張俊鋒，馬昌喜，吳 芳，蒲 菡，賈富強(qiáng)

（蘭州交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

復(fù)雜城市交通網(wǎng)絡(luò)擁堵傳播的改進(jìn)SIS模型

張俊鋒，馬昌喜，吳 芳，蒲 菡，賈富強(qiáng)

（蘭州交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

為深入分析城市交通網(wǎng)絡(luò)擁堵動(dòng)態(tài)演進(jìn)過程，建立了交通擁堵傳播的改進(jìn)SIS模型（傳染病模型）。模型根據(jù)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)自身受隨機(jī)因素的影響、其鄰居節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)和影響能力以及不同狀態(tài)節(jié)點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度，動(dòng)態(tài)計(jì)算目標(biāo)節(jié)點(diǎn)由暢通變?yōu)閾矶掠只謴?fù)暢通的概率，并進(jìn)一步考慮了不同交通狀態(tài)的傳播時(shí)間對(duì)擁堵傳播的影響?；贐A(Barabási-Albert)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)傳播過程進(jìn)行仿真，擁堵隨時(shí)間的演化與相關(guān)研究一致，驗(yàn)證了模型的有效性。仿真結(jié)果表明：根據(jù)作用節(jié)點(diǎn)屬性的不同，隨機(jī)因素對(duì)擁堵的初始規(guī)模、傳播速度及傳播穩(wěn)定狀態(tài)的阻塞水平具有不同的影響能力；不同狀態(tài)節(jié)點(diǎn)間的相互作用對(duì)擁堵傳播具有重要作用；暢通狀態(tài)與擁堵狀態(tài)平均傳播時(shí)間的比值對(duì)擁堵傳播的影響存在閾值；不同狀態(tài)傳播時(shí)間的波動(dòng)性對(duì)擁堵傳播速度、平衡態(tài)阻塞水平具有一定影響。

BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)；交通擁堵傳播；改進(jìn)SIS模型；復(fù)雜城市交通網(wǎng)絡(luò)；仿真分析

0 引言

隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市化進(jìn)程的加快，交通擁堵問題日益凸顯，嚴(yán)重影響著城市交通系統(tǒng)的運(yùn)行效率，給城市發(fā)展和人們的生活帶來了諸多不便。城市交通系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜巨系統(tǒng)，研究過程中發(fā)現(xiàn)僅僅對(duì)某些局部數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對(duì)于緩解交通擁堵、提高交通網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行效率是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的[1]，而迅速發(fā)展起來的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，為研究交通系統(tǒng)的復(fù)雜性提供了一個(gè)新的視角。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論在交通系統(tǒng)中的運(yùn)用已展開了部分研究。Moreno Y.等對(duì)BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中由點(diǎn)和邊的擁堵所引起的網(wǎng)絡(luò)相繼故障進(jìn)行了研究[2]。Arrowsmith D.等指出隨著網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)從隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)至無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)變，網(wǎng)絡(luò)的表現(xiàn)力逐步惡化，負(fù)荷趨于局部化[3]。吳建軍等根據(jù)車輛路徑選擇行為研究了不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和交通量產(chǎn)生率對(duì)擁堵傳播的影響[4]，并基于點(diǎn)能力動(dòng)態(tài)更新的模型研究了城市交通網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效過程[5]。孫會(huì)君等研究了具有群落結(jié)構(gòu)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的交通動(dòng)力學(xué)[6]。Zheng J.F.等研究了勻、異質(zhì)交通需求和勻、異質(zhì)能力分配下復(fù)雜交通網(wǎng)絡(luò)的擁堵和效率[7]。Qian Y.S.等在考慮道路交通狀態(tài)的基礎(chǔ)上對(duì)復(fù)雜城市交通網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效進(jìn)行了研究[8]。李樹彬等運(yùn)用改進(jìn)的中觀交通流模型分析了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的交通傳播動(dòng)力學(xué)特征和傳播規(guī)律[9]。王正武等通過構(gòu)建城市道路交通網(wǎng)絡(luò)災(zāi)害蔓延動(dòng)力學(xué)模型，分析了城市道路交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)失效與節(jié)點(diǎn)連接強(qiáng)度、節(jié)點(diǎn)度及自修復(fù)因子的相關(guān)性[10]。楊泳等結(jié)合基本圖法和三相交通流理論，構(gòu)建了考慮遲滯現(xiàn)象的MCTM模型，對(duì)突發(fā)事件下快速路通行能力下降導(dǎo)致交通擁堵的形成及消散過程進(jìn)行了研究[11]。劉新全基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理，融合駕駛者出行先驗(yàn)及出行信息，研究了道路網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的演變機(jī)理及演變過程[12]。

