陳世鐘，劉延遂，吳品弘，胡　杰，管貽生，劉冠峰

(1.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東 廣州 510641；

2.廣東工業(yè)大學機電工程學院，廣東 廣州 510006)

Arm Link Length Optimization of Robots Based on Stiffness Performance

CHEN Shizhong1，LIU Yansui2，WU Pinhong1，HU Jie1 ，GUAN Yisheng2，LIU Guanfeng2

(1.School of Mechanical and Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China；

2.School of Electro-mechanical Engineering，Guangdong University of Technology，Guangzhou 510006，China)

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基于剛度性能的機器人臂長優(yōu)化

陳世鐘1，劉延遂2，吳品弘1，胡杰1，管貽生2，劉冠峰2

(1.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東 廣州 510641；

2.廣東工業(yè)大學機電工程學院，廣東 廣州 510006)

ArmLinkLengthOptimizationofRobotsBasedonStiffnessPerformance

CHENShizhong1，LIU Yansui2，WU Pinhong1，HU Jie1，GUAN Yisheng2，LIU Guanfeng2

(1.SchoolofMechanicalandAutomotiveEngineering，SouthChinaUniversityofTechnology，Guangzhou510641，China；

2.SchoolofElectro-mechanicalEngineering，GuangdongUniversityofTechnology，Guangzhou510006，China)

摘要：基于機器人靜剛度模型，分析如何通過機器人臂長及位形優(yōu)化提高機器人剛度。首先，在機器人典型傳動部件剛度計算的基礎(chǔ)上，分析剛度矩陣的最小奇異值，將之作為評價機器人靜剛度性能的指標。然后，為了衡量機器人在整個工作空間中剛度性能的平均水平，提出采用剛度全域性能指標，并以之作為目標函數(shù)對機器人臂桿長度進行優(yōu)化。最后，以本實驗室開發(fā)的SCARA機器人為例，展示了優(yōu)化方法的應用及其效果。

關(guān)鍵詞：工業(yè)機器人；剛度矩陣；剛度性能指標；臂長優(yōu)化

0　引言

當今工業(yè)機器人已在各行業(yè)得到了廣泛的應用，隨著工業(yè)機器人向高速、高精度方向發(fā)展，為了保證機器人的定位精度，機器人本體需要較高的剛度。在研究機器人的剛度時，就要考慮系統(tǒng)中存在的柔性環(huán)節(jié)。對于串聯(lián)機器人而言，柔性環(huán)節(jié)主要在于關(guān)節(jié)柔性和連桿柔性上。機器人操作臂末端剛度矩陣取決于各關(guān)節(jié)的剛度和雅可比矩陣[1]。機器人各關(guān)節(jié)的變形是由于自身重量、外部負載以及慣性力的作用，而這些變形又會導致末端變形。因此，若要提高機器人的定位精度和動態(tài)性能，有必要對機器人進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，增大其末端剛度，減小末端變形對定位精度和動態(tài)性能的影響。

通過分析機器人的剛度可以了解其抵抗變形的能力、振動頻率及振幅等，對提高機器人末端的定位精度和動態(tài)性能，具有重要的意義[2-9]。關(guān)于剛度的研究以并聯(lián)機器人居多，而且目前從機器人剛度性能角度來對機器人的臂長進行優(yōu)化的研究還很少。因此，基于機器人剛度性能，考慮機器人關(guān)節(jié)彈性，提出一種通用性的機器人臂長優(yōu)化方法。

1　機器人靜剛度模型

將第i個關(guān)節(jié)內(nèi)部整個驅(qū)動系統(tǒng)的剛度用Kqi表示(i=1，2，…，n，n為機器人的關(guān)節(jié)數(shù))，則機器人關(guān)節(jié)剛度矩陣Kq記為：

(1)

記機器人雅可比矩陣為J，則末端剛度矩陣K與關(guān)節(jié)剛度矩陣Kq的關(guān)系為：

(2)

