柴 晨，劉 敏

(西安電子科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西西安 710071)

反射隨機微分方程是經(jīng)典的隨機微分方程擴展，通過在隨機微分方程中加入Harrison［1］調(diào)節(jié)過程，能使隨機微分方程的狀態(tài)空間被限制在某些特定的開、閉區(qū)間內(nèi)。在放射隨機微分方程中通過漂移函數(shù)，波動函數(shù)及反射條件的適當定義可得到幾類著名的擴散過程，如反射布朗運動、反射幾何布朗運動、反射Ornstein－Uhlenbeck過程以及反射平方根過程。近年來，反射隨機微分方程的理論得到了迅速發(fā)展，反射隨機微分方程模型已被廣泛應用到生物學、控制論、排隊論、信號處理、存儲系統(tǒng)建模、計算機網(wǎng)絡研究等實際問題。同時，隨著金融市場的不斷發(fā)展，反射隨機微分方程在金融經(jīng)濟中的應用也越發(fā)廣泛，并在利率期限結構、金融風險計算與受控金融市場建模方面取得了令人矚目的成果。

與隨機微分方程相同，除了一些簡單的反射隨機微分方程可求其解析解外，大多數(shù)的反射隨機微分方程的解析式難以直接表達出，因此對方程本身及其解的性態(tài)研究就顯得尤為重要。近年來，學者們對于隨機系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究已取得了一些進展，并針對隨機微分方程提出了較多優(yōu)秀的數(shù)值解法，目前常用的有Euler方法、Milstein方法和Runge－Kutta方法等，可將這些方法推廣到求解反射隨機微分方程的數(shù)值解。文中分別利用Euler－Maruyama算法、Euler－Peano算法和懲罰數(shù)值算法求解反射隨機微分方程數(shù)值解得到了仿真結果，并對各種方法的解和收斂階進行了對比與分析。

1 反射隨機微分方程

一維反射隨機微分方程是一維隨機微分方程的擴展，其主要特點是其強解能被限制在實數(shù)域上的某些緊集上。反射隨機微分方程的這一特點在眾多實用領域建模中有著廣泛應用。實際上一維反射隨機微分方程的主要形式為

其中，Ia，b=［a，b］表示反射隨機微分方程 XR={XRt;t≥0}的狀態(tài)空間。

不同于無反射隨機微分方程，反射隨機微分方程(1)有額外兩個隨機過程La={Lat;t≥0}和Ub={Ubt;t≥0}，文中稱La和Ub為在反射邊界a，b上的調(diào)節(jié)過程(Regulator)，且調(diào)節(jié)過程滿足如下兩個性質:(1)樣本軌道 t|→Lat和 t|→Ubt均是單調(diào)不減，連續(xù)且L0a=U0b=0;(2)對任意t＞0，成立關于La和Ub的性質;Lat=

關于反射隨機微分方程有存在唯一定理:

定理 假設式(1)中漂移函數(shù)b(x)和波動函數(shù)a(x)滿足局部李普希茲條件:?M，N＞0使當則反射隨機微分方程(1)具有唯一強解且該強解是一個(強)Markov過程。

為了方便，主要以下面反射隨機微分方程為例，討論其強解的數(shù)值逼近算法

其中，I{Xt=0}表示{Xt=0}事件的示性函數(shù)隨機變量。

2 反射隨機微分方程的數(shù)值算法

2.1 Euler－Maruyama算法

與隨機微分方程的EM算法類似，文中將EM算法應用到反射隨機微分方程，并對每一個正整數(shù)n，令δ=及 t=0。定義 t=kδ，其中，k=1，2，…，n。表示0kΔtk=tk－ tk－1和 ΔWtk=Wtk－ Wtk－1，其中，k=1，2，…，n，于是 Δtk=δ，?k=1，2，…，n。

