參數(shù)，分別是權(quán)重ω、均值μi、標(biāo)準(zhǔn)差σi。

1.2 解存儲(chǔ)器

ACOR用解存儲(chǔ)器T 保存解的信息，間接達(dá)到信息素的保存與更新的目的。假定待優(yōu)化問題的維度為n，解存儲(chǔ)器中解的集合元素為k，則解存儲(chǔ)器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 ACOR 中解存儲(chǔ)器的結(jié)構(gòu)

圖1中Sl表示這個(gè)n 維問題的第l 個(gè)解向量，表示這個(gè)解向量的第i個(gè)變量，f（Sl）表示該向量的函數(shù)值 （適應(yīng)度值），ωl表示該向量對(duì)應(yīng)的權(quán)值。圖中可行解的排列順序是根據(jù)其函數(shù)值從優(yōu)到劣的順序來排列的。例如在求解極小值問題時(shí)，可行解需按照f（S1）≤f（S2）≤…≤f（Sk）來排列；相應(yīng)的，每個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)權(quán)值的排列順序?yàn)椋害?≥ω2≥…≥ωk。計(jì)算解向量Sl的權(quán)值ωl采用下式

式中：qk——標(biāo)準(zhǔn)差，q——算法的一個(gè)參數(shù)。當(dāng)q 較小時(shí)，較優(yōu)解的權(quán)值比較差解的權(quán)值大很多；而當(dāng)q較大時(shí)，各可行解的權(quán)值差別較小，各可行解的權(quán)值分布較q 較小時(shí)均勻很多。q值對(duì)算法的影響類似于ACO 中調(diào)節(jié)信息素更新策略用以平衡迭代速度與搜索全局最優(yōu)值。

1.3 ACOR 算法流程

算法的流程大致可分為以下幾步：

（1）解存儲(chǔ)器初始化：設(shè)蟻群有m 只螞蟻，解存儲(chǔ)器T 的長(zhǎng)度為k，連續(xù)優(yōu)化問題變量為n維。將解存儲(chǔ)器T 隨機(jī)初始化為k維解向量，每個(gè)解向量的長(zhǎng)度為n，由這些解向量計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并根據(jù)式 （2）計(jì)算出相應(yīng)的權(quán)值。

（2）對(duì)高斯核函數(shù)進(jìn)行采樣：在ACOR中，通過對(duì)核函數(shù)Gi的采樣來形成新的可行解。對(duì)于每一個(gè)Gi，解存儲(chǔ)器中第i維變量所有解變成了均值向量μi的元素

而對(duì)于任意一個(gè)組成核函數(shù)的高斯函數(shù)被選擇采樣的概率為

在實(shí)際操作中，通過將使用參數(shù)化正態(tài)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器（如Box－Muller）產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，等同于對(duì)高斯核函數(shù)的采樣。與所選高斯函數(shù)采樣最后一個(gè)相關(guān)參數(shù)σil由下式給定

其中，ξ＞0，算法的一個(gè)參數(shù)，對(duì)這n 維變量均相同；ξ的取值越大，算法的收斂速度越慢。

（3）信息素更新：對(duì)所有螞蟻進(jìn)行采樣，得到m 個(gè)解向量與原解存儲(chǔ)器T 中的解一起組成臨時(shí)解向量，并將這個(gè)臨時(shí)解向量按照函數(shù)值排序，取前k 個(gè)解向量對(duì)解存儲(chǔ)器T 相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行更新，確保了解存儲(chǔ)器中始終為最優(yōu)解，更好的引導(dǎo)螞蟻進(jìn)行搜索。