此即機器人傳統(tǒng)靜剛度模型[10]。式(2)表明機器人末端剛度矩陣與機器人雅可比矩陣和關(guān)節(jié)剛度矩陣有關(guān)。因為雅可比矩陣隨操作臂的位形和操作臂的臂長而變化，所以機器人末端剛度與其位形和各臂長具有重要關(guān)聯(lián)。機器人關(guān)節(jié)剛度矩陣為定值，軸、齒輪、同步帶和鏈等是構(gòu)成機器人各關(guān)節(jié)的典型零部件。因此給出計算幾種常見零部件扭轉(zhuǎn)剛度的經(jīng)驗公式，便于稍后應用。

a.軸的扭轉(zhuǎn)剛度計算。

關(guān)節(jié)中通過軸傳遞旋轉(zhuǎn)運動是一種常見的方式。圓截面軸的扭轉(zhuǎn)剛度為[11]：

(3)

d為軸徑；L為軸長；G為剪切彈性模量，對于鋼材，G=7.5×104MPa。

b.齒輪的扭轉(zhuǎn)剛度計算[11]。

(4)

b為齒寬；r為輸出齒輪半徑，對于鋼材，Cg=1.34×1010N/m2。

c.同步帶的扭轉(zhuǎn)剛度計算[12]。

(5)

R為主動輪半徑；E為同步帶彈性模量；A為帶橫截面積；L為主動邊的有效長度。

2　剛度性能評價指標

2.1局域剛度性能指標

將機器人末端受到外力時，末端抵抗變形的能力定義為機器人的末端剛度。設(shè)外力為F，在其作用下，機器人末端變形為X。當力和變形很小時，兩者通過剛度矩陣K近似為線性關(guān)系：

(6)

機器人剛度矩陣具有2個性質(zhì)：

a.對稱性。由于Kq為對角矩陣，由式(2)顯然可知K具有對稱性。

b.正定性。機器人末端受到外力時，外力做功轉(zhuǎn)變?yōu)閯菽埽瑒菽艿拇笮椋?/p>

(7)

由剛度矩陣K的對稱性和正定性可知，剛度矩陣的奇異值和特征值相等。

單單用剛度矩陣還不能定量地說明機器人剛度，為了更好地衡量機器人剛度性能，引入剛度矩陣的瑞利商的概念。

設(shè)矩陣A為Hermite 矩陣。取非零向量B∈Cn×n，定義矩陣A的瑞利商為：

(8)

可以用矢量的模來表示矢量的長度，即矢量的大小。利用瑞利商，可以研究機器人末端力矢量F的模方與末端變形矢量X的模方的比值[13]。

(9)

(10)

由式(10)可知，當給定外力后，GK(X)越大，說明結(jié)構(gòu)抵抗外力變形的能力越強，反之越弱。GK(X)的性質(zhì)可以通過研究KTK的特征值得到。

(11)

選取矩陣K的最小奇異值k′作為評價機器人剛度性能的指標。對整個工作空間而言，k′最小的位置即為剛度最薄弱的位置[13]，在這個位置機器人末端變形最大，因而可利用剛度矩陣的最小奇異值來評價機器人工作空間中剛度性能的優(yōu)劣。由式(11) 可知，最小奇異值越大，相應的剛度越好，所以優(yōu)化的目標是使得最小奇異值最大化。

為了分別研究力與力矩對于移動變形和轉(zhuǎn)動變形的影響，將剛度矩陣K進行分塊：

(12)

f為末端力矢量；n為末端力矩矢量；Kfd為力-線位移剛度矩陣；Knd為力矩-線位移剛度矩陣；Kfδ為力-角位移剛度矩陣；Knδ為力矩-角位移剛度矩陣；d為末端移動變形；δ為末端轉(zhuǎn)動變形。

考慮機器人的受載方式，取Kfd的最小奇異值k作為剛度性能指標。

因為機器人的雅可比矩陣是關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和臂長的函數(shù)，因此上文推出的剛度性能指標跟機器人的位形有關(guān)，在機器人工作空間內(nèi)最小奇異值是變化的。若就以該指標進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，得出的只是當機器人大臂關(guān)節(jié)和小臂關(guān)節(jié)處于某一轉(zhuǎn)角時，存在某一組最優(yōu)的大臂和小臂臂長，使得機器人在這一位置的剛度最大，所以把該指標稱為局域剛度性能指標，僅僅用于描述機器人在特定位形下的剛度性能，即在某一組關(guān)節(jié)角下的末端剛度性能。因此，需要繼續(xù)考慮能衡量機器人在整個工作空間內(nèi)剛度性能的指標。

