王海英，李桂蓮（太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，太原030024）

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＊具有耗散和阻尼項的Kirchhoff型方程吸引子的存在性

王海英，李桂蓮
（太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，太原030024）

摘 要：對具有耗散和阻尼項的Kirchhoff型方程，在滿足一定的初邊值的條件下，首先運用Gronwall引理，并結(jié)合Sobolev嵌入定理，證明出該方程有界吸收集的存在性；其次通過驗證半群滿足緊性，證明出該方程吸引子在廣義空間中的存在性。

關(guān)鍵詞：Kirchhoff型方程；Gronwall引理；條件（C）；吸引子

Masamro［1］提出具有耗散和阻尼項的Kirchhoff型方程，并運用Faedo－Galerkin方法證明了該方程在滿足邊界條件（2）和初始條件（3）情況下整體解的存在性，但是對于該方程吸引子的存在性一直沒被研究。本文中將利用文獻［3］中提出的一種新的驗證半群緊性的方法———條件（C）來研究該方程吸引子的存在性。

假設(shè)Ω是R2中具有光滑邊界Ω的有界開區(qū)域，本文研究下面Kirchhoff型方程

在邊界條件為

初始條件為

的吸引子的存在性。

式中：δ，α，γ均為正常數(shù)；f（x）∈L2（Ω）；u0（x），u1（x）∈L2（Ω），均為給定的初值函數(shù)。非線性函數(shù)M（s）滿足下面的條件

令，H＝L2（Ω），V＝H10（Ω），H和V的內(nèi)積和范數(shù)分別用（·，·），｜·｜和（（·，·）），‖·‖表示，它們的內(nèi)積分別定義為為方便描述，記空間E0＝V×H．

（A－12）＝V＊．

根據(jù)Poincaré不等式，有）

式中，λ是A

1

2在空間H10（Ω）中的第一特征值。

1　預(yù)備知識

為了證明問題（1）－（3）式吸引子的存在性，需要下面的抽象理論。

定義1［3］Banach空間X中的C0半群｛S （t）｝t≥0滿足條件（C），如果對ε＞0和X中的任意有界集B，存在t（B）＞0和X的有限維子空間X1，

通訊聯(lián)系人：李桂蓮，女，教授，（E－mail）liguilian＠tyut．edu，cn使得｛‖PS（t）x‖X∶x∈B，t≥t（B）｝有界，并且當t≥t（B），x∈B時有‖（I－P）S（t）x‖X＜ε．這里P∶X→X1是有界投影。

引理1［3］設(shè)｛S（t）｝t≥0是Hilbert空間M上的C0半群，那么｛S（t）｝t≥0存在吸引子Λ，當且僅當

1）｛S（t）｝t≥0滿足條件（C）；

2）｛S（t）｝t≥0在M中存在有界吸收集。

引理2［1］假設(shè)δ，α，γ＞0，非線性函數(shù)M（s）滿足條件（4），則對任意給定的f∈H，u0，u1∈H，初值問題（1）～（3）在區(qū)間［0，T］上存在唯一解u，滿足u ∈C［0，T］，）（V，ut∈C［0，T］，）（H．

問題（1）－（3）式解的存在性的證明可參考文獻［1］，利用Faedo－Galerkin方法并結(jié)合本文第2部分即可得到，故省略不證。

2　E0中的有界吸收集

定理1 假設(shè)條件（4）成立，則問題（1）－（3）式在空間E0中存在有界吸收集。其中，以0為中心μ為半徑的球B0＝B0（0，μ）是問題（1）－（3）式的有界吸收集。

證明 用v＝ut＋εu在H中和方程（1）作內(nèi)積，可得

式中：δ（｜uα｜u，v）＝

而且

由式（6）、式（7）、式（8）、式（9）可得

取充分小的ε＞0，使得

則有d

d

t｜v｜2＋m0‖u‖2＋m1

2‖u‖4

（

＋

取ε0＝minγ

2，

｛｝

ε，又因α＞0，即得d

d

t｜v｜2＋m0‖u‖2＋m1

2‖u‖4

（

＋

從而dF（t）＋εF（t）≤C， C＝2｜f｜2

．

dt0γ

根據(jù)Sobolev嵌入定理，當‖u（0）‖2有界時，F(xiàn)（0）有界，由式（10）得limF（t）≤ρ2，式中，ρ2＝εC．固定

t→∞0

μ＞ρ，并假設(shè)F（0）≤R，則當t≥t0＝t0（R，ρ）＝

ε10

lgμ2R

－ρ2時，有｜v｜2＋m0‖u‖2≤F（t）≤μ2．

這樣，得到了E0中的以0為中心μ為半徑的球B0＝B0（0，μ）是問題（1）～（3）中的有界吸收集，即對E0中的任意有界集B，存在t0（B），使得當t≥t0（B）時，有｛S（t）｝BB0．

