張堯，郭杰，唐勝景，馬悅悅，商巍

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，飛行器動力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081)

制導(dǎo)律設(shè)計(jì)是導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)精確控制和對目標(biāo)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確打擊的基礎(chǔ).因此，要實(shí)現(xiàn)更高精度的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，就需要在原有的制導(dǎo)模型基礎(chǔ)上采用更為先進(jìn)的控制算法進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì).

隨著控制思想的進(jìn)步，相關(guān)研究提出了諸如最優(yōu)制導(dǎo)律、滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律、改進(jìn)比例導(dǎo)引等.Zhang等［1］基于線性二次調(diào)節(jié)理論，以脫靶量和攻擊落角為約束，設(shè)計(jì)了空地導(dǎo)彈的三維最優(yōu)制導(dǎo)律;Hexner等［2］在導(dǎo)彈機(jī)動加速度物理約束條件下，基于隨機(jī)優(yōu)化控制思想建立零化脫靶量的條件可能密度函數(shù)，提出了一種全新的最優(yōu)制導(dǎo)律，但當(dāng)導(dǎo)彈加速度物理約束足夠大時，該方法退化為傳統(tǒng)的最優(yōu)制導(dǎo)律;張友安等［3］考慮到落角約束，應(yīng)用Schwarz不等式得到了任意加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)律的一般表達(dá)式，但導(dǎo)彈的落角和加速度指令受初始條件影響較大;而Zhang等［4］基于非線性積分滑?？刂圃O(shè)計(jì)了一種變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，同時采用非線性擾動觀測器對制導(dǎo)律目標(biāo)機(jī)動加速度進(jìn)行觀測和控制量補(bǔ)償，降低了控制量的高頻振蕩，實(shí)現(xiàn)了視線角速率在有限時間內(nèi)收斂于零;朱凱等［5］基于滑模干擾觀測器和比例導(dǎo)引律設(shè)計(jì)了一種多約束條件下的魯棒末制導(dǎo)方法，該制導(dǎo)方法不需要測距信息和對剩余飛行時間的估算，但在制導(dǎo)指令生成過程中需要對導(dǎo)引系數(shù)不斷進(jìn)行自適應(yīng)迭代運(yùn)算，從而加大了指令計(jì)算時間和系統(tǒng)的復(fù)雜性;馬克茂等［6］和竇榮斌等［7］均是采用滑?？刂扑枷朐O(shè)計(jì)了變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，但設(shè)計(jì)過程中將系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)視為未知有界的，使得所需控制量變大并且容易產(chǎn)生高頻振蕩現(xiàn)象;熊俊輝等［8］針對迎擊攔截高速目標(biāo)的問題，應(yīng)用模糊變系數(shù)策略設(shè)計(jì)了一種全新的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，降低了制導(dǎo)初期的需用過載.此外，Moosapour等［9］通過考慮自動駕駛儀動態(tài)特性，基于魯棒設(shè)計(jì)思想提出了一種改進(jìn)比例導(dǎo)引設(shè)計(jì)方法;王嘉鑫等［10］通過引入?yún)⒖寄繕?biāo)設(shè)計(jì)了一種新型的比例導(dǎo)引律，但該方法只適用于目標(biāo)機(jī)動性較小的情況.

上述新型制導(dǎo)律雖然具備很強(qiáng)的優(yōu)越性，但其設(shè)計(jì)增加了系統(tǒng)自身的復(fù)雜度，同時對于導(dǎo)彈運(yùn)動過程中的未知量(如目標(biāo)機(jī)動加速度)無法進(jìn)行實(shí)時的準(zhǔn)確測量，工程應(yīng)用不強(qiáng).在滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中通過狀態(tài)觀測器對目標(biāo)機(jī)動加速度進(jìn)行估計(jì)，但實(shí)際系統(tǒng)中由于系統(tǒng)自身和外界的不確定性，導(dǎo)致設(shè)計(jì)前假設(shè)的目標(biāo)機(jī)動加速度上限無法準(zhǔn)確獲得，獨(dú)立于模型的設(shè)計(jì)能力差，人為假設(shè)的上限值會使所需的控制量變大并且可能出現(xiàn)高頻顫振現(xiàn)象，打破原有的系統(tǒng)物理?xiàng)l件約束.