2.2全域剛度性能指標

借鑒Gosselin提出的全域性能指標[14]，為了衡量機器人在整個工作空間的剛度性能，需要將剛度性能指標k在整個空間內(nèi)進行積分，求出均值，從而得出機器人在整個工作空間的全域剛度性能指標。定義機器人的全域剛度性能指標為：

(13)

ηK為機器人的全域剛度性能指標；k為剛度矩陣K的最小奇異值；W為機器人可達空間；ψ為機器人關(guān)節(jié)空間；θi為機器人關(guān)節(jié)角(i=1，2，…，n)。

3　優(yōu)化模型

由剛度矩陣的對稱性和正定性，可知其奇異值都大于零，即k∈(0，±∞)，所以全域剛度性能指標ηK∈(0，±∞)。ηK可用于評價機器人在整個可達空間中末端剛度的平均水平。ηK越大，機器人的末端剛度性能越好。因為ηK是關(guān)于機器人臂長Li的函數(shù)，所以臂桿長度優(yōu)化是在臂桿長度約束范圍內(nèi)，在機器人整個工作空間中找到1組最優(yōu)臂長分配，使得ηK最大。優(yōu)化模型通常為：

(14)

上述優(yōu)化模型可用遺傳算法求解。

4　應用實例

4.1SCARA機器人關(guān)節(jié)剛度計算

SCARA機器人的整機結(jié)構(gòu)和傳動鏈如圖1所示。

圖1　SCARA機器人傳動示意

各關(guān)節(jié)的傳動鏈依次為：大臂關(guān)節(jié)，伺服電機1→齒輪減速器→大臂；小臂關(guān)節(jié)，伺服電機2→齒輪減速器→小臂；末端移動，伺服電機3→同步帶1→絲桿螺母→絲桿軸；末端旋轉(zhuǎn)，伺服電機4→同步帶2→花鍵螺母→花鍵軸。傳動環(huán)節(jié)的剛度計算如下。

a.行星齒輪減速器扭轉(zhuǎn)剛度。根據(jù)選用的精密行星齒輪減速器產(chǎn)品說明書，減速器的扭轉(zhuǎn)剛性為Kr=6.19×106N·mm/rad。

b.滾珠絲桿扭轉(zhuǎn)剛度。 Ls為滾珠絲桿的總長度，Ls=203 mm；ds為絲桿螺紋小徑，ds=13.324 mm。由式(3)得滾球絲桿扭轉(zhuǎn)剛度為Kns=1.14×106N·mm/rad

c.滾珠花鍵扭轉(zhuǎn)剛度。滾珠花鍵參數(shù)包括中空花鍵軸外徑Dh=16 mm，中空花鍵軸內(nèi)徑dh=7 mm，花鍵軸總長度Lh=220 mm。 由式(3)得其扭轉(zhuǎn)剛度為Knh=2.11×106N·mm/rad。

d.同步帶的扭轉(zhuǎn)剛度。

同步帶1的參數(shù)為：R1=11.065 mm；E=7.8×106Pa；A=20mm；L1=33.12 mm 。由式(5)得其扭轉(zhuǎn)剛度為K1=1 153.37 N·mm/rad。

同步帶2的參數(shù)為：R2=9.45 mm；E=7.8×106Pa；A=20mm2；L2=35.95 mm。由式(5)得其扭轉(zhuǎn)剛度為K2=775.05 N·mm/rad。

組合剛度k為[11]：

(15)

則大臂關(guān)節(jié)剛度為：

小臂關(guān)節(jié)剛度為：

末端移動關(guān)節(jié)剛度為：

末端旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)剛度為：

4.2SCARA機器人的雅可比矩陣及工作空間

SCARA機器人雅可比矩陣為[15]：

(16)

SCARA機器人的工作空間表達式為：

(17)