文獻(xiàn) ［1］雖然驗(yàn)證了算法的有效性，但同時(shí)并未給出局部?jī)?yōu)化策略，阻礙了算法性能的進(jìn)一步提升［3］。

2 量子擴(kuò)展蟻群改進(jìn)算法

2.1 量子編碼方案與解空間映射

在量子優(yōu)化算法中，常見的量子位編碼方案有量子位概率幅實(shí)數(shù)編碼、量子位角度編碼［4］、球面角度編碼［5］、位置區(qū)域編碼［6］等。就相對(duì)于優(yōu)化算法所采用的全局和局部尋優(yōu)策略對(duì)最終搜索結(jié)果的影響而言，采用何種量子位編碼方案對(duì)最終優(yōu)化結(jié)果的影響相對(duì)較小。因此，本文采用最簡(jiǎn)單的概率幅對(duì)螞蟻的位置進(jìn)行編碼。其模型為：設(shè)蟻群共由m 只螞蟻組成，則第i只螞蟻的編碼可表示為

其中，相位tij＝2π×rand，rand 是 （0，1）區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。由于量子比特的兩個(gè)概率幅都可視為螞蟻的當(dāng)前位置信息，因此，在蟻群規(guī)模不變的情況下，相當(dāng)于螞蟻的搜索空間得到加倍，增加了種群的多樣性。

利用線性變換，將量子位概率幅由n 維單位空間映射到優(yōu)化問題的解空間Ω。線性變換公式為

其中，aj≤Xj≤bj（j ＝1，2，…，n），是 優(yōu) 化 問 題 的 解 空間Ω。

2.2 標(biāo)準(zhǔn)差的自適應(yīng)改進(jìn)

縱觀整個(gè)ACOR算法，其最重要的過程是通過對(duì)高斯核函數(shù)進(jìn)行采樣構(gòu)建新的可行解，而采樣過程又是通過使用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來等同的。因此，隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器所設(shè)置的參數(shù)，對(duì)可行解的產(chǎn)生起到?jīng)Q定性的作用。為了求得，ACOR算法的做法是：對(duì)第i個(gè)變量，計(jì)算當(dāng)前解到解存儲(chǔ)器中當(dāng)前變量位置其它所有解的平均距離。通過研究式 （5）可知，雖然也是自適應(yīng)于解的變化，然而更多的是體現(xiàn)出蟻群中螞蟻的平均位置，這顯然對(duì)整個(gè)迭代過程中最優(yōu)個(gè)體的探索與種群優(yōu)化的引導(dǎo)不利，達(dá)不到我們希望算法在初期的加快收斂和后期在極小領(lǐng)域的 “求精”搜索的效果。

我們已知使用云模型理論可以在隨機(jī)性和模糊性兩個(gè)方面有很好兼顧；近年來智能算法領(lǐng)域已經(jīng)開始關(guān)注云模型，在智能控制、數(shù)據(jù)挖掘、入侵檢測(cè)、系統(tǒng)評(píng)估等領(lǐng)域已被證明其有效性，在很多案例中取得了較傳統(tǒng)自適應(yīng)方法更優(yōu)秀的表現(xiàn)［7－9］。本文使用云模型產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)差，對(duì)其實(shí)行自適應(yīng)控制。

首先，使用X 條件云模型，對(duì)解存儲(chǔ)器T 中各可行解產(chǎn)生相對(duì)于最優(yōu)可行解各變量的確定度值，如下所示：

為了簡(jiǎn)要說明該方法的有效性，對(duì)病態(tài)函數(shù)Rosenbrock的2維函數(shù)進(jìn)行函數(shù)優(yōu)化，并與ACOR算法進(jìn)行優(yōu)化結(jié)果的對(duì)比，如表1所示。設(shè)定蟻群數(shù)量m＝10，解存儲(chǔ)器容量k＝10，最大迭代次數(shù)500，ACOR中ξ＝1，選取幾個(gè)典型的q值，兩算法獨(dú)立運(yùn)行50次，統(tǒng)計(jì)優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)值和平均最優(yōu)值，見表1。

表1 Rosenbrock優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

從表中可知，本方法在q 取多種不同值情況下，得到的最佳優(yōu)化值和平均優(yōu)化值均明顯優(yōu)于ACOR原方法的優(yōu)化結(jié)果；使用云模型自適應(yīng)產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)而產(chǎn)生新可行解的方案是非常有效的。

