王玉春，李曉文

（北京師范大學(xué)物理系，北京100875）

0 引言

1979年，Ikeda在研究非線性光學(xué)諧振腔時，從Maxwell－Debye方程中推導(dǎo)出了延遲偏微分方程（DDE），他對此方程進行數(shù)值分析后發(fā)現(xiàn)：隨著系統(tǒng)控制參數(shù)的改變，系統(tǒng)會有周期態(tài)和混沌態(tài)的輸出［1］。混沌態(tài)是自然界中普遍存在的一種現(xiàn)象，其基本特性就是對初值條件極為敏感，具有隨機變化的特點，它的動力學(xué)行為具有長期不可預(yù)測性，因此，在保密通信、傳感器網(wǎng)絡(luò)、超寬帶混沌雷達等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用。為此，很多人致力于能找到一個可以用DDE方程來描述其動力學(xué)性質(zhì)的實驗系統(tǒng)，并將此類系統(tǒng)作為信號發(fā)生器應(yīng)用于實踐中。

近幾十年來，人們不斷調(diào)整實驗裝置，從純光學(xué)系統(tǒng)到光電系統(tǒng)的改進，不僅增加了系統(tǒng)操作的穩(wěn)定性，也增加了系統(tǒng)動力學(xué)的復(fù)雜性。我們所研究的非線性光電反饋延遲系統(tǒng)就是經(jīng)過多次改進的實驗系統(tǒng)［2］（見圖1）。此類系統(tǒng)主要由半導(dǎo)體激光器、馬赫－曾德爾（M－Z）光強調(diào)制器、光電探測器、交流耦合放大器等元件組成光電反饋環(huán)。M－Z光強調(diào)制器透射的光強與加在調(diào)制器上的調(diào)制電壓成余弦平方關(guān)系，這是此系統(tǒng)非線性的來源。

非線性光電延遲反饋環(huán)在非線性、延遲和反饋的共同作用下會呈現(xiàn)出豐富的動力學(xué)狀態(tài)［3］，包括各種周期態(tài)、混沌態(tài)。近年來，在現(xiàn)代科技發(fā)展的進程中，實驗、數(shù)學(xué)分析及計算機數(shù)值模擬等多種研究手段的共同運用使得我們可以更清晰地研究復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)。人們對非線性光電延遲反饋環(huán)的研究主要集中于兩方面：系統(tǒng)在控制參數(shù)改變時所呈現(xiàn)的動力學(xué)狀態(tài)；能夠產(chǎn)生用于實際應(yīng)用的混沌態(tài)。本文主要對其動力學(xué)狀態(tài)進行理論分析和數(shù)值模擬。

圖1 非線性光電反饋延遲系統(tǒng)Fig.1 Time－delayed feedback nonlinear optoelectronic system

1 非線性光電延遲反饋環(huán)的數(shù)學(xué)模型

用式（1）的DDE方程［4］來描述非線性光電延遲反饋環(huán)的動力學(xué)性質(zhì)：

其中，β為反饋強度，ε為低通濾波器與高通濾波器時間常數(shù)的比值，τ為時間延遲，φ0為M－Z光強調(diào)制器的偏置相位。本文取ε＝2.45×10－6，φ0＝π／4，τ＝34.3ns。

對不動點的穩(wěn)定性進行分析，將方程進行變分可得

其中，xτ＝x（t－τ），λ為方程的特征值。對應(yīng)的特征值方程為

整理可得

當(dāng)特征值λ的值為純虛數(shù)時，也就是說當(dāng)λ＝±iω時，會出現(xiàn)Hopf分岔。取γ＝βsin2φ0，方程（4）轉(zhuǎn)化為

2 不同反饋強度下系統(tǒng)呈現(xiàn)的各種動力學(xué)狀態(tài)

我們所研究的非線性光電延遲反饋環(huán)的動力學(xué)方程解的情況比較復(fù)雜，精確解的計算比較困難。我們主要通過數(shù)值模擬對系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)進行研究。該系統(tǒng)的控制參數(shù)主要有兩個：反饋強度β和偏置相位φ。本文主要研究系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)隨反饋強度的改變而發(fā)生的變化。從圖3中可以看出，隨著反饋強度β的增加，系統(tǒng)由穩(wěn)態(tài)經(jīng)過一系列周期態(tài)最終到達混沌態(tài)，經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜的一系列豐富的動力學(xué)狀態(tài)：當(dāng)β＜1時，反饋強度低，系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)；當(dāng)1＜β＜1.8時，系統(tǒng)處于對應(yīng)的不同周期態(tài)；當(dāng)β＞1.8時系統(tǒng)的狀態(tài)逐漸變得復(fù)雜。