針對上述不足，本文以導(dǎo)彈攔截機(jī)動目標(biāo)為背景，采用的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO，Extended State Observer)在獨(dú)立于被控對象數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過將目標(biāo)機(jī)動加速度擴(kuò)張成一個新的狀態(tài)而對這一新的狀態(tài)量進(jìn)行實(shí)時的估計(jì)和動態(tài)補(bǔ)償;同時，基于滑模變結(jié)構(gòu)理論提出了一種新型滑模制導(dǎo)律，從而實(shí)現(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)的精確打擊.

1 導(dǎo)彈運(yùn)動模型

1.1 模型描述

為了方便研究，考慮縱向平面內(nèi)的攔截彈制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問題.彈目相對運(yùn)動如圖1所示.圖中，M和T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的質(zhì)心位置.

圖1 彈目相對運(yùn)動Fig.1 Missile-to-target relative motion

由彈目相對運(yùn)動方程可知:

式中，r為彈目相對距離;q為彈目視線角;Vt和Vm分別表示目標(biāo)速度和導(dǎo)彈速度.為簡化數(shù)學(xué)模型，假設(shè)目標(biāo)和導(dǎo)彈的速度大小對時間的導(dǎo)數(shù)=0和=0.此外，令目標(biāo)和導(dǎo)彈的法向加速度分別為At=Vt，Am=Vm，其中θt和θm分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈的航跡傾角，和分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈的航跡傾角對時間的導(dǎo)數(shù).

因此，式(1)兩邊對時間t求導(dǎo)，可得

假設(shè)1 系統(tǒng)(2)中各個狀態(tài)變量r，q，Vr，Vλ和 θm均可直接得到［11］.

假設(shè)2 在導(dǎo)彈對目標(biāo)實(shí)施攔截打擊過程中，目標(biāo)法向加速度At是未知有界的，則Atr和Atλ滿足如下關(guān)系［11］:

1.2 攔截策略

式中c0為設(shè)計(jì)參數(shù)且c0＞0.令，則要實(shí)現(xiàn)攔截策略(4)需設(shè)計(jì)一個在有限時間內(nèi)可令e趨于零的反饋控制器.該攔截制導(dǎo)策略的有效性證明詳見文獻(xiàn)［11］.

2 基于ESO的導(dǎo)彈滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了使導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)1.2節(jié)所述攔截策略，本文采用滑模控制理論來對導(dǎo)彈制導(dǎo)律進(jìn)行設(shè)計(jì).對于系統(tǒng)(2)，選取滑模面為

根據(jù)滑模運(yùn)動的可達(dá)性條件，令S對時間t求導(dǎo)，采用如下趨近律:

式中，趨近律設(shè)計(jì)參數(shù) k＞0，σ ＞0，0＜γ ＜1.該趨近律能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)(2)的狀態(tài)軌跡以有限時間收斂于滑模面S的鄰域內(nèi).

取閉環(huán)系統(tǒng)(2)的控制量u=Am，式(5)對時間求導(dǎo)，并聯(lián)立式(2)和式(6)，則

在實(shí)際工程應(yīng)用中，系統(tǒng)無法快速準(zhǔn)確獲得Atλ的大小.故本文采用ESO對閉環(huán)系統(tǒng)(2)中的未知項(xiàng)Atλ進(jìn)行實(shí)時的觀測和動態(tài)補(bǔ)償.