2.3 q值的自適應(yīng)改進(jìn)

在ACOR中，q值的選取對(duì)結(jié)果優(yōu)化的收斂速度和收斂精度會(huì)造成較大影響；具體到優(yōu)化的每一次進(jìn)程，q值的選取將直接決定核函數(shù)中高斯函數(shù)被選中采樣的概率；而對(duì)于整個(gè)優(yōu)化過程，q 值的改變又不會(huì)對(duì)作為ACOR核心的高斯采樣過程造成任何本質(zhì)的改變。因此，實(shí)現(xiàn)q 值在算法尋優(yōu)過程中的自適應(yīng)調(diào)整是有利于算法優(yōu)化進(jìn)程的。如果能夠?qū)崿F(xiàn)優(yōu)化的初期q 值較小，這樣最優(yōu)可行解被采樣的概率將會(huì)大一些，算法收斂速度就會(huì)很快；而達(dá)到一定搜索精度，產(chǎn)生優(yōu)化停滯后，q值應(yīng)相應(yīng)調(diào)整的大一些，即可增加采樣的多樣性，利于優(yōu)化過程跳出局部最優(yōu)值。

對(duì)于q值自適應(yīng)產(chǎn)生方法，可采用固定值、線性產(chǎn)生和非線性產(chǎn)生幾種方法。固定值自適應(yīng)法是選取一些典型值，根據(jù)進(jìn)程需求，采用按比例分配、輪盤賭等方法，將典型值賦給q。

q值線性增大產(chǎn)生策略是使q 值隨迭代次數(shù)t 的增加而線性增大，可采用下式取值

采用q值非線性增大產(chǎn)生策略，希望能夠在迭代初期產(chǎn)生的q值較小，從而促使算法快速收斂；迭代進(jìn)行到一定程度后，迅速增大q 的取值，增加采樣多樣性。因此，可以采用開口向上的拋物線模型，其方程形式如下

式 （9）～式 （10）中，q0是參數(shù)q的初始值。

仍然使用2 維Rosenbrock，函數(shù)對(duì)ACOR中這3 種q值產(chǎn)生方法進(jìn)行優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，規(guī)定q0＝0.001，其它參數(shù)與上節(jié)仿真保持一致；固定值法以100次迭代為一個(gè)單位，由小到大的采用表1中q 的取值。優(yōu)化過程采取兩種方案，方案1中歷次迭代過程中的q 值由本節(jié)中上述方法給出隨著迭代次數(shù)變化而改變；方案2更遵從 “迭代初期q值要小利于快速收斂，迭代中后期q 值要大，利于保持可行解的多樣性”這一思想，以方案1為基礎(chǔ)，規(guī)定q0為初值，每當(dāng)最優(yōu)解一段時(shí)間 （如20 次迭代）不再優(yōu)化時(shí)，再利用方案1的方法產(chǎn)生具體的q 值。兩種方案分別記為ACOR（1）和ACOR（2）。3種方法優(yōu)化的結(jié)果見表2。

表2 q值取值策略結(jié)果對(duì)比

從表中可以看出，ACOR（2）相比ACOR（1）具有明顯的優(yōu)勢(shì)。在3種方法中使用線性方法自適應(yīng)產(chǎn)生q 值，相比其它兩種方法所得到的最優(yōu)值和平均最優(yōu)值更為理想。參照表1結(jié)果可知，使用線性ACOR（2）方案得到的最優(yōu)解在多數(shù)情況下，優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)ACOR算法中q 值采用單一固定值時(shí)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果；但是q 值在迭代過程中的由小變大，同時(shí)也會(huì)減慢函數(shù)的收斂速度。