L1為腰部高度，d3為腰部頂端至機器人末端的垂直距離。

SCARA機器人工作時，對作業(yè)范圍起決定作用的是大臂和小臂在X-Y平面的運動，腕部的旋轉(zhuǎn)運動并不影響機器人的作業(yè)范圍，垂直移動關(guān)節(jié)使得機器人在平行于X-Y平面的每個切面上運動范圍完全一致。因此，著重研究機器人在X-Y平面的工作空間，根據(jù)式(17)繪出機器人在X-Y平面的工作空間W如圖2所示。

圖2　SCARA機器人在X-Y平面的工作空間

4.3基于局域剛度性能的臂長優(yōu)化

4.3.1 優(yōu)化模型建立及求解

局域剛度性能指標k是關(guān)于θ1，θ2，L2，L3的多元函數(shù)，以其最大化作為優(yōu)化目標。本實驗設(shè)計的SCARA機器人的大臂關(guān)節(jié)角的運動范圍設(shè)定為θ1∈[-2.27，2.27](單位為rad)。 由于θ2=0為SCARA 機器人的奇異位置[15]，在這一位置雅可比矩陣不可逆，無法求出剛度矩陣，故小臂關(guān)節(jié)角的約束條件設(shè)定為θ2∈[-2.18，0)∪(0，2.18](單位為rad)。在SCARA機器人的方案設(shè)計階段，按照機器人所要完成的任務(wù)需要確定長度尺度，如手臂可以達到的最遠距離由手臂總長決定[16]，根據(jù)這一限定條件，設(shè)定另一個約束條件為大臂與小臂的臂長之和為一定值L=322 mm，即SCARA 機器人末端可以達到的最遠距離。因此，該問題為單目標多元函數(shù)在約束條件下的優(yōu)化問題：

(18)

對上述模型采用遺傳算法求解，可得各變量對應的最優(yōu)解為：

當SCARA機器人大臂關(guān)節(jié)、小臂關(guān)節(jié)、大臂臂長和小臂臂長為這組解時，末端具有最大的剛度。通過改變θ1、θ2的范圍，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解與θ1無關(guān)，而θ2的最優(yōu)解總是達到它的上限或下限值。直觀上可看出，當小臂關(guān)節(jié)達到它的極限關(guān)節(jié)角時，末端受力產(chǎn)生變形時由大臂和小臂疊加產(chǎn)生的變形最小。另一方面，顯而易見，因為大臂做的是圓周運動，末端變形量與大臂的轉(zhuǎn)角并無關(guān)系。

4.3.2優(yōu)化結(jié)果驗證

對SCARA機器人三維模型進行簡化后,在末端施加方向豎直向下而大小為30 N的作用力，創(chuàng)建好零部件間的約束，對整個模型網(wǎng)格劃分后進行應力應變分析。另外，任意給定2組對比臂桿長度：

在相同的位形下，3種情況下的放大變形比例后的仿真結(jié)果如圖3～圖5所示，最大末端變形分別為 (單位為μm)：εa=4.873，εb=4.821，ε*=4.231。

大臂和小臂的最優(yōu)臂長情況下，當機器人位于特定的關(guān)節(jié)角時，末端變形小于另外2組臂長分配的變形?？梢姡镁钟騽偠刃阅苤笜薻評價機器人單一位形下的剛度情況是正確的。

圖3　桿長組A的仿真結(jié)果

圖4　桿長組B的仿真結(jié)果

圖5　最優(yōu)解的仿真結(jié)果

4.4基于全域剛度性能的臂長優(yōu)化

由以上論述可知，局域剛度性能指標k與機器人的位置形態(tài)有關(guān)，為了使得機器人在整個可達空間的剛度性能最優(yōu)，即整個工作空間的剛度平均值盡可能增大，全域剛度性能指標ηK應盡可能大。在這種情況下，優(yōu)化模型的約束條件與局域的相同，只是目標函數(shù)為全域剛度性能指標ηK(L2，L3)。用Matlab遺傳算法工具算出的大臂和小臂臂長的最優(yōu)解為 (單位為mm)：

為了對比驗證，另外任取2組不同臂長分配：

以SCARA機器人X-Y平面的工作空間為研究對象，對其進行網(wǎng)格劃分，計算每個節(jié)點上的最小奇異值d。3組臂長分配下，剛度矩陣最小奇異值d的分布如圖6～圖8所示。

