李新鵬，德娜·吐熱汗，騰　葉，吳黎軍

(1.新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，新疆 烏魯木齊，830052；

2.石河子大學(xué) 理學(xué)院，新疆 石河子，832000；

3.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊，830046)

?

LINEX損失函數(shù)下具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的信度模型

李新鵬1，德娜·吐熱汗1，騰葉2，吳黎軍3

(1.新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，新疆 烏魯木齊，830052；

2.石河子大學(xué) 理學(xué)院，新疆 石河子，832000；

3.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊，830046)

摘要：在經(jīng)典信度理論中,運(yùn)用平方損失函數(shù)來估計(jì)保費(fèi)會(huì)導(dǎo)致很高的懲罰額,影響保險(xiǎn)市場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)力;另一方面,經(jīng)典信度理論假設(shè)一個(gè)保單組合的每個(gè)保單索賠額間互相獨(dú)立；但在實(shí)際應(yīng)用中,各個(gè)保單索賠額間卻是風(fēng)險(xiǎn)相依的.采用LINEX損失函數(shù)，將溫利民等人在2012年提出的一個(gè)保單各年索賠額間具有時(shí)間變化效應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)推廣到一個(gè)保單組合的各個(gè)保單索賠額間,并且給出了LINEX 損失函數(shù)下具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的Bühlmann模型的信度保費(fèi)和LINEX損失函數(shù)下Bühlmann模型的信度保費(fèi).

關(guān)鍵詞：信度模型；LINEX損失函數(shù)；風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)

在保險(xiǎn)精算中,信度理論是最重要的保費(fèi)厘定技術(shù),現(xiàn)代信度理論起源于Bühlmann,在他的文章中得到任意分布下的凈保費(fèi)信度估計(jì).信度理論是利用往年索賠記錄來預(yù)測(cè)下一年索賠情況的一種定量方法,得到的保費(fèi)為樣本均值和聚合保費(fèi)的加權(quán)和[1].

經(jīng)典信度理論中,總是用平方損失函數(shù)來估計(jì)保費(fèi),但使用平方損失函數(shù)會(huì)導(dǎo)致很高的懲罰額,尤其不利于小額風(fēng)險(xiǎn)事故的投保人,這勢(shì)必會(huì)影響保險(xiǎn)市場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)力.針對(duì)這一問題,20世紀(jì)70年代許多學(xué)者注意到過高估計(jì)或過低估計(jì)引起的損失并不相同,于是引入了非對(duì)稱損失函數(shù).在某些情況下,使用平方損失函數(shù)所估計(jì)的保費(fèi)不準(zhǔn)確,這一點(diǎn)在許多文章中都給出了實(shí)例,如Berger[2],Varian[3].

Varian于1975年提出了一個(gè)非對(duì)稱損失函數(shù),被稱為LINEX損失函數(shù)(線性指數(shù)損失函數(shù)),如下:

(1)

經(jīng)典信度理論中假定在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)給定下,一個(gè)保單組合的每個(gè)保單索賠額之間獨(dú)立同分布,然而在實(shí)際應(yīng)用中,考慮各個(gè)保單間風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的信度模型與實(shí)際更符合.不同保單的索賠額間具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu),不同風(fēng)險(xiǎn)間具有相關(guān)結(jié)構(gòu),如同一次交通事故可以導(dǎo)致多次索賠,地域臨近的房屋面臨共同的火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)等.溫利民等[7]在2012年運(yùn)用平方損失函數(shù)研究了一個(gè)保單各年索賠額間具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度模型,得到相應(yīng)的信度保費(fèi),Yeo和Valdez[8]在2006年提出了具有共同效應(yīng)的信度模型,并在索賠額服從正態(tài)分布條件下推出了信度保費(fèi),溫利民等[9]在2009年研究了各個(gè)保單索賠額間具有共同效應(yīng)的信度模型,得到了信度保費(fèi),黃維忠等[10]在2012年給出了平衡損失函數(shù)下各個(gè)保單索賠額間具有共同效應(yīng)的信度保費(fèi)[10].

本文既考慮了風(fēng)險(xiǎn)間的相關(guān)性,又考慮了保費(fèi)制定的公平性、合理性.因此,采用LINEX損失函數(shù),將2012年溫利民等人提出的一個(gè)保單各年索賠額間具有時(shí)間變化效應(yīng)這一風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)推廣到一個(gè)保單組合的各個(gè)保單索賠額間,研究了在這種風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)下的信度模型,得到了相應(yīng)的信度保費(fèi).