綜合來看，現(xiàn)有研究大多集中在對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、網(wǎng)絡(luò)流量負(fù)荷與交通擁堵之間的關(guān)系進(jìn)行分析，而對(duì)擁堵傳播過程研究較少。為了更好地進(jìn)行交通擁堵的管理與控制，有必要對(duì)擁堵傳播的影響因素及其作用規(guī)律進(jìn)行研究。高自友等指出在實(shí)際的交通出行中，阻塞在交通網(wǎng)絡(luò)中向相鄰的路段和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行傳播，類似于病毒在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的傳播[13]?；谶@樣的思想，本文根據(jù)交通流傳播的特點(diǎn)，建立了一種交通擁堵傳播的改進(jìn)SIS模型。基于BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)模型進(jìn)行仿真，實(shí)驗(yàn)過程中擁堵隨時(shí)間的演化與相關(guān)研究一致。同時(shí)本文還進(jìn)一步比較分析了相關(guān)影響因素的作用規(guī)律，可為交通擁堵控制策略的制定提供一定的理論參考。

1 問題描述與建模

1.1 城市交通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

城市交通網(wǎng)絡(luò)由交叉口和連接它們的街道組成，其中交叉口或小區(qū)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)，街道對(duì)應(yīng)邊[1]。定義交通網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為G=(V,E)的無向網(wǎng)絡(luò)，其中V是節(jié)點(diǎn)的集合，E是邊的集合。G可以用一個(gè)N×N的鄰接矩陣(aij)N×N表示，N為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)，節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn) j之間存在連接關(guān)系，則aij=1，否則aij=0。節(jié)點(diǎn)i的度ki定義為與節(jié)點(diǎn)i連接的其他節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。

1.2 模型分析

SIS模型中，節(jié)點(diǎn)被劃分為兩類：易感節(jié)點(diǎn)（對(duì)應(yīng)暢通節(jié)點(diǎn)）和染病節(jié)點(diǎn)（對(duì)應(yīng)擁堵節(jié)點(diǎn)）。染病節(jié)點(diǎn)作為傳染源，以概率λ把傳染病傳給易感節(jié)點(diǎn)，而染病節(jié)點(diǎn)本身也會(huì)以一定的概率 μ被治愈。易感節(jié)點(diǎn)一旦被感染，就變成新的感染源[14]。由于交通系統(tǒng)自身的復(fù)雜特性，交通擁堵的傳播具有與SIS模型中傳染病傳播不同的特點(diǎn)：

（1）交通網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)并不是固定不變的，而是在暢通與擁堵兩種狀態(tài)之間來回變化。由于交通環(huán)境的不確定性[15]，即使沒有擁堵節(jié)點(diǎn)的“感染”，暢通節(jié)點(diǎn)本身也可能自發(fā)地變得擁堵，成為傳染源。而且由于所處交通狀態(tài)不同，這種不確定的隨機(jī)因素對(duì)擁堵節(jié)點(diǎn)和暢通節(jié)點(diǎn)的作用效果并不相同。