而由布朗運動的定義，ΔWt1，ΔWt2，…，ΔWtn是 n 個相互獨立的隨機變量且具有同一N(0，δ)的正態(tài)分布。

EM算法:設 Xδt=Yδt=x≥0和 Lδt=0，?t∈［0，t1)，以及?t∈(tk，tk+1)，其中，k=1，2，…，n －1，定義

而XδT=Xδtn－1，LδT=Lδtn－1。

對任意正整數(shù)p及任意0＜α＜1，一定存在一個正整數(shù) Cp，α，使

2.2 Euler－Peano算法

對于反射隨機微分方程EM算法，其強收斂階顯然＜1/2。引入Euler－Peano算法(EP算法)，該算法以提高反射隨機微分方程的強收斂階到1/2。

EP算法實際上是EM算法的一個修正，其具體實施步驟為:設Xδ0=Yδ0=x≥0以及?t∈(tk－1，tk］，其中，k=1，2，…，n。

事實上EP算法誤差結果為:對任意正整數(shù)p有

即EP算法的強收斂階為1/2。

2.3 懲罰數(shù)值算法

最后引入懲罰數(shù)值算法。上文已發(fā)現(xiàn)在EM和EP算法中均要仿真類似項而在懲罰數(shù)值算法中，無需仿真項。懲罰數(shù)值算法實際是一個兩步算法:

首先取一個較小的正整數(shù)ε＞0，并設β(x)為一個懲罰函數(shù)，則根據(jù)Menaldi的結果

收斂到反射隨機微分方程的強解X，當ε→0時。

第二步，采用類似于EP算法的步驟來數(shù)值逼近Xεt。即設Xδt，ε=x≥0和?t∈(tk－1，tk］，其中，k=1，2，…，n，及

3 仿真實驗

首先通過EM算法比較隨機微分方程和反射隨機微分方程的數(shù)值解，假定μ=0.25，σ=0.5，X(1)=1。分別應用EM算法仿真區(qū)間［0，1］上的步長為δt=2－8的O－U過程和反射O－U過程。虛線表示隨機微分方程的EM算法仿真圖，實線表示反射隨機微分方程的EM算法仿真圖，如圖1所示。

圖1 隨機微分方程與反射隨機微分方程O－U過程的EM算法

由圖1可知，反射隨機微分方程與隨機微分方程擁有相似的波動圖像。但在反射條件的約束下，相比隨機微分方程，反射隨機微分方程的解被約束在一個更小的區(qū)間范圍內(nèi)。

下面用EM算法、EP算法和懲罰數(shù)值算法仿真區(qū)間［0，1］上步長為 δt=2－8的 O －U 過程，下圖為 EM算法，EP算法及懲罰算法仿真反射O－U過程的仿真圖，參數(shù)選擇與上圖相同。其中，EM算法用折線表示，EP算法用實線表示，懲罰數(shù)值算法用虛線表示，如圖2所示。

圖2 反射O－U過程的EM算法、EP算法與懲罰數(shù)值算法

由圖2可知，EM算法、EP算法及懲罰數(shù)值算法仿真反射O－U過程具有相似的波動屬性，但EP算法的仿真圖像波動范圍在更小的區(qū)間范圍內(nèi)，懲罰數(shù)值算法的波動性較小且與EP算法結果接近。由表1可知，由于EP算法的收斂階大于EM算法及懲罰算法，因此EP算法的仿真圖像具有更好的收斂性，而懲罰數(shù)值算法無需仿真項，因此懲罰數(shù)值算法的效率較高，雖收斂階小于EP算法，但依舊能得到與EP算法接近的仿真結果。

表1 EM算法、EP算法與懲罰數(shù)值算法對比

4 結束語

由隨機微分方程的經(jīng)典數(shù)值解法入手，對反射隨機微分方程的數(shù)值解法進行推導實現(xiàn)。首先對反射隨機微分方程做了簡單介紹，然后提出了3種反射隨機微分方程的數(shù)值解法，并進行了仿真，同時對這3種解法及隨機微分方程進行了比較。提出的3種仿真方法將對金融等領域中以反射隨機微分方程為基礎的模型進行數(shù)值仿真，在期權定價、利率期限結構、金融風險計算與受控金融市場建模等實際問題中均具有良好的應用前景。

［1］Harrison M.Brownian motion and stochastic flow systems［M］.New York:Wiley Press，1986.

［2］?ksendal B.Stochastic differential equations［M］.Berlin:Springer－ Verlag，2003.

［3］Ding D，Zhang Y Y.Numerical solutions for reflected stochastic differential equations［M］.Boston:International Press，2008.

［4］Higham D J.An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations［J］.SIAM Review，2001，43(3):525 －546.

［5］Sauer T.Numerical solution of stochastic differential equations in finance［M］.Berlin Heidelberg:Springer，2012.

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