梁化云，李秀森 （山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博255049）

LIANG Hua-yun, LI Xiu-sen (College of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

0 引 言

隨著科技的進(jìn)步，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的加劇，以及物流研究的興起，冷鏈物流越來(lái)越受到人們的關(guān)注。冷鏈物流泛指冷藏冷凍類食品在生產(chǎn)、貯藏運(yùn)輸、銷售，到消費(fèi)前的各個(gè)環(huán)節(jié)中始終處于規(guī)定的低溫環(huán)境下，以保證食品質(zhì)量，減少食品損耗的一項(xiàng)系統(tǒng)工程。它是隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步、制冷技術(shù)的發(fā)展而建立起來(lái)的，是以冷凍工藝學(xué)為基礎(chǔ)、以制冷技術(shù)為手段的低溫物流過(guò)程。應(yīng)用對(duì)象主要是易腐商品或是原材料。

對(duì)易腐商品的模型研究，早在1963 年，Ghare 和Schrader[1]兩位學(xué)者討論了易變質(zhì)物品的批量訂貨模型，推導(dǎo)出了庫(kù)存模型的基礎(chǔ)：

其中：θ（t）為物品在t時(shí)刻的變質(zhì)率，I（t）為在t時(shí)刻的庫(kù)存水平，D（t）為在t時(shí)刻的需求率。隨著工藝的進(jìn)步，也為了防止易腐物品的變質(zhì)，人們開(kāi)始對(duì)易腐產(chǎn)品進(jìn)行加工以達(dá)到延長(zhǎng)商品保質(zhì)期的目的。

許多學(xué)者研究供應(yīng)商如何利用數(shù)量折扣來(lái)影響零售商的購(gòu)買行為，從而使零售商增加其每次的訂貨量，來(lái)降低供應(yīng)鏈的成本，增加供應(yīng)鏈的利潤(rùn)。當(dāng)需求恒定時(shí)，Monahan[2]首次從供應(yīng)商的角度研究了數(shù)量折扣的問(wèn)題。當(dāng)需求隨價(jià)格變化時(shí)，Weng[3-4]從增加供應(yīng)鏈的利潤(rùn)和降低供應(yīng)鏈的成本角度考慮了數(shù)量折扣的問(wèn)題，其研究表明，有1 個(gè)供應(yīng)商和1 個(gè)銷售商組成的供應(yīng)鏈中，需求為價(jià)格的函數(shù)時(shí)，數(shù)量折扣可以增加需求量，增加供應(yīng)商和零售商雙方的利潤(rùn)，但是數(shù)量折扣不能使供應(yīng)鏈達(dá)到完美協(xié)調(diào)，即供應(yīng)鏈利益最大化。李新然，牟宗玉[5]研究了供應(yīng)商采購(gòu)原材料和生產(chǎn)產(chǎn)品均采用整數(shù)比策略，建立了包含一個(gè)供應(yīng)商和一個(gè)訂貨商的VMI 模型。通過(guò)軟件模擬計(jì)算得到了一次采購(gòu)原材料用于生產(chǎn)的次數(shù)，一次生產(chǎn)的產(chǎn)品給訂貨商供貨的次數(shù)，供貨間隔期以及訂貨商處的服務(wù)水平等決策變量的值。覃毅延，郭崇慧[6]研究了在彈性需求和易變質(zhì)物品條件下，當(dāng)供應(yīng)商和零售商獨(dú)自決策時(shí)，供應(yīng)商如何確定最優(yōu)數(shù)量折扣問(wèn)題。王圣東等[7]在假設(shè)生產(chǎn)商的生產(chǎn)率有限且采取兩階段生產(chǎn)供貨模式以及生產(chǎn)商的產(chǎn)品具有易變質(zhì)性質(zhì)建立了單生產(chǎn)商單銷售商的生產(chǎn)銷售協(xié)調(diào)模型，討論了如何利用價(jià)格折扣策略來(lái)激勵(lì)銷售商的訂貨行為。王淑云，陳靜[8]對(duì)冷鏈庫(kù)存的建模發(fā)展進(jìn)行了系統(tǒng)的整理和研究。王道平，于俊娣，李向陽(yáng)[9]考慮了變質(zhì)率服從weibull 的變質(zhì)產(chǎn)品，基于需求和采購(gòu)價(jià)格均為時(shí)變的EOQ 模型。