將系統(tǒng)(2)中的未知項(xiàng)擴(kuò)張為一個新的狀態(tài)，構(gòu)成如下所示的系統(tǒng):

式中，函數(shù)η(t)為目標(biāo)加速度分量Atλ的導(dǎo)數(shù)，則對系統(tǒng)(8)設(shè)計(jì)二階擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，其數(shù)學(xué)模型為

式中，e1為ESO對系統(tǒng)狀態(tài)量的觀測誤差;z1和z2為ESO對系統(tǒng)(8)的狀態(tài)觀測值;β01和 β02為ESO的觀測增益;函數(shù)fal(·)的表達(dá)式如下所示:

其中α1和δ為ESO的設(shè)計(jì)參數(shù).通過選擇合適的β01和β02可以使得ESO能夠很好地對狀態(tài)Vλ和被擴(kuò)張狀態(tài)Atλ進(jìn)行觀測和動態(tài)補(bǔ)償［13］.

因此，聯(lián)立式(7)和式(9)可得基于ESO的導(dǎo)彈滑模制導(dǎo)律(ESMG)的控制量為

同時，本文在制導(dǎo)律仿真過程中考慮自動駕駛儀的動態(tài)特性，將自動駕駛儀視為二階振蕩環(huán)節(jié)，則通過自動駕駛儀輸入給彈體環(huán)節(jié)的控制指令A(yù)mc滿足下式:

針對本文所設(shè)計(jì)的滑模制導(dǎo)律，存在合適的β01，β02，α1和 δ，使得觀測值 z1和 z2分別收斂于Vλ和Atλ的鄰域內(nèi)，通過采用控制律(11)，使閉環(huán)系統(tǒng)(2)中各個狀態(tài)的運(yùn)動軌跡以有限時間收斂于滑模面S=0附近.

3 穩(wěn)定性證明

為了便于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，首先給出如下引理.

引理1［14］假設(shè)V(x)是定義域?yàn)閁?Rn且一階連續(xù)可導(dǎo)的正定函數(shù)，V·(x)+λVα(x)是定義域?yàn)閁?Rn的半負(fù)定函數(shù)，其中α∈(0，1)，λ∈R+.則存在定義域U0?Rn，使得定義在U0?Rn上的任意V(x)均能以有限時間收斂至零.同時，若Treach為V(x)收斂至零的時間，則

式中V(x0)為V(x)的初值.

文獻(xiàn)［15］給出了ESO的穩(wěn)定性證明.此處將不再論述.當(dāng) β02取值足夠大、β01取值足夠小，則ESO的觀測誤差趨于零，也就是說ESO的觀測量z1和z2分別以有限時間收斂于Vλ和Atλ的鄰域內(nèi).

大量數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)表明，非線性函數(shù)fal中的參數(shù)選擇 α1=1/2n－1，δ=h，其中 n 為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的階數(shù)，h為積分步長.當(dāng)α1和δ確定時，根據(jù)系統(tǒng)的時間尺度概念，參數(shù)β0i(i=1，2)基本與積分步長有關(guān)，由工程經(jīng)驗(yàn)可知:β01≈1/h，β02≈h2/3［15］.

針對系統(tǒng)(8)構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù):

對式(14)按時間t求導(dǎo)可得

假設(shè)存在一個權(quán)數(shù)0＜ε≤1，使得不等式(15)可以寫成

系統(tǒng)收斂性得證，且S滿足:

式中0＜ε0＜1.同時，函數(shù) V收斂至零的時間Treach滿足下式:

因此，當(dāng)ESO穩(wěn)定時，通過調(diào)節(jié)控制律中k和σ的值可使閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡收斂于滑模面S=0的鄰域內(nèi).

當(dāng)ESO能夠準(zhǔn)確估計(jì)系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)時，參數(shù)k和σ越大，閉環(huán)系統(tǒng)中各個狀態(tài)量以有限時間的收斂性越好，系統(tǒng)所取的滑模面S越能趨近于零;然而，在實(shí)際問題中，過大的k和σ會使得控制量過大而超過導(dǎo)彈系統(tǒng)自身物理?xiàng)l件的限制，因此在系統(tǒng)參數(shù)整定時需要權(quán)衡考慮設(shè)計(jì)方法和實(shí)際物理?xiàng)l件對參數(shù)的影響.