（2）并非只存在擁堵向暢通的單向傳播，處于不同狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)之間存在相互影響：擁堵節(jié)點(diǎn)會(huì)引起周圍節(jié)點(diǎn)交通負(fù)荷的增加從而可能引發(fā)周圍原本暢通的節(jié)點(diǎn)變得擁堵；而由于周圍暢通的節(jié)點(diǎn)對(duì)擁堵節(jié)點(diǎn)交通流的吸引作用，經(jīng)過一段時(shí)間，擁堵節(jié)點(diǎn)也有可能變得暢通。同時(shí)，由于不同狀態(tài)節(jié)點(diǎn)間交通流的耦合程度不同，它們相互影響的能力也不同。

（3）與SIS模型“接觸感染”的方式不同，交通擁堵的傳播需經(jīng)過一定的時(shí)間。

1.3 模型建立

節(jié)點(diǎn)的度表示其直接連接節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，反映了其在交通網(wǎng)絡(luò)中傳遞交通流的能力，可以描述其對(duì)相鄰節(jié)點(diǎn)的直接影響能力[16]。定義t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)i由暢通狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閾矶聽顟B(tài)的概率為。

其中：

式（1）中，等號(hào)右邊第一項(xiàng)表示鄰居節(jié)點(diǎn)中擁堵節(jié)點(diǎn)對(duì)i的影響。α為暢通節(jié)點(diǎn)對(duì)擁堵節(jié)點(diǎn)的耦合強(qiáng)度，反映了擁堵節(jié)點(diǎn)對(duì)暢通節(jié)點(diǎn)的影響能力，與系統(tǒng)交通流狀態(tài)和相關(guān)交通管理與控制的措施有關(guān)，α∈(0,1)。等號(hào)右邊第二項(xiàng)表示t時(shí)刻隨機(jī)因素在節(jié)點(diǎn)i暢通狀態(tài)下對(duì)其的影響概率。例如，由于車流離散，交通流量短時(shí)間內(nèi)的突然增大、非機(jī)動(dòng)車和行人流的干擾、突發(fā)的交通事故、交通設(shè)施的偶發(fā)故障等，都可能使原本暢通的節(jié)點(diǎn)變得擁堵；而交通流量間歇地減小、交通秩序的恢復(fù)等有利于節(jié)點(diǎn)保持暢通。根據(jù)文獻(xiàn)[17]，路網(wǎng)內(nèi)交通總量一定時(shí)，城市道路交通網(wǎng)絡(luò)中所有道路發(fā)生擁堵的概率滿足高斯分布，設(shè)。

其中：

式（2）中，等號(hào)右邊第一項(xiàng)表示鄰居節(jié)點(diǎn)中暢通節(jié)點(diǎn)對(duì)i的影響。β是擁堵節(jié)點(diǎn)對(duì)暢通節(jié)點(diǎn)的耦合強(qiáng)度，反映了暢通節(jié)點(diǎn)對(duì)擁堵節(jié)點(diǎn)的影響能力，與α類似，β∈(0,1)。等號(hào)右邊第二項(xiàng)表示t時(shí)刻隨機(jī)因素在節(jié)點(diǎn)i擁堵狀態(tài)下對(duì)其的影響概率。與類似，設(shè)。由于和對(duì)應(yīng)于不同的交通狀態(tài)，因此它們是相互獨(dú)立的。

節(jié)點(diǎn)狀態(tài)發(fā)生變化后，會(huì)將這種狀態(tài)向相連節(jié)點(diǎn)傳播，記節(jié)點(diǎn)i至節(jié)點(diǎn) j擁堵的傳播時(shí)間為tcij，擁堵消散的傳播時(shí)間為。此處以正態(tài)分布對(duì)它們進(jìn)行研究。

節(jié)點(diǎn)i變?yōu)閾矶聽顟B(tài)，其影響傳播至節(jié)點(diǎn) j并對(duì)其發(fā)生作用的時(shí)刻記作；節(jié)點(diǎn)i變?yōu)闀惩顟B(tài)，其影響傳播至節(jié)點(diǎn) j并對(duì)其發(fā)生作用的時(shí)刻記作。