本文基于以上研究的基礎(chǔ)上，討論了原材料為易腐產(chǎn)品，生產(chǎn)商生產(chǎn)的產(chǎn)品為保質(zhì)期一定的一般商品，假設(shè)商品的需求與時(shí)間和價(jià)格成反比的關(guān)系，建立模型。驗(yàn)證當(dāng)銷售商與生產(chǎn)商建立聯(lián)合銷售機(jī)制時(shí)，供應(yīng)鏈的利益可以實(shí)現(xiàn)最大化。

1 符號(hào)說(shuō)明和假設(shè)

1.1 模型假設(shè)

（1） 生產(chǎn)商只在原材料的生產(chǎn)季采購(gòu)原材料，由于反季材料的價(jià)格比較昂貴，不考慮。

（2） 生產(chǎn)商在原材料生產(chǎn)季生產(chǎn)的產(chǎn)品足夠銷售商銷售到下個(gè)原材料生產(chǎn)季。

（3） 產(chǎn)品的保質(zhì)期一定，變質(zhì)率服從常數(shù)θ。

（4） 過(guò)期產(chǎn)品沒(méi)有價(jià)值。

（5） 銷售商沒(méi)有提前期，假設(shè)貨品瞬時(shí)到貨。

（6） 銷售商的需求不僅與產(chǎn)品的價(jià)格有關(guān)系，還與銷售的時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)系，需求率與時(shí)間成反比的關(guān)系，即D=D0-at-bp。

（7） 原材料變質(zhì)率服從兩參數(shù)的weibull 分布。兩參數(shù)的weibull 分布函數(shù)為：

密度函數(shù)為：

α 為weibull 分布的尺度因子，β 為weibull 分布的形狀因子。

變質(zhì)率θ（t）表示在t時(shí)刻物品的瞬時(shí)變質(zhì)率：

1.2 符號(hào)假設(shè)

w：原材料采購(gòu)價(jià)格；

h1：原材料單位時(shí)間內(nèi)單位物品的庫(kù)存成本；

h2：生產(chǎn)商生產(chǎn)的產(chǎn)品單位時(shí)間的平均庫(kù)存成本；

p：銷售商的零售價(jià)；

M：原材料的消耗率；

B：生產(chǎn)商生產(chǎn)每單位產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用；

T1：銷售商的進(jìn)貨周期；

T2：生產(chǎn)商的進(jìn)貨周期；

A：生產(chǎn)商每次訂貨的訂貨成本；

m：每單位原材料的平均生產(chǎn)費(fèi)用；

c：供應(yīng)商供應(yīng)產(chǎn)品的價(jià)格；

n：銷售商對(duì)生產(chǎn)商產(chǎn)品價(jià)格變動(dòng)的比例；

θ：銷售商銷售商品的變質(zhì)率。

2 模型的建立

2.1 銷售商

對(duì)于銷售商來(lái)說(shuō)，在銷售過(guò)程中商品的變質(zhì)率為常數(shù)，當(dāng)商品超出規(guī)定保質(zhì)期時(shí)，商品的剩余價(jià)值為零。例如市場(chǎng)上銷售的果汁，罐頭等產(chǎn)品。

設(shè)產(chǎn)品的需求量和銷售的時(shí)間和商品的銷售價(jià)格有關(guān)。那么，商品的需求率就可以表示為：

在t時(shí)刻，商品的需求滿足：

根據(jù)I（T1）=0，解得：

對(duì)于銷售商來(lái)說(shuō)，產(chǎn)品的需求量?jī)H與銷售的時(shí)間長(zhǎng)度和商品的自身價(jià)格有關(guān)系。以成本最小作為標(biāo)準(zhǔn)，可以求得銷售的周期，進(jìn)而可以得到產(chǎn)品的訂貨量和利潤(rùn)表達(dá)式。

2.2 供應(yīng)商

對(duì)于供應(yīng)商來(lái)說(shuō)，原材料屬于易腐產(chǎn)品，但是其本身生產(chǎn)的產(chǎn)品屬于保質(zhì)期明確的產(chǎn)品，產(chǎn)品的變質(zhì)率是一定的。假設(shè)生產(chǎn)商在原材料成熟季節(jié)以企業(yè)最大的生產(chǎn)能力生產(chǎn)商品，當(dāng)原材料過(guò)季時(shí)，通過(guò)消耗之前的庫(kù)存來(lái)滿足需求。所以，對(duì)于供應(yīng)商，我們分開(kāi)看原材料庫(kù)存以及產(chǎn)品庫(kù)存。

