葉素娣 徐敬華 徐圣倫

（1.蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 安徽蕪湖241006；2.浙江大學(xué) 浙江杭州310027；3.鄭州大學(xué) 河南鄭州450000）

齒輪傳動(dòng)在工業(yè)、汽車、航空等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，在漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)中，主動(dòng)齒輪與從動(dòng)齒輪必須模數(shù)相等、壓力角相等，這是齒輪正確嚙合的條件，是齒輪正常傳動(dòng)的必要條件但非充分條件。由于輪齒的高度有限，嚙合的區(qū)間有限，齒輪能否連續(xù)傳動(dòng)還要看輪齒對(duì)能否及時(shí)接替，即前一對(duì)輪齒脫離嚙合時(shí)，后一對(duì)輪齒是否已進(jìn)入嚙合，這樣就引入了重合度的概念。

重合度是齒輪傳動(dòng)中一個(gè)非常重要的性能指標(biāo)，重合度小于1，表明前一對(duì)輪齒即將分離而后一對(duì)輪齒尚未進(jìn)入，傳動(dòng)就會(huì)中斷，所以必須使重合度大于等于1[1,2]，傳動(dòng)才能繼續(xù)。重合度表示在齒輪轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)齒距時(shí)間內(nèi)，參與嚙合的輪齒的平均對(duì)數(shù)，該值越大，表明同時(shí)參與嚙合的輪齒對(duì)數(shù)多，在相同的載荷作用下分?jǐn)偟矫繉?duì)輪齒的載荷就小，負(fù)荷變動(dòng)量小，從而提高了整個(gè)齒輪的承載能力，且傳動(dòng)平穩(wěn)，減小振動(dòng)和噪聲，改善傳動(dòng)性能，因此重合度越大越好。文獻(xiàn)[3]和[4]說(shuō)明重合度對(duì)齒輪剛度和載荷大小有影響，而剛度是齒輪非線性振動(dòng)特性的重要因素之一,當(dāng)重合度一定時(shí)，齒輪機(jī)構(gòu)的響應(yīng)在不同載荷條件下是完全不同的，輕載比重載情況更容易發(fā)生混沌響應(yīng)。[3-4]文獻(xiàn)[5]論述了重合度越大，齒輪傳動(dòng)噪聲越小，而隨著齒頂高增大重合度增大，此時(shí)齒根彎曲疲勞強(qiáng)度也增大，齒面接觸強(qiáng)度的許用載荷隨著重合度的減小而減小。[5]

一、影響外嚙合直齒圓柱齒輪重合度的參數(shù)分析

重合度ε 計(jì)算公式為：

式中i—傳動(dòng)比，

a—標(biāo)準(zhǔn)中心距，

b—a',—實(shí)際中心距，

c—Δ—中心距相對(duì)誤差。

從式（2）（3）（4）（5）可知，重合度的大小取決于齒數(shù)、壓力角、齒頂高系數(shù)以及中心距相對(duì)誤差，而與模數(shù)無(wú)關(guān)。

（一）齒數(shù)越大，重合度越大。由公式（2）可知，重合度的大小與齒數(shù)成正相關(guān)，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)中的一個(gè)齒輪齒數(shù)大到無(wú)窮時(shí)，由漸開(kāi)線性質(zhì)可知此時(shí)的齒形將變成直線，齒輪變成齒條，在其它基本參數(shù)取為標(biāo)準(zhǔn)值時(shí)，重合度大到極限，所以重合度的極大值應(yīng)該出現(xiàn)在齒輪齒條的傳動(dòng)中。圖1為標(biāo)準(zhǔn)直齒條的幾何圖形，A點(diǎn)為齒條齒頂線與公法線的交點(diǎn)，P點(diǎn)為分度線與公法線的交點(diǎn)，則AB表示實(shí)際嚙合線的長(zhǎng)度。

圖1 齒條的幾何圖形

公式推導(dǎo)如下：故：AB=2ha*×m/sinα

將標(biāo)準(zhǔn)齒頂高系數(shù)ha*=1，壓力角α=20°代入上式，得到εmax=1.981；若用短齒的齒頂高系數(shù)ha*＝0.8代入，得到εmax=1.585，因此標(biāo)準(zhǔn)的齒輪齒條傳動(dòng)比短齒的齒輪齒條傳動(dòng)的重合度大。

εmax=1.981的物理意義：在一個(gè)基圓齒距的時(shí)間內(nèi)有98.1%的時(shí)間是雙齒嚙合，只有1.9%的時(shí)間是單齒嚙合，因此齒輪齒條機(jī)構(gòu)能夠承受大的載荷并且傳動(dòng)平穩(wěn)。

（二）齒頂高系數(shù)越大，重合度ε 越大。由公式（3）和（4）可知，齒頂高系數(shù)影響齒頂角的大小，從而影響重合度。

圖2 重合度與齒頂高系數(shù)的關(guān)系

從圖2可以看出，增大齒頂高系數(shù)可以顯著提高齒輪副的重合度，但齒頂高系數(shù)過(guò)于增大將直接導(dǎo)致齒頂變尖，從而引發(fā)崩齒，因此該系數(shù)不宜過(guò)大。標(biāo)準(zhǔn)齒輪取1，短齒取0.8。在相同傳動(dòng)比時(shí)，齒數(shù)越大重合度越大；而在相同齒數(shù)時(shí)，傳動(dòng)比越大，重合度越大。