2 交通擁堵的衡量指標(biāo)及仿真步驟

定義阻塞系數(shù)J來衡量網(wǎng)絡(luò)交通性質(zhì)，在t時(shí)刻：

J體現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)整體的阻塞水平，其大小反映了交通擁堵的整體規(guī)模，其增長(zhǎng)的快慢反映了交通擁堵蔓延的速度。

模型的仿真步驟為：

3 仿真結(jié)果分析

以BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)作為復(fù)雜城市交通網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型[5]，利用Matlab R2010b連續(xù)仿真200步，文中結(jié)果為獨(dú)立實(shí)驗(yàn)30次后的平均結(jié)果。仿真結(jié)果顯示交通擁堵隨時(shí)間的發(fā)展總體呈S型曲線，與文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]中失效節(jié)點(diǎn)（對(duì)應(yīng)擁堵節(jié)點(diǎn)）隨時(shí)間變化的規(guī)律一致。對(duì)相關(guān)參數(shù)不同取值進(jìn)行研究，仿真結(jié)果符合實(shí)際傳播中的現(xiàn)象。

圖1 不同σc與σx下阻塞系數(shù)J隨時(shí)間變化趨勢(shì)

3.2 α與β的影響

其他參數(shù)相同的情況下，對(duì)擁堵節(jié)點(diǎn)和暢通節(jié)點(diǎn)之間的耦合強(qiáng)度α和 β的不同取值進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同α與β下阻塞系數(shù)J隨時(shí)間變化趨勢(shì)

從圖2可看出，α和β的取值對(duì)交通擁堵傳播的速度和網(wǎng)絡(luò)平衡狀態(tài)的阻塞水平有很大的影響。

圖2（a）顯示，當(dāng)α=0,β=0（此時(shí)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)完全受隨機(jī)因素影響，與鄰居節(jié)點(diǎn)無關(guān)）時(shí)，隨時(shí)間的推進(jìn)，阻塞系數(shù)緩慢增加。而當(dāng)α≠0, β≠0（圖中均取值0.5）時(shí)，傳播初期由于暢通節(jié)點(diǎn)的作用抑制了阻塞的發(fā)展，而隨著擁堵的傳播，擁堵節(jié)點(diǎn)的作用增強(qiáng)，導(dǎo)致?lián)矶驴焖贁U(kuò)大，超過了單純由隨機(jī)因素引起的擁堵發(fā)展速度，經(jīng)過一段時(shí)間后系統(tǒng)最終達(dá)到平衡。這說明節(jié)點(diǎn)間的相互作用對(duì)擁堵的傳播起著重要作用，與3.1節(jié)的分析一致。

圖2（b）顯示，當(dāng)α與β同時(shí)增大時(shí)，擁堵傳播速度和網(wǎng)絡(luò)平衡態(tài)阻塞水平都會(huì)增大；當(dāng)α保持不變，隨著β的增大，擁堵傳播的速度和其最終平衡狀態(tài)的阻塞水平都會(huì)降低；而當(dāng)β＞α且二者差距一定時(shí)，α越小，擁堵傳播的速度和其最終平衡狀態(tài)的阻塞水平減小得越明顯。

圖3 不同與下阻塞系數(shù)J隨時(shí)間變化趨勢(shì)

在其他參數(shù)相同的情況下，對(duì)擁堵態(tài)和暢通態(tài)傳播時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差的不同取值進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同與下阻塞系數(shù)J隨時(shí)間變化趨勢(shì)

4 結(jié)論

本文根據(jù)交通擁堵傳播的特點(diǎn)構(gòu)建了交通擁堵傳播的改進(jìn)SIS模型。通過仿真，驗(yàn)證了模型有效性，并進(jìn)一步研究了不同影響因素的作用規(guī)律，結(jié)果表明：

（2）節(jié)點(diǎn)間的相互作用對(duì)擁堵的傳播起著重要作用，減小擁堵節(jié)