2.4 局部尋優(yōu)策略

由于蟻群算法容易出現(xiàn)優(yōu)化停滯現(xiàn)象，為了解決蟻群算法的搜索精度問題，眾多學(xué)者一般采用將蟻群算法與進(jìn)化算法相結(jié)合的辦法。這樣做的好處是顯而易見的：進(jìn)化算法本就在高精度搜索方面具有較大優(yōu)勢(shì)，且進(jìn)化算法進(jìn)行局部搜索的改進(jìn)方案也較為成熟。而且，量子進(jìn)化算法及其改進(jìn)算法，相對(duì)于經(jīng)典領(lǐng)域的進(jìn)化算法，無論在收斂速度、還是在搜索精度方面具有更大的優(yōu)勢(shì)。

鑒于此，本文也采用與量子進(jìn)化算法相結(jié)合的辦法，加強(qiáng)函數(shù)局部尋優(yōu)的能力。作者曾提出了一種基于云模型的量子自適應(yīng)進(jìn)化算法［8］，該算法相對(duì)于其它自適應(yīng)量子進(jìn)化改進(jìn)算法具有較明顯的優(yōu)勢(shì)，現(xiàn)簡(jiǎn)要介紹核心步驟。

當(dāng)Ex ≥μ0i 時(shí)，式 （11）取 “－”號(hào)，否則取 “＋”號(hào)。分析云模型變異可知，在變異過程需要 “求精”操作時(shí)，變異能在最優(yōu)適應(yīng)度鄰域以更小的搜索范圍尋找更優(yōu)解；在需要 “求泛”操作時(shí)，朝著最優(yōu)適應(yīng)度鄰域擁有更大的搜索范圍；同時(shí)，在某些情況下，相比于量子旋轉(zhuǎn)門方案，能夠?qū)θ旧w個(gè)體產(chǎn)生更大的概率幅值變異，這對(duì)于加速收斂和跳出局部最優(yōu)等有更大的意義。

其中，F(xiàn)max、Fmin、F′分別代表解存儲(chǔ)器中適應(yīng)度的最大、最小值及某可行解的適應(yīng)度值，xij是螞蟻的概率幅編碼中某一位上具體的編碼值。

（2）交叉操作：本文采用量子全干擾交叉算子對(duì)種群進(jìn)行交叉操作，根據(jù)參考文獻(xiàn) ［10］結(jié)論，并經(jīng)多種參數(shù)及測(cè)試函數(shù)的仿真結(jié)果對(duì)比，在本文算法中使用全干擾交叉算子在更多情況下可獲得較單個(gè)個(gè)體或少量個(gè)體交叉更優(yōu)的尋優(yōu)結(jié)果。這種交叉操作方法模擬了量子的干涉特性，充分利用種群中染色體信息，有利于增加種群多樣性，有效避免算法早熟收斂。

（3）變異處理：隨機(jī)選擇一定規(guī)模 （如0.1 m）的螞蟻，然后隨機(jī)選擇其攜帶的若干個(gè)量子位，依變異概率對(duì)選中的量子位施加量子非門變換，使該量子位的兩個(gè)概率幅互換。

2.5 算法步驟

（1）通過式 （6）和式 （7）產(chǎn)生初始化種群，完成解空間的線性映射，并評(píng)價(jià)種群中螞蟻的適應(yīng)度；

（2）構(gòu)造解存儲(chǔ)器T，并根據(jù)式 （2）和式 （10）計(jì)算各可行解的初始權(quán)重；

（3）按式 （4）選擇高斯概率密度函數(shù)，使用云模型生成各可行解與最優(yōu)解的相對(duì)確定度，通過式 （8）構(gòu)建隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，完成對(duì)螞蟻的采樣，構(gòu)造新可行解；

（4）執(zhí)行局部尋優(yōu)策略；

（5）對(duì)新可行解與解存儲(chǔ)器T 中的原可行解進(jìn)行比較、排序，完成解存儲(chǔ)器T 的整合，更新信息素；

（6）對(duì)比最佳適應(yīng)度，若T 中的最佳適應(yīng)度值連續(xù)若干代保持不變，則按照式 （10）取得q 的即時(shí)值，重新分配T 中可行解的權(quán)重和被選概率；