（三）中心距相對(duì)誤差越小，重合度越大。由公式（5）可知，當(dāng)實(shí)際安裝中心距α'與標(biāo)準(zhǔn)中心距a一致，即Δ＝a'-a=0時(shí)，有α'=α 成立；當(dāng)a'>a，即Δ莛0時(shí)，α'莛α，ε 減小。

圖3 重合度與中心距相對(duì)誤差的關(guān)系

將重合度隨著中心距相對(duì)誤差的變化而變化的趨勢(shì)用圖3直觀表達(dá)，從中可以看出重合度變化的總體趨勢(shì)是隨中心距相對(duì)誤差的增大而減小，并在傳動(dòng)比不變而齒數(shù)變大以及齒數(shù)不變而傳動(dòng)比變大時(shí)呈現(xiàn)加速下降趨勢(shì)。

雖然傳動(dòng)比的不變性和中心距的可變性是漸開(kāi)線齒輪傳動(dòng)的一大特色，但中心距的變大將導(dǎo)致重合度的明顯減小，因此在齒輪安裝時(shí)，應(yīng)保證中心距相對(duì)誤差Δ＜1%。

（四）壓力角越小，重合度越大。由公式（3）（4）（5）可知，壓力角影響著齒頂角和嚙合角的大小，從而影響重合度的大小，如圖4所示，重合度隨著壓力角的增大而減小，從這點(diǎn)上講，應(yīng)取較小的壓力角，但在齒輪設(shè)計(jì)中為了減小彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力，提高齒輪傳動(dòng)的強(qiáng)度，應(yīng)盡量在滿足重合度的基礎(chǔ)上取較大的壓力角。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)齒輪分度圓上的壓力角取20°。

圖4 重合度與壓力角的關(guān)系

二、影響漸開(kāi)線斜齒圓柱齒輪重合度的因素

在充分理解了漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪重合度基礎(chǔ)上，分析漸開(kāi)線斜齒圓柱齒輪的重合度就比較簡(jiǎn)單，我們只需搞清楚兩者在傳動(dòng)過(guò)程中的區(qū)別點(diǎn)就可以了。直齒傳動(dòng)的特點(diǎn)是整個(gè)齒寬同時(shí)進(jìn)入嚙合，又同時(shí)退出嚙合；而斜齒因?yàn)辇X廓接觸線是斜線，故傳動(dòng)的特點(diǎn)是逐漸從前端面進(jìn)入嚙合并逐漸從后端面脫離嚙合，顯然這與齒寬和螺旋角有關(guān)。

從圖5可知，F(xiàn)G之間的區(qū)域?yàn)辇X輪的嚙合區(qū)，對(duì)直齒傳動(dòng)來(lái)說(shuō)，輪齒整個(gè)齒寬同時(shí)在F點(diǎn)進(jìn)入嚙合，在G點(diǎn)脫離嚙合，其重合度用εα表示。對(duì)于斜齒傳動(dòng)來(lái)說(shuō)，其輪齒在進(jìn)入嚙合和脫離嚙合時(shí)不是整個(gè)齒寬，G僅是輪齒的一端開(kāi)始脫離嚙合，而到整個(gè)輪齒全部脫離還要繼續(xù)嚙合長(zhǎng)度為GH=B×tgβ 的距離，故斜齒輪傳動(dòng)的重合度可以表示為ε=εα+εβ，是在直齒重合度εα的基礎(chǔ)上外加一個(gè)軸向重合度εβ，

其中B—齒寬，β—螺旋角，pt—端面齒距

圖5 斜齒輪的重合度

從公式（7）可知，斜齒輪傳動(dòng)的重合度隨著齒寬B和螺旋角β 增加而增加，這就是斜齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)，沖擊和噪聲小，承載能力高的主要原因。

當(dāng)齒寬B和螺旋角β 以及端面齒距一定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線斜齒輪齒條機(jī)構(gòu)傳動(dòng)時(shí)所具有的重合度為

三、結(jié)論

（一）重合度是漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪中的重要概念，通過(guò)公式分析獲知重合度的大小取決于小齒輪齒數(shù)、壓力角、齒頂高系數(shù)以及傳動(dòng)比與中心距相對(duì)誤差。

（二）由重合度公式分析出標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪傳動(dòng)中其一為齒條時(shí)可獲得重合度的最大值，并且通過(guò)齒條的幾何形狀求出漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪重合度的最大值為1.981，而斜齒輪重合度的最大值為εmax=1.981+B×tgβ/Pt。

（三）通過(guò)matlab繪圖工具得出重合度與齒頂高系數(shù)、中心距相對(duì)誤差以及壓力角之間的關(guān)系，從而在齒輪設(shè)計(jì)中，在保證彎曲強(qiáng)度和疲勞強(qiáng)度以及不干涉、不根切、不變尖等條件下，合理、正確地選擇這些參數(shù)提供理論依據(jù)。

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