2.2.1 原材料

由于原材料是易腐產(chǎn)品，所以原材料的庫(kù)存就顯得尤為重要，需要冷庫(kù)儲(chǔ)存。原材料采購(gòu)到生產(chǎn)、銷售過(guò)程如圖1 所示。

在（0,t）時(shí)間內(nèi)原材料的變質(zhì)量為：

由初始條件I（T2）=0，解得：

令t=0，解得：

則I（0）作為生產(chǎn)商的進(jìn)貨量。

對(duì)于生產(chǎn)商的原材料庫(kù)存來(lái)說(shuō)，由于原材料屬于易腐產(chǎn)品，生產(chǎn)商的生產(chǎn)能力有限，來(lái)不及生產(chǎn)的原材料需要冷藏處理，庫(kù)存成本比較昂貴。以原材料庫(kù)存的變質(zhì)量等于每次進(jìn)貨的費(fèi)用來(lái)作為求得原材料進(jìn)貨周期的方法，進(jìn)而求得原材料的進(jìn)貨量。

2.2.2 產(chǎn)品庫(kù)存

由于生產(chǎn)商在原材料供應(yīng)季節(jié)以最大的生產(chǎn)率來(lái)生產(chǎn)產(chǎn)品，所以，對(duì)于供應(yīng)商來(lái)說(shuō)，產(chǎn)品的庫(kù)存如圖2 所示：

對(duì)于生產(chǎn)商生產(chǎn)的產(chǎn)品，為了產(chǎn)品不缺貨，庫(kù)存量能夠堅(jiān)持到下一個(gè)生產(chǎn)周期，我們需要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行一定的保鮮處理，由于此時(shí)的產(chǎn)品已經(jīng)不屬于易腐產(chǎn)品，所以，單位時(shí)間產(chǎn)品庫(kù)存成本為：C2=h2。

圖2

生產(chǎn)商庫(kù)存由產(chǎn)品的庫(kù)存成本、進(jìn)貨成本、原材料的庫(kù)存成本以及生產(chǎn)成本構(gòu)成。根據(jù)原材料的進(jìn)貨周期T2可以求得生產(chǎn)商的單位時(shí)間內(nèi)的成本和單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)。

3 折扣問(wèn)題

銷售商的訂貨量為Q1，訂貨周期為T(mén)1，由于銷售商的需求與價(jià)格有關(guān)系，當(dāng)生產(chǎn)商給予銷售商一定的數(shù)量折扣時(shí)，銷售商與生產(chǎn)商的銷售量都會(huì)增加。

若生產(chǎn)商給予銷售商的折扣為y，那么，生產(chǎn)商的出售價(jià)格就變?yōu)閏-y，假設(shè)零售商適當(dāng)?shù)膶?duì)產(chǎn)品的價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，刺激需求，調(diào)整后的價(jià)格為p-ny。

對(duì)于銷售商，調(diào)整價(jià)格后需求率變?yōu)椋篋1=D0-at-b（p-ny）

解得t時(shí)刻的需求變?yōu)椋?/p>

由上面的分析可知，成本函數(shù)存在最小值，由成本最小值可解得新周期為：

由于銷售商受供應(yīng)商供貨價(jià)格的影響從而使自己的出售價(jià)格發(fā)生變化，所以，銷售商的銷售量以及利潤(rùn)都會(huì)發(fā)生變化。對(duì)于生產(chǎn)商來(lái)說(shuō)，價(jià)格降低只會(huì)改變商品的銷量，但是由于工廠的生產(chǎn)率以及原材料的供應(yīng)限制，我們認(rèn)為原材料的策略和沒(méi)降價(jià)之前是一樣的。還是以求得的T2作原材料的進(jìn)貨周期。

對(duì)于生廠商的產(chǎn)品：

單位時(shí)間產(chǎn)品庫(kù)存成本為：C21=h2

生產(chǎn)商基于銷售商降價(jià)，目的是為了實(shí)現(xiàn)更多的利潤(rùn)，降價(jià)引發(fā)銷售商增加需求，刺激顧客的購(gòu)買，對(duì)于生產(chǎn)商來(lái)說(shuō)，利潤(rùn)應(yīng)該是增加的。

