李 鐵，賀 麗

籃球罰球技術(shù)中“拋體運(yùn)動(dòng)方程”應(yīng)用研究

李 鐵，賀 麗

在籃球比賽中，決定籃球比賽勝負(fù)的是投籃得分的多少。隊(duì)友之間的密切配合、戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)的制定、球員的個(gè)人能力都是投籃得分的決定因素。在這其中，罰球則主要依靠球員個(gè)人能力，根據(jù)自己的身高選擇一個(gè)合適的出手速度和角度，是可以保證百分之百的罰球命中率的。在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)。一般來(lái)說(shuō)，如果物體大小和形狀的變化對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響可以忽略時(shí)，可以把物體視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。質(zhì)點(diǎn)是一個(gè)理想模型，但在很多實(shí)際情況中，是可以把很多實(shí)際物體視為質(zhì)點(diǎn)的。例如籃球運(yùn)動(dòng)中，只考慮籃球的平動(dòng)忽略其轉(zhuǎn)動(dòng)，則可以將籃球視為質(zhì)點(diǎn)。只要找出各種具體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所遵循的運(yùn)動(dòng)方程，就可以得到質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。本文將建立一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)模型，求解出其運(yùn)動(dòng)方程，并針對(duì)不同身高的球員給出一個(gè)合理的出手速度V0和角度 θ范圍，及最佳出手速度V0b和 θb角度。

1 建立模型

在國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)中，籃框的H=3.05m，籃筐中心與罰球者的L=4.225m，籃框的R=0.225m，籃球的r=0.123m。

以投球者所在地面為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系oxyz，則籃框中心的坐標(biāo)為（0，L，H），如圖1所示。其中，h為籃球的出手高度，V0為籃球出手速度，V0的正方向與Z軸正向夾角為出手角度θ。

圖1 投籃示意圖

現(xiàn)在考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的情況，忽略空氣阻力，考慮籃球在空中做的是平動(dòng)的情況，即忽略其繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，則籃球在空中的運(yùn)動(dòng)可用其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述，即把籃球的運(yùn)動(dòng)視為為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。假定籃球的出手速度在x、y、z方向的分量分別為Vx0、Vy0、Vz0；籃球在空中做拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在直角坐標(biāo)系下，其速度和運(yùn)動(dòng)方程分別為：

考慮到初始條件t=0，x0=0，y0=0，z0=h，運(yùn)動(dòng)方程可改寫(xiě)為：

在以下的討論中，我們只考慮正向投籃，出手速度v0的正方向與z軸正向夾角為θ，vx0=0，vy0=v0sinθ，vz0=v0cosθ，其運(yùn)動(dòng)方程

當(dāng)籃球投入到籃筐中時(shí)，球心（質(zhì)心）坐標(biāo)為（0，y1，h），時(shí)間t=t1，由（2）式可得：

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，僅考慮籃球直接入筐的情況A，不考慮經(jīng)籃板、籃圈反彈等復(fù)雜過(guò)程。在籃球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， t∈（0，t1）滿(mǎn)足下述條件時(shí)，可以保證籃球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)碰到籃圈反彈。

2 結(jié)果分析

由公式（4）、（6）、（7）、（8），當(dāng)出手高度h給定時(shí)，就可以得到運(yùn)動(dòng)員在罰球時(shí)能夠投中籃框所需要的出手速度v0和出手角度θ。用Matlab計(jì)算出出手高度分別為1.8m、2.0m、2.2m、 2.4m時(shí)，能投中籃框的v0、θ值（見(jiàn)圖2）。陰影區(qū)域即為在出手高度h一定的情況下，能投籃得分的出手速度v0和出手角度θ的區(qū)域。若該區(qū)域所包含的所有（v0、θ）參數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)集合即為Z，則投籃命中條件可由判斷函數(shù)F來(lái)描述。

圖2 陰影區(qū)域即為v0-θ參數(shù)空間中的投籃命中區(qū)域

通過(guò)計(jì)算，得到罰球時(shí)不同出手高度h對(duì)應(yīng)的最小的出手速度V0min，以及最大出手角度θmax。即只有當(dāng)出手速度V0> V0min，出手角度θ≤θmax時(shí)才能投中籃框。