4 仿真結(jié)果分析

選取導(dǎo)彈的初始位置為 xm(0)=0 m，ym(0)=0 m，目標(biāo)的初始位置為xt(0)=20 km，yt(0)=20 km;c0=0.1;導(dǎo)彈導(dǎo)引頭對視線角速率測量需經(jīng)過時間常數(shù)為30 ms的一階慣性環(huán)節(jié);導(dǎo)彈的最大機(jī)動過載為20;導(dǎo)彈在攔截過程中速度滿足下述關(guān)系:

此外，導(dǎo)彈自動駕駛儀的二階動態(tài)特性相關(guān)參數(shù)為 ω =10，ξ=0.7.

在所設(shè)計(jì)的ESMG中，開關(guān)函數(shù)sgn(·)的滯后性會使控制量Am在實(shí)際仿真過程中產(chǎn)生高頻抖振現(xiàn)象，進(jìn)而影響了系統(tǒng)本身的穩(wěn)定性，使導(dǎo)彈命中精度降低.在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時，為削弱控制量的抖振現(xiàn)象，采用連續(xù)函數(shù)sat(·)代替式(11)中的開關(guān)函數(shù).

式中 δ0為消顫因子，δ0=0.01.

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的優(yōu)越性，與基于有限時間收斂理論設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律(FTCG)［12］進(jìn)行對比，其數(shù)學(xué)模型為

式中，N＞2;β＞0;0＜n≤1;ψ為目標(biāo)機(jī)動加速度的上界，ψ =100.

針對上述制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法，對下面算例中的3種情況進(jìn)行對比仿真.仿真中，ESMG的模型參數(shù)統(tǒng)一取為:γ =0.5，k=1.25，σ =1.2，β01=50，β02=100，α1=0.2，δ=0.15.

算例1 目標(biāo)作法向加速度為At=10g sin t(單位:m/s2)的高速機(jī)動.

1)迎擊攔截速度為480 m/s的目標(biāo).

針對這種情況，取導(dǎo)彈的初始航跡角分別為θ =90°，45°，0°，F(xiàn)TCG 中 N=3.3，β =10，n=0.5，導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動曲線如圖2(a)所示.不同初始航跡角下，ESMG得到的脫靶量分別為 0.16，0.96，0.82 m，而 FTCG 得到的脫靶量分別為0.53，1.38，1.48 m.

2)尾追攔截速度為480 m/s的目標(biāo).

針對這種情況，取導(dǎo)彈的初始航跡角分別為θ =90°，45°，0°，F(xiàn)TCG 中 N=10，β =10，n=0.5，導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動曲線如圖2(b)所示.不同初始航跡角下，ESMG得到的脫靶量分別為 0.70，0.16，0.03 m，而 FTCG 得到的脫靶量分別為8.02，5.31，4.06 m.

3)前向攔截速度為1100 m/s的目標(biāo).

針對這種情況，取導(dǎo)彈的初始航跡角分別為θ =90°，45°，0°，F(xiàn)TCG 中 N=10，β =10，n=0.5，導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動曲線如圖2(c)所示.不同初始航跡角下，ESMG得到的脫靶量分別為1.26，1.31 m，而 FTCG 得到的脫靶量分別為10.05，11.37 m.

算例2 為進(jìn)一步驗(yàn)證ESMG在目標(biāo)的法向加速度非周期變化時的有效性，考慮Case 1中的3種攔截方式對非周期高速機(jī)動目標(biāo)進(jìn)行攔截.目標(biāo)法向加速度如圖3所示.

1)迎擊攔截速度為480 m/s的目標(biāo).

取導(dǎo)彈的初始航跡角與制導(dǎo)律中相關(guān)參數(shù)同算例1，導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動曲線如圖4(a)所示.不同初始航跡角下，ESMG得到的脫靶量分別為0.47，0.76，0.68 m，而 FTCG 得到的脫靶量分別為 8.16，8.15，8.17 m.

圖2 算例1中彈目相對運(yùn)動曲線Fig.2 Curves of relative motion between missile and target in Case 1

圖3 目標(biāo)法向加速度Fig.3 Normal acceleration of target

2)尾追攔截速度為480 m/s的目標(biāo).