（7）返回 （4）循環(huán)計(jì)算，直到達(dá)到收斂條件或最大迭代代數(shù)。

3 測(cè)試結(jié)果與分析

選取常用的5個(gè)典型測(cè)試函數(shù)檢驗(yàn)算法的有效性，具體函數(shù)見表3。

表3 測(cè)試函數(shù)

將本文算法與標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)展蟻群算法 （ACOR）［1］、基于量子旋轉(zhuǎn)門局部尋優(yōu)策略的改進(jìn)量子擴(kuò)展蟻群算法 （extended quantum ant colonyalgorithm，QACOR）［2］、基于量子旋轉(zhuǎn)門局部尋優(yōu)策略的連續(xù)量子蟻群算法（continuous quantum ant colony algorithm，CQACA）［11］兩個(gè)優(yōu)秀改進(jìn)蟻群算法進(jìn)行對(duì)比。

仿真環(huán)境為Matlab2012b，設(shè)定蟻群螞蟻數(shù)量m＝10，解存儲(chǔ)器容量k＝10，q0＝0.1，ACOR中ξ＝1，其它未說明參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)保持一致。分別計(jì)算變量為2維、10維和30維時(shí)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，各算法均獨(dú)立運(yùn)行50 次，統(tǒng)計(jì)結(jié)果的最優(yōu)值、平均最優(yōu)值見表4。

表4 函數(shù)優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

通過對(duì)表中數(shù)據(jù)的分析可知：對(duì)于引用的5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，本文算法無論是在最優(yōu)值還是在平均最有值兩個(gè)指標(biāo)上都全面優(yōu)于其它3種算法；算法的收斂速度快，尤其對(duì)解決連續(xù)空間高維優(yōu)化問題相比其它算法優(yōu)勢(shì)較大；算法在所列幾種參數(shù)的測(cè)試下均取得了較滿意的結(jié)果，只在病態(tài)、有大量局部最優(yōu)值的Rosenbrock函數(shù)的高維測(cè)試時(shí)，所得結(jié)果相對(duì)于本算法對(duì)于其它4個(gè)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果的優(yōu)勢(shì)有所減小，但仍優(yōu)于其它算法的優(yōu)化值。以上結(jié)果充分說明采取本文算法提出的σil自適應(yīng)產(chǎn)生機(jī)制和局部尋優(yōu)策略是可靠、高效的。

選取數(shù)據(jù)維度為2，迭代次數(shù)為500這一參數(shù)，為4種算法設(shè)置共同的初始螞蟻種群值，各算法再獨(dú)立運(yùn)行50次，取各算法全部?jī)?yōu)化結(jié)果的平均值，其收斂過程對(duì)比如圖2所示。

從圖2中可以看出，本文算法具有快速收斂的特性。

圖2 4類算法的收斂過程對(duì)比

4 結(jié)束語

本文分析了ACOR算法高斯核函數(shù)采樣標(biāo)準(zhǔn)差產(chǎn)生機(jī)制，提出了基于云模型的標(biāo)準(zhǔn)差自適應(yīng)控制法替代原有產(chǎn)生機(jī)制，并簡(jiǎn)要論證了該方法相比于原辦法更為有效；同時(shí)，自適應(yīng)的控制了參數(shù)q 的取值，從而實(shí)現(xiàn)了采樣概率的動(dòng)態(tài)調(diào)整；在此基礎(chǔ)上，給出了基于云模型變異的局部搜索策略。通過仿真驗(yàn)證了本文算法具有較強(qiáng)的搜索能力和效率，能夠有效避免早熟，尤其適用于高維連續(xù)優(yōu)化問題，相比于其它同類算法具有較明顯優(yōu)勢(shì)。針對(duì)不同函數(shù)和優(yōu)化問題，本文算法在參數(shù)的選取方面可進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，其優(yōu)化結(jié)果還會(huì)有提升的空間。

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