表1 投中籃框的V0、θ值

表1可見(jiàn)，當(dāng)出手高度分別為1.8m、2.0m、2.2m、2.4m時(shí)，能投中籃框的為V0、θ值，最佳出手速度V0b。為保證盡可能高的命中率，要計(jì)算出“最佳的”出手速度V0b，這里“最佳”的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)是指在投籃命中的前提下所允許的出手速度和角度的相對(duì)誤差最大。

圖3 容許速度誤差和容許角度誤差，陰影區(qū)域Z中各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的△值

左圖為容許速度誤差和容許角度誤差（△V0，△θ）（△V0，△θ）的定義；右圖為陰影區(qū)域Z中各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的△值。

通過(guò)計(jì)算，可以得到不同出手高度h下的最佳值（V0b，θb），見(jiàn)圖4?？梢钥吹?，最佳出手速度隨h的變化單調(diào)減小而最佳出手角度則單調(diào)增大。

圖4 不同出手高度h下的最佳值出手速度V0b和出手角度θb

3 結(jié)論

1）本文研究了罰球時(shí)的籃球拋體運(yùn)動(dòng)，在忽略空氣阻力及其繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，籃球在空中的運(yùn)動(dòng)可用其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述，即把籃球的運(yùn)動(dòng)視為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。

2）通過(guò)建立模型，得到了罰球時(shí)籃球做拋體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并得到了在出手高度h一定的情況下，投籃得分的出手速度V0和出手角度θ的區(qū)域Z，以及最小的出手速度V0min和最大出手角度θmax。

3）為保證盡可能高的命中率，還計(jì)算出了“最佳”出手速度V0b，即在罰球時(shí)以速度V0b、角度θb投出后，在投籃命中的前提下所允許的出手速度和角度的相對(duì)誤差最大。

［1］馬文蔚.物理學(xué)（上冊(cè)）［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［2］張三慧.力學(xué)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，1999.

［3］MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010.

［4］李江俊.拋體運(yùn)動(dòng)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用研究［J］.和田師范專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2012（31）.

Applied Research of the Projectile M otion Equation in Basketball Free Throw

LITie，HE Li

通過(guò)體育學(xué)、運(yùn)動(dòng)力學(xué)等學(xué)科知識(shí)，從拋體運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，忽略空氣阻力及其繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，針對(duì)不同身高的籃球運(yùn)球員給出一個(gè)合理的出手速度和角度范圍。研究發(fā)現(xiàn)：1）在忽略空氣阻力及其繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，籃球在空中的運(yùn)動(dòng)可用其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述，即把籃球的運(yùn)動(dòng)視為為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；2）在出手高度h一定的情況下，能投籃得分的出手速度v0和出手角度θ的區(qū)域Z，以及最小的出手速度v0min和最大出手角度θmax；3）罰球時(shí)以速度v0b、角度θb投出后，在投籃命中的前提下所允許的出手速度和角度的相對(duì)誤差最大。

籃球罰球；出手速度；出手角度；身高；拋體運(yùn)動(dòng)

The study focuses on advising the basketball p layers on a reasonable release speed and angle range according to their heights at free throws.The suggestion is given by applying“the projectilemotion equation”，ignoring air resistance and its rotation about themass center.The study finally concludes that:first，without consideration of the air resistance and its rotation about themass center，the basketballmovement in the air can be described by the movement of its mass center；second，with a definite release height h，a player scores onlywhen the domains Z between the release speed v0and the release angleθ；thrid，when a free throw is made at the speed v0band angleθb，on the premise that it scores，the relative error between the casting speed and the angle is to themaximum.

basketball free throw；shot speed；angle；height；the projectilemotion

G841

A

1003-983X（2015）07-0612-03

2015-03-16

李 鐵（1980-），男，江蘇徐州人，碩士，講師，研究方

向：體育人文社會(huì)學(xué)、體育運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練學(xué)研究.

江蘇科技大學(xué)公共教育學(xué)院體育教研室，江蘇張家港215600 Jiangsu University of Science and Technology，Physical Education Department of Public Education College， Zhangjiagang Jiangsu，215600