3　吸引子的存在性

定理2 假設(shè)條件（4）成立，則問題（1）～（3）存在吸引子Λ，以E0的范數(shù)吸引E0中的任意有界集。

證明 由引理1及定理1只要證明半群｛S （t）｝t≥0滿足條件（C）即可．設(shè)λ1，λ2，…，為A的特征值，ω1，ω2，…，為其對應(yīng)的特征向量，當j→∞時，λ1＜λ2≤λ3≤，…，λj→∞，并且｛ωk｝∞k＝1構(gòu)成V的直交基，記Vm＝span｛ω1，ω2，…，ωm｝．對ε＞0，存在m使得

｜（I－Pm）f｜≤ε．（11）

式中，Pm：V→Vm是直交投影。

u1＋

u2．用v2＝u2t＋σu2在H中和方程（1）作內(nèi)積可得類似式（6）估計有

結(jié)合式（4）、式（10）

類似式（8）

和

結(jié)合式（12）、式（13）、式（14）、式（15）可得

取充分小的σ＞0，使得

則有d d t｜v2｜2＋m0‖u2‖2

［

＋

取σ0＝minγ

2，

｛｝

σ，又因α＞0，結(jié)合式（11），即得

記E（t）＝｜v2｜2＋m0‖u2‖2＋

從而

利用Gronwall引理得到

取t2充分大滿足t2－t1≥1

σ

0 lnμ2

ε2，則當t≥t2時，

即半群｛S（t）｝t≥0在E0中滿足條件（C），定理2得證。

參考文獻：

［1］ Masamro H，Yoshio Y．On some nonlinear wave equations 2：global existence and energy decay of solutions［J］．Fac Sci Univ Tokyo Sect，1991，38：239－250．

［2］ 李慶霞，譚忠．具有耗散和阻尼項的kirchhoff型方程的整體解存在性［J］．廈門大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2002，41（4）：419－422．

［3］ Ma Q F，Wang S H，Zhong C K．Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractors for semigroup and applications［J］．Indiana University Math，2002，51（6）：1541－1559．

［4］ MA Qiaozhen，ZHONG Chengkui．Existence of strong global attractors for the hyperbolic equation with linear memory［J］．Applied Mathematics and Computation，2004，157（3）：745－758．

［5］ 馬巧珍，孫春友，鐘成奎．非線性梁方程強一致吸引子的存在性［J］．數(shù)學(xué)物理學(xué)報：A輯，2007，27（5）：941－948．

［6］ 陳小豹，馬巧珍．非線性可拉伸梁方程強一致吸引子的存在性［J］．西北師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，44（6）：1－6．

［7］ 李志宇，馬巧珍．非線性可拉伸梁方程的一致吸引子［J］．西南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，37（4）：34－37．

（編輯：劉笑達）

Existence of Attractors for a Kirchhoff Type Equation with Damping and Restoring Terms

WANG Haiying，LI Guilian
（College of Mathematics，Taiyuan University of Technology，Taiyuan030024，China）

Abstract：Kirchhoff type equation with damping and restoring terms was studied when it satisfies certain boundary and initial conditions．Firstly，Gronwall lemma and Sobolev Embedding Theorem，were combined to establish the existence of a bounded absorbing set．Secondly，the existence of attractors in general space was proved by verifying that semi－group satisfies compaction．

Key words：Kirchhoff type equation；Gronwall lemma；condition（C）；attractor

作者簡介：王海英（1988－），女，河北邯鄲人，碩士生，主要從事偏微分方程研究，（E－mail）why415＠163．com，（Tel）18334705139

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目：非線性腫瘤免疫系統(tǒng)的隨機動力學(xué)研究（11172194）

收稿日期：＊2014－10－27

DOI：10．16355／j．cnki．issn1007－9432tyut．2015．03．022

文獻標識碼：A

中圖分類號：O175．2

文章編號：1007－9432（2015）03－0357－04