圖4給出了系統(tǒng)的反饋強度β比1稍大時系統(tǒng)的狀態(tài)，可見，系統(tǒng)處于不同的周期態(tài)。當(dāng)反饋強度的值達到中等強度時，系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)隨著反饋強度的增大變得更為復(fù)雜，而且還出現(xiàn)了快慢時間尺度交替的混合狀態(tài)，這樣的狀態(tài)稱為混沌呼吸子［5］。隨著反饋強度β的增加，系統(tǒng)由原來的低頻周期態(tài)發(fā)展到二級分岔，系統(tǒng)會出現(xiàn)比較有趣的混合狀態(tài)—快尺度的動力學(xué)加載到慢尺度的極限環(huán)上。圖4b是β＝1.5時的低頻周期態(tài)，此時系統(tǒng)的時間尺度為μs，振幅的極值類似于一對不動點，在這個意義上來說，它們附近的動力學(xué)較為緩慢。

圖2 β＝0.8時系統(tǒng)處在穩(wěn)定狀態(tài)Fig.2 The system is stable whenβ＝0.8

圖3 隨反饋強度的增加系統(tǒng)的分岔圖Fig.3 Bifurcation versus increasing feedback strength

圖4 β＝1.1，β＝1.5時系統(tǒng)處在兩種不同的周期態(tài)Fig.4 The system stays at different periodic state asβ＝1.1andβ＝1.5

隨著反饋強度β的進一步增加，β＝1.8時振幅極值點開始出現(xiàn)快尺度的振蕩，如圖5a所示，圖5b是圖5a極值點附近的局部放大圖，可以看出，快尺度的動力學(xué)從剛開始產(chǎn)生就經(jīng)歷了快速的振蕩，而且還是以準(zhǔn)方波的周期態(tài)出現(xiàn)的。繼續(xù)增加反饋強度β的值，β＝2.0時，系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)如圖5c所示，其振幅極值點附近的快尺度動力學(xué)狀態(tài)所占的時間間隔在增加，從圖5d可以看出，振幅極值點附近的快尺度動力學(xué)仍然是以準(zhǔn)方波周期態(tài)的形式出現(xiàn)的，振蕩一段時間以后很快衰減。

圖5 系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)Fig.5 System dynamic state

當(dāng)反饋強度β＝2.3時系統(tǒng)還是處于混沌呼吸子狀態(tài)，如圖5 e所示。這時從圖5f的局部放大圖中可以看出，振幅極值點附近的快尺度動力學(xué)狀態(tài)不再是準(zhǔn)方波的周期態(tài)，從其時間序列看出是一種復(fù)雜的混沌態(tài)。進一步增加反饋強度β的值，快尺度的動力學(xué)狀態(tài)所占時間間隔有著明顯的增加，其時間序列更為復(fù)雜，時間尺度更快，此時混沌態(tài)作為一種快尺度（ns）的動力學(xué)狀態(tài)被嵌入慢尺度（μs）的周期態(tài)中。從上述分析中可以看到，隨著反饋強度β的值越來越大，系統(tǒng)正在向著混沌狀態(tài)變化，如圖5g～k所示。圖6為β＝3.2時混沌態(tài)的頻譜，從圖中可以看出，其功率譜十分平坦，類似于噪聲。

圖6 β＝3.2時系統(tǒng)混沌態(tài)的頻譜圖Fig.6 Frequency spectrogram of the chaotic state asβ＝3.2

3 結(jié)論

非線性光電反饋延遲系統(tǒng)在非線性、延遲和反饋的共同作用下會呈現(xiàn)出豐富的動力學(xué)狀態(tài)，包括各種周期態(tài)、混沌態(tài)。本文首先對于非線性光電反饋延遲系統(tǒng)的數(shù)值模型做了理論分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)反饋強度小于1時系統(tǒng)一直處于穩(wěn)態(tài)。反饋強度接近于1時，系統(tǒng)會出現(xiàn)Hopf分岔。得到了系統(tǒng)動力學(xué)狀態(tài)隨反饋強度變化的分岔圖。隨著反饋強度的增大，系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)從低頻周期態(tài)變化到快慢時間尺度混合的混沌呼吸子，最后到達高維混沌態(tài)。我們得到了系統(tǒng)的各種動力學(xué)狀態(tài)的時間序列，并分析了所得混沌態(tài)的頻譜圖，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌態(tài)的頻譜圖具有噪聲背景和寬峰，這樣的混沌態(tài)在很多方面都有重要應(yīng)用，例如超帶寬傳感器等。

［1］Ikeda K，Kondo K.Successive higher－h(huán)armonic bifurcations in systems with delayed feedback［J］.Phy Rev Lett，1982，49：1467－1470.

［2］ Callan K E，Illing L，Zheng Gao，et al.Broadband chaos generated by an optoelectronic oscillator［J］.Phys Rev Lett，2010，104（11）：113901.

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［4］ Peil M，Jacquot M，Chembo Y K，et al.Routes to chaos and multiple time scale dynamics in broadband bandpass nonlinear delay electro－optic oscillators［J］.Phys Rev E，2009，79（2）：026208.

［5］ Kouomou Y C，Colet P，Larger L，et al.Chaotic breathers in delayed electro－optical systems［J］.Phys Rev Lett，2005，95（20）：203903.