4 模擬計(jì)算

為了說(shuō)明給出模型的可行性，給出一個(gè)數(shù)值實(shí)例，參數(shù)如下：

對(duì)于銷售商來(lái)說(shuō)：在價(jià)格影響率確定的前提下，隨著價(jià)格的提升單位利潤(rùn)是增加的，但是，當(dāng)價(jià)格提高到一定的程度時(shí)，單位利潤(rùn)開(kāi)始下降，當(dāng)價(jià)格影響率比較高的時(shí)候，我們由表1 可以看出，當(dāng)b=1.5，p=500 時(shí)，利潤(rùn)為-210 000。為了更好地說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，我們令b=1.5 時(shí)，做出價(jià)格與單位利潤(rùn)的走勢(shì)圖如圖3 所示。

表1 銷售商的價(jià)格以及價(jià)格影響率對(duì)單位利潤(rùn)的影響

圖3 的橫軸表示價(jià)格，縱軸表示單位利潤(rùn)。從圖像中可以明顯看出，當(dāng)價(jià)格影響率確定的情況下，銷售商的單位利潤(rùn)是先增加后減小的，所以，如何選擇定價(jià)來(lái)達(dá)到最大銷售利潤(rùn)是非常重要的。當(dāng)價(jià)格p=455 時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大值，如果這時(shí)再提高商品的價(jià)格，單位利潤(rùn)就會(huì)變少，甚至為負(fù)，說(shuō)明在此種價(jià)格條件下銷售商品，銷售商是虧損的，此時(shí)，理智的銷售商會(huì)選擇停止銷售該種商品。所以，價(jià)格影響率的準(zhǔn)確把握以及對(duì)價(jià)格的合理定位對(duì)銷售商來(lái)說(shuō)尤為重要。

由于價(jià)格對(duì)于銷售商來(lái)說(shuō)有一個(gè)最優(yōu)解的問(wèn)題，當(dāng)定價(jià)超過(guò)這個(gè)最優(yōu)解以后，商品的利潤(rùn)是下降的。但是，對(duì)于生產(chǎn)商來(lái)說(shuō)，價(jià)格的上升意味著利潤(rùn)的持續(xù)增加。由表2 可以得到這一結(jié)果。

由表2 我們可以得到，當(dāng)價(jià)格影響率一定時(shí)，隨著生產(chǎn)商出廠價(jià)格的提高，銷售商的利潤(rùn)先正后負(fù)，當(dāng)生產(chǎn)商給出的價(jià)格高于一定水平時(shí)，銷售商的利潤(rùn)為負(fù)，此時(shí)，銷售商不會(huì)再銷售此種產(chǎn)品，對(duì)于生產(chǎn)商來(lái)說(shuō)，出廠價(jià)格的提高總是意味著利潤(rùn)的增加，但是銷售商會(huì)停止購(gòu)買貨物，生產(chǎn)商此時(shí)的利潤(rùn)應(yīng)為零。

圖3 價(jià)格與單位利潤(rùn)走勢(shì)圖

表2 價(jià)格變化對(duì)利潤(rùn)的影響

圖4 生產(chǎn)商出廠幾個(gè)與總單位利潤(rùn)關(guān)系圖

由圖4 可以明顯看出，隨著出廠價(jià)格的升高，單位利潤(rùn)是先增加后減小的，所以，對(duì)于整個(gè)供應(yīng)鏈來(lái)說(shuō)，利潤(rùn)也是先增加后減小的。當(dāng)生產(chǎn)商的出廠價(jià)格p=127 時(shí)，整個(gè)供應(yīng)鏈的價(jià)格達(dá)到最大，但是，此時(shí)，銷售商的利潤(rùn)已經(jīng)開(kāi)始下降。對(duì)于出現(xiàn)的這種情況，可以考慮建立銷售商與生產(chǎn)商聯(lián)合銷售機(jī)制來(lái)獲取銷售商和生產(chǎn)商的最大利潤(rùn)。

5 總 結(jié)

本文研究的是產(chǎn)品的原料以及產(chǎn)品都是易腐產(chǎn)品的銷售問(wèn)題，但是原材料與產(chǎn)品的變質(zhì)率是不一樣的。當(dāng)生產(chǎn)商提高出廠價(jià)格時(shí)，銷售商的價(jià)格也是上漲的。當(dāng)價(jià)格較低時(shí)，生產(chǎn)商與銷售商的利潤(rùn)都是增加的，但是，當(dāng)價(jià)格提高到一定的程度時(shí)，銷售商的利潤(rùn)是負(fù)值，此時(shí)，銷售商不會(huì)再銷售此種商品，生產(chǎn)商的利潤(rùn)也就為零?；诖?，我們可以建立銷售商與生產(chǎn)商聯(lián)合銷售機(jī)制，由此獲取整個(gè)供應(yīng)鏈的利潤(rùn)最大化。

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