取導(dǎo)彈的初始航跡角與制導(dǎo)律中相關(guān)參數(shù)同算例1，導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動曲線如圖4(b)所示.不同初始航跡角下，ESMG得到的脫靶量分別為1.47，1.14，1.49 m，而 FTCG 得到的脫靶量分別為 14.23，14.31，14.17 m.

3)前向攔截速度為1100 m/s的目標(biāo).

取導(dǎo)彈的初始航跡角與制導(dǎo)律中相關(guān)參數(shù)同算例1，導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動曲線如圖4(c)所示.不同初始航跡角下，ESMG得到的脫靶量分別為0.41，0.52 m，而 FTCG 得到的脫靶量分別為9.72，10.17 m.

圖4 算例2中彈目相對運(yùn)動曲線Fig.4 Curves of relative motion between missile and target in Case 2

由上述對比仿真結(jié)果可以看出，ESMG使導(dǎo)彈在攔截時間和脫靶量方面均要小于FTCG.同時，針對不同的初始航跡角和攔截方法，ESMG表現(xiàn)出在導(dǎo)彈運(yùn)動方面更強(qiáng)的魯棒性，導(dǎo)彈運(yùn)動軌跡和脫靶量受攔截初始條件的不同影響更小.ESMG可以使導(dǎo)彈在不同攔截策略下以更大的精度對高速機(jī)動目標(biāo)實(shí)施攔截打擊.

由于篇幅所限，圖5僅給出了初始航跡角θ=90°時導(dǎo)彈以上述3種攔截方式攔截目標(biāo)的法向過載變化曲線，雖然在導(dǎo)彈運(yùn)動初期ESMG對導(dǎo)彈的需用過載要求比較大，但在導(dǎo)彈真正實(shí)施對機(jī)動目標(biāo)的攔截打擊末制導(dǎo)段時，ESMG所需的最大過載小于FTCG.因此，ESMG降低了導(dǎo)彈攔截末段的需用過載，提高了導(dǎo)彈武器的可靠性，在導(dǎo)彈可用過載一定的情況下，能夠使導(dǎo)彈有效地攻擊機(jī)動性更高的目標(biāo).

圖6給出了初始航跡角為θ=90°時導(dǎo)彈迎擊攔截機(jī)動目標(biāo)時導(dǎo)彈控制輸入量變化曲線，由于仿真中考慮自動駕駛儀的二階動態(tài)特性，控制量Am的真實(shí)響應(yīng)具有一定的振蕩和時滯特性，間接驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的實(shí)用性.

如圖7所示，采用所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制律能夠保證滑模面在有限時間內(nèi)趨近于零，從而實(shí)現(xiàn)對導(dǎo)彈所設(shè)計(jì)的攔截策略(2).

圖5 不同攔截方式(θ=90°)下導(dǎo)彈法向過載變化曲線Fig.5 Curves of missile normal overload in different intercepting ways(θ=90°)

圖6 控制輸入量變化曲線Fig.6 Variation curves of control input

圖7 滑模面變化曲線Fig.7 Variation curves of sliding mode surface

圖8為ESO對未知目標(biāo)加速度的觀測曲線.通過ESO對目標(biāo)加速度的實(shí)時觀測和補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)了降低導(dǎo)彈攔截末端需用過載的目的.

圖8 ESO對未知項(xiàng)加速度的觀測曲線Fig.8 Curves of estimated value of ESO to acceleration of unknown term

5 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上提出了一種新的滑模制導(dǎo)律，經(jīng)仿真驗(yàn)證表明:

1)本文所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律中的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器能夠?qū)崟r地對目標(biāo)機(jī)動加速度進(jìn)行跟蹤觀測和反饋補(bǔ)償，達(dá)到了減小導(dǎo)彈打擊過程中需用過載的目的.

2)針對導(dǎo)彈采用不同的攔截策略打擊各種快速高機(jī)動目標(biāo)的問題，本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能夠保證導(dǎo)彈以更短的時間、更小的末端需用過載實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的精確打擊.

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