郭亞萍，陳建春，彭金龍

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安 710071)

寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)一直是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的重點(diǎn)和難點(diǎn)，由于其相對(duì)帶寬和絕對(duì)帶寬都較寬，在雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別、雷達(dá)低仰角跟蹤等方面都有重要應(yīng)用。因此，在高分辨估計(jì)中，越來越需要更準(zhǔn)確、更快速地估計(jì)空間寬帶信號(hào)源的波達(dá)方向及其空間分布。目前，對(duì)寬帶非相干信號(hào)的DOA(Direction of Arrival)估計(jì)，主要有兩類方法:最大似然法(Maximum Likelihood Method，MLM)和信號(hào)子空間方法(Signals Subspace Methods，SSM)。最大似然法估計(jì)是一種非線性最優(yōu)化算法，但其運(yùn)算復(fù)雜，運(yùn)算量較大，而且要求已知信號(hào)源個(gè)數(shù)及信號(hào)源功率譜密度矩陣，因而限制了它的應(yīng)用［1－2］。信號(hào)子空間方法又主要有TOPS方法和信號(hào)子空間非相干處理方法(Incoherent Signalssubspace Method，ISM)。TOPS［3］方法和在其基礎(chǔ)上改進(jìn)的 TOFS［4］方法等［5］是一類比較新的非相干信號(hào)子空間方法，但其僅在中等信噪比下有較好的估計(jì)性能。

ISM算法［6］作為一種經(jīng)典的寬帶非相干信號(hào)DOA估計(jì)算法，其主要思想是將寬帶信號(hào)在頻域劃分為若干個(gè)窄帶信號(hào)，然后使用MUSIC算法進(jìn)行各窄帶的DOA初估計(jì)，再通過對(duì)這些初始估計(jì)的組合得到最終估計(jì)結(jié)果。由于MUSIC算法需要進(jìn)行空間譜譜峰搜索，本身計(jì)算量大，所以需對(duì)多個(gè)窄帶作MUSIC譜估計(jì)的ISM算法的計(jì)算量將更大。為提高速度，減少計(jì)算量，人們研究了許多改進(jìn)算法。當(dāng)天線是均勻線形陣列時(shí)，求根MUSIC算法(Root－MUSIC)具有良好的性能和計(jì)算效率。

本文將Root－MUSIC算法運(yùn)用于寬帶非相干信號(hào)子空間估計(jì)算法(ISM)中，簡(jiǎn)稱其為Root－ISM算法，并從兩個(gè)方面來改進(jìn)Root－ISM算法:(1)結(jié)合最大能量頻點(diǎn)選擇算法來減少計(jì)算量，提高估計(jì)精度。(2)結(jié)合子帶能量加權(quán)算法來提高低信噪比下的估計(jì)性能。

1 寬帶信號(hào)模型

本文采用的陣列為均勻線陣，陣列參數(shù)為陣元數(shù)為M，陣元間距為d。設(shè)有個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶信號(hào)源，信號(hào)的波達(dá)方向角為θp(p=1，2，…，N)，定義為信號(hào)入射方向與陣列法線方向的夾角。信號(hào)的帶寬為B，則第m個(gè)陣元的接收數(shù)據(jù)為

其中，sp(t)為第p個(gè)信號(hào)的時(shí)域表示;τmp表示第p個(gè)信號(hào)到達(dá)第m個(gè)陣元時(shí)相對(duì)參考陣元的時(shí)延。

為了估計(jì)各個(gè)窄帶上的協(xié)方差矩陣，需要把時(shí)域觀測(cè)信號(hào)變換到頻域。將觀察時(shí)間T0分為K個(gè)子段，每段時(shí)間為Td，對(duì)每段數(shù)據(jù)進(jìn)行J點(diǎn)的離散傅里葉變換(DFT)，就可以得到如下的寬帶信號(hào)模型

其中，Xk(fj)，Sk(fj)，Nk(fj)分別對(duì)應(yīng)第個(gè)快拍中頻率fj處的M×1維接收數(shù)據(jù)、N×1維信號(hào)和M×1維噪聲的 DFT 變換，k=1，2，…，K，j=1，2，…，J。J 表示將帶寬為B的信號(hào)劃分為J個(gè)子帶，即式(2)對(duì)于不同的頻率點(diǎn)f1，f2，…，fJ有J個(gè)等式成立。式(2)中