圖6　臂長組A的最小奇異值分布

圖7　臂長組B的最小奇異值分布

圖8　最優(yōu)解的最小奇異值分布

由圖6～圖8可以看出，越往中心，最小奇異值越大，即末端剛度越大。對比3幅圖可看出，通過全域剛度性能指標算出的最優(yōu)大臂和小臂臂長分配，在整個工作空間中，其沿著中心方向，剛度值增大的速率越來越快，且從豎直坐標分析，其最小奇異值很快達到一個較大的范圍，較另外2組也大很多，即其末端剛度值較另外2組大，且大多數(shù)位形下保持一個較大的剛度值?？梢?，經(jīng)全域剛度性能指標 算出的最優(yōu)臂長分配，使得機器人在工作空間中不同位形，其末端都保持著一個較大的剛度值，不至于在不同位形時末端剛度波動明顯，造成定位精度降低，動態(tài)性能不良。

5　討論與說明

上節(jié)通過一個具體實例說明了基于剛度性能的機器人臂桿長度優(yōu)化的可行性和有效性。為了簡單起見，只以SCARA機器人作為例子進行了計算。 實際上,對傳統(tǒng)的串聯(lián)機器人和并聯(lián)機器人的處理方法和過程完全一樣。

對于六自由度串聯(lián)機器人，由于后3個自由度一般集中于腕部用于定姿態(tài)，桿長很短或者為零，因此其剛度主要由前3個關(guān)節(jié)和臂桿長度所決定?？紤]腕點處的剛度時,后3個關(guān)節(jié)及其桿長可以不作考慮，這樣問題得以簡化，可以完全按照上節(jié)的方法和過程處理。 一般的并聯(lián)機器人的桿長有2個，即驅(qū)動臂的長度和與動平臺連接桿的長度。其局域剛度性能指標的正確性在參考文獻[13]中已有具體說明。 其優(yōu)化方法與串聯(lián)機器人優(yōu)化方法一致，即將局域剛度性能指標k在整個工作空間內(nèi)進行積分，在機器人工作空間中找到一組最優(yōu)臂長分配，使得全域剛度性能指標ηK最大。

6　 結(jié)束語

本文討論和計算的剛度為線剛度，即力與線位移的關(guān)系，而沒有考慮扭轉(zhuǎn)剛度?；谂まD(zhuǎn)剛度的分析和優(yōu)化可借鑒本文的方法進行處理。另外，同時考慮關(guān)節(jié)彈性和臂桿彈性進行臂長優(yōu)化也值得考慮。 未來需進一步考慮其他性能指標(如動力學性能指標)對機器人性能的影響，綜合考慮運動學和動力學指標對機器人進行優(yōu)化，對提高機器人精度和動態(tài)性能具有更加重大的意義。

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Abstract：The problem of how to increase the stiffness of a robot through optimization of its link lengths and configuration based on stiffness performance is addresses in this paper. Based on the static stiffness models of typical transmissions of robotic joints, the minimum singular value of the stiffness matrix is first analyzed and taken as a criterion to evaluate stiffness performance. To measure the stiffness performance of a robot in its whole workspace, a global stiffness performance criterion is proposed and used as the objective to optimize link lengths of the robot. Finally, an application of the proposed optimization method is illustrated with the SCARA robot developed in our laboratory as an example. The feasibility and effectiveness of the method are verified by the application of the method.

Key words：industrial robot；stiffness matrix；stiffness performance criterion；arm link length optimization

作者簡介：陳世鐘(1989-)，男，福建福州人，碩士研究生，研究方向為工業(yè)機器人；管貽生(1966-)，男，博士，教授，博士研究生導師，研究方向為仿生機器人，機器人模塊化、產(chǎn)業(yè)化及其應用，機器人自動化生產(chǎn)線的研究與開發(fā)等，通信作者。

基金項目：國家基金委-廣東省聯(lián)合基金項目(U1401240)；廣東省自然科學基金(S2013020012797)；國家自然科學基金(51375095)

收稿日期：2015-03-25

文章編號：1001-2257(2015)06-0067-06

文獻標識碼：A

中圖分類號：TP24