1　模型預(yù)備知識(shí)

在經(jīng)典信度理論中,假設(shè)K個(gè)保單構(gòu)成一個(gè)保單組合,每個(gè)保單的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)為Θ,在Θ給定下,每個(gè)保單之間獨(dú)立同分布,對(duì)于第i個(gè)保單,它的過去n年索賠額為Xi1,...,Xin,但與經(jīng)典信度理論不同的是,本文假設(shè)每個(gè)保單有各自的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù),這些風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)為Θ1,...,ΘK,且這些風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)具有某種相依結(jié)構(gòu),假設(shè)如下:

假設(shè)2保單i的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θi的分布函數(shù)為πi(θ),且E[μ(θi)]=μ,E[v(θi)]=vi,

(2)

引理1在由式(1)給出的LINEX損失函數(shù)下,第i個(gè)保單的基于樣本X的下一年保費(fèi)的最優(yōu)估計(jì)為：

(3)

引理2在假設(shè)1和假設(shè)2下,有以下結(jié)果:

(ⅰ)Yij的均值為：E(Yij)=μ,i=1,···,K,j=1,···,n+1

(ⅱ) Yi,n+1與Y的協(xié)方差為：Cov(Yi,n+1,Y)=τi(τ1,…，τk)?1n′，其中1n為每個(gè)元素均為1的n×1列向量,?為矩陣的Kronecker積.

(ⅲ)Y的協(xié)方差矩陣為：Cov(Y,Y)=diag(viMi,i=1,2,…，K)+[(τ1，…，τkj?1n][(τ1，…，τk]?1n′]

其中:

為對(duì)角矩陣.

證明(ⅰ)根據(jù)條件期望公式,得證.

(ⅱ) 對(duì)保單i和s,索賠時(shí)間t,i,s=1,...,K,t=1,...,n,由假設(shè)1和假設(shè)2可得:

所以，

(ⅲ) 對(duì)保單i和s,索賠時(shí)間j,t,i,s=1，…，K,j,t=1,…,n,由假設(shè)1和假設(shè)2以及條件期望公式可得:

(ⅳ) 由矩陣求逆公式(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1可得[11]:

2　LINEX損失函數(shù)下Bühlmann-Straub模型的保費(fèi)估計(jì)

由引理1知,要估計(jì)LINEX損失函數(shù)下的信度模型的保費(fèi),需先估計(jì)E(e-αXi,n+1|X),為此令f(X)=E(e-αXi,n+1|X),我們也將估計(jì)限定在Yij,i=1,...,K,j=1,...,n的線性組合中, 則f(X)為下述問題的最優(yōu)解:

(4)

定理1在假設(shè)1和假設(shè)2下,求解最優(yōu)化問題(4),得到f(X)的最優(yōu)估計(jì)為

則第i個(gè)保單在LINEX損失函數(shù)下具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的Bühlmann-straub模型保費(fèi)估計(jì)為

證明最優(yōu)化問題(4)等價(jià)于

MinA,BE[f(X)-A-BY]′[f(X)-A-BY]

(5)

由引理1知，第i個(gè)保單在LINEX損失函數(shù)下具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的信度保費(fèi)估計(jì)為

注記3由于結(jié)構(gòu)參數(shù)(τi,vi)較多，假設(shè)τi=τ,vi=v,i=1,2，…，則結(jié)構(gòu)參數(shù)μ的無偏估計(jì)為：

3　結(jié)束語

本文研究了LINEX損失函數(shù)下具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的Bühlmann-Straub信度模型,得到了相應(yīng)的信度保費(fèi),推廣了Bühlmann和Bühlmann-Straub模型,并且運(yùn)用所得的結(jié)論給出了LINEX 損失函數(shù)下具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的Bühlmann模型的信度保費(fèi)和LINEX損失函數(shù)下Bühlmann模型的信度保費(fèi),也給出了基本結(jié)構(gòu)參數(shù)μ,τ2,v,的無偏估計(jì).

參考文獻(xiàn)：

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[3] Varian H R. A Bayesian approach to real estimate assessment[C]// Studies in Bayesian Econometrics and Statistics in Honor of Leonard J Savage. Amsterdam，1975:195-208.

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[9] Wen L M, Wu X Y, Zhou X. The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 44: 19-25.

[10] Huang W Z, Wu X Y. The credibility premiums with common effects obtained under balanced loss functions[J]. Chinese Journal of Applied Probability and Statistics, 2012, 28(2):203-216.

[11] Rao R, Toutenburg H. Linear Models[M]. New York: Springer, 1995.

(編輯：姚佳良)

Credibility models with risks dependence structure under LINEX loss function

LI Xin-peng1， TUREHAN Dena1， TENG Ye2， WU Li-jun3

(1.College of Mathematics and Physics, Xinjiang Agriculture University, Urumqi 830052, China;

2. College of Sciences, Shihezi University， Shihezi 832000, China;

3．College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi 830046, China)

Abstract:In classical credibility theory, the actuary uses squared-error loss function to estimate premium, but it can lead to very high penalties which affects the competitive strength of insurance market. On the other hand, classical credibility theory assumes that the claim amounts of every insurance policy in a portfolio are independent, however, the claim amounts of every insurance policy are risks dependent. Wen et al.(2012)studied the credibility model with time changeable effects among the claim amounts of one insurance policy and obtained credibility premium, this risks dependence structure was generalized to the claim amounts of every insurance policy. The Bühlmann-Straub model was considered with risks dependence structure among every insurance policy under LINEX loss function and the credibility premium formula which generalized the classical credibility model is obtained.

Key words:credibility models; LINEX loss function; risks dependence structure

中圖分類號(hào)：O211.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-6197(2015)04-0011-05

作者簡(jiǎn)介：李新鵬,男, news20060801015@126.com

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11361058)

收稿日期：2014-10-03