2 Root－ISM算法

寬帶信號(hào)DOA估計(jì)中的ISM算法是基于經(jīng)典MUSIC算法的，它首先將寬帶數(shù)據(jù)分成不重疊的多個(gè)子頻帶，再將每個(gè)子頻帶用經(jīng)典MUSIC算法實(shí)現(xiàn)初始角度估計(jì)，對(duì)其進(jìn)行算數(shù)平均得最終估計(jì)結(jié)果。Root－ISM算法不采用需要譜峰搜索的經(jīng)典MUSIC算法，而是對(duì)每個(gè)子頻帶采用Root－MUSIC算法以求根的方式得到每個(gè)子帶的DOA初估計(jì)，最后再進(jìn)行組合得到最終的DOA估計(jì)結(jié)果。

ISM算法根據(jù)式(2)在每一個(gè)頻點(diǎn)上用個(gè)頻域快拍來估計(jì)多個(gè)目標(biāo)的方位。對(duì)于空間理想的白噪聲，且噪聲功率為σ2，頻率fj處對(duì)應(yīng)的接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可以表示為

其中，X(fj)=［X1(fj)，X2(fj)，…，XK(fj)］，S(fj)=［S1(fj)，S2(fj)，…，SK(fj)］，N(fj)=［N1(fj)，N2(fj)，…，NK(fj)］，RS(fj)和 RN(fj)分別為頻點(diǎn) fj處的信號(hào)協(xié)方差矩陣和噪聲協(xié)方差矩陣。對(duì)其進(jìn)行特征分解，得

其中∑ =diag(［λ1，λ2，…，λM］)，并且滿足

其中，大特征值 λ1＞ σ2(q=1，2，…，N)對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成信號(hào)子空間 Us=［e1，e2，…，eN］，小特征值 λq=σ2(q=N+1，N+2，…，M)對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成噪聲子空間 Un=［eN+1，eN+2，…，eM］。

令C=UnUHn，并令第 j子帶對(duì)應(yīng)的矩陣 C為 Cj，由于對(duì)于一個(gè)陣元間距為d的均勻線形陣列，第j個(gè)子頻帶的方向矢量的第m個(gè)元素(m=1，2，…，M)可以表示為

那么第j子帶的空間譜函數(shù)的分母可以寫為

其中，Cjmn是矩陣Cj的第m行n列上的元素。將上式化簡(jiǎn)為

在沒有噪聲的理想情況下，空間譜的極點(diǎn)即式(10)的零點(diǎn)落在單位圓上，位置由波達(dá)方向決定，即z=zp= zpexp［i arg(zp)］處產(chǎn)生窄帶MUSIC譜的一個(gè)波峰，此時(shí)有

式中，θpj是第j個(gè)子帶極值z(mì)p對(duì)應(yīng)的波達(dá)方向的初始角度估計(jì);θj為第j個(gè)子帶的DOA估計(jì)結(jié)果，即

算術(shù)平均意義下的波達(dá)方向角即為

即最終的波達(dá)方向角。

3 Root－ISM的兩種改進(jìn)算法

3.1 加權(quán)Root－ISM(Root－WISM)算法

ISM算法是針對(duì)非相干寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)算法，其采用子帶平均的方法來利用寬帶信息，而寬帶信號(hào)的能量通常分布不均勻，將其分成的若干窄帶往往有著不同的信噪比。Root－ISM算法是利用求根取代了ISM算法的譜峰搜索，所以Root－ISM算法亦不能避免這一問題。低信噪比的子頻帶可能對(duì)寬帶信號(hào)的高分辨DOA估計(jì)產(chǎn)生較大偏差。因而采用這種簡(jiǎn)單的平均不能充分利用信號(hào)的能量，本文提出的一種改進(jìn)算法是按照子帶能量加權(quán)來代替子帶的簡(jiǎn)單平均。新算法既能改善原ISM算法在低信噪比下的估計(jì)性能，又具有Root－MUSIC的降低計(jì)算量的優(yōu)勢(shì)。

Root－ISM算法是對(duì)J個(gè)頻點(diǎn)的DOA估計(jì)結(jié)果以等權(quán)平均的方法進(jìn)行處理，即

加權(quán)Root－ISM算法對(duì)各個(gè)子頻帶的DOA估計(jì)結(jié)果進(jìn)行加權(quán)，對(duì)于能量較大的子頻帶賦予較大的權(quán)重，能量小的子頻帶賦予較小的權(quán)重，即

其中，Wj為第j個(gè)子帶的能量。式(14)的含義是:某子帶上的能量占總能量的比重越大，此子帶上估計(jì)的結(jié)果占最終空間譜估計(jì)的比例也越大，即能量越大的子帶其估計(jì)的可信度越高，能量越小的子帶其估計(jì)的可信度越低。

Root－WISM算法的步驟為:(1)將接收數(shù)據(jù)矩陣在時(shí)域上分為K段，對(duì)每段數(shù)據(jù)做DFT。(2)計(jì)算頻點(diǎn)fj的K個(gè)快拍的總能量Wj。(3)據(jù)式(4)得頻點(diǎn)fj的接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RX(fj)，由式(10)構(gòu)造多項(xiàng)式Dj(z)，得相應(yīng)的θj。(4)將步驟(2)中求得的Wj作為權(quán)值，根據(jù)式(14)得最終的DOA估計(jì)值θ。

3.2 基于最大能量頻點(diǎn)選擇的Root－ISM

由于Root－ISM算法和ISM算法都需要對(duì)各個(gè)頻率點(diǎn)的自相關(guān)矩陣進(jìn)行特征分解，計(jì)算量很大，而且由于寬帶信號(hào)的能量分布不均，所分成的子頻帶往往具有不同的信噪比，低信噪比的頻帶很可能會(huì)對(duì)DOA估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生影響，所以這兩種算法還有估計(jì)精度不高的缺陷。

最大能量頻點(diǎn)選擇算法［8］的基本思想是對(duì)所分成的多個(gè)子頻帶計(jì)算能量，取能量值最大的頻帶和頻點(diǎn)，并由此頻帶數(shù)據(jù)估計(jì)出波達(dá)方向角?；谧畲竽芰款l點(diǎn)選擇的Root－ISM算法的具體步驟:(1)將接收數(shù)據(jù)矩陣在時(shí)域上分為K段，對(duì)每段數(shù)據(jù)做DFT。(2)計(jì)算頻點(diǎn)fj的K個(gè)快拍的總能量Wj，取Wj值最大的子帶j0所對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣RX(fj0)和頻率值fj0作為接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣和信號(hào)頻率。(3)對(duì)RX(fj0)進(jìn)行特征分解，根據(jù)式(10)構(gòu)造相應(yīng)的多項(xiàng)式 Dj0(z)。(4)根據(jù)式(11)和式(12)求出相應(yīng)的角度即作為最終的DOA估計(jì)值。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真條件:3個(gè)非相干寬帶信號(hào)源，中心頻率相同，相對(duì)帶寬為40%，分別以 －20°、0°和20°入射到均勻線形陣列上。陣列參數(shù)為:8個(gè)陣元，陣元間距取為最小波長(zhǎng)的一半。進(jìn)行100次Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)，比較文中各種算法的估計(jì)性能。

4.1 ISM算法與Root－ISM算法性能對(duì)比

圖1為信噪比從－15 dB以步長(zhǎng)3 dB變化到15 dB時(shí)，ISM算法和Root－ISM算法的均方根誤差性能。

圖1 ISM和Root－ISM算法的均方根誤差性能

由圖1可見，Root－ISM算法除了計(jì)算量上有所減少之外，其在信噪比－15～15 dB范圍內(nèi)的估計(jì)精度整體也好于ISM算法。

4.2 Root－ISM與Root－WISM算法性能對(duì)比

圖2為信噪比從－15 dB以步長(zhǎng)3 dB變化到15 dB時(shí)，Root－ISM算法和Root－WISM算法的均方根誤差性能。

圖2 Root－ISM和Root－WISM算法的均方根誤差性能

由圖2可見，在較低信噪比下，Root－WISM比Root－ISM有更低的均方根誤差;而高信噪比下，兩者的均方根誤差性能相當(dāng)，即Root－WISM在低信噪比下的性能明顯優(yōu)于Root－ISM。

4.3 Root－ISM與f－Root－ISM算法性能對(duì)比

圖3為信噪比從－15 dB以步長(zhǎng)3 dB變化到15 dB時(shí)，Root－ISM 算法和 f－Root－ISM 算法(即基于最大能量頻點(diǎn)選擇的Root－ISM算法)的均方根誤差性能。

圖3 Root－ISM和f－Root－ISM算法的均方根誤差性能

可見，f－Root－ISM算法的性能在高信噪比時(shí)要好于Root－ISM算法，較低的信噪比下(＜－12 dB)，Root－ISM算法的性能好于f－Root－ISM算法。因而在高信噪比下，f－Root－ISM能有效改善DOA估計(jì)性能。

5 結(jié)束語

本文將Root－MUSIC算法運(yùn)用于ISM算法中，有效提高了DOA估計(jì)的精度，仿真表明Root－ISM算法整體優(yōu)于ISM算法。在Root－ISM算法的基礎(chǔ)上，又提出了兩種改進(jìn)算法，即Root－WISM算法和f－Root－ISM算法，兩種算法各有優(yōu)勢(shì)，仿真表明Root－WISM算法在低信噪比下的估計(jì)性能優(yōu)于Root－ISM算法，而f－Root－ISM算法在高信噪比下的估計(jì)性能要優(yōu)于Root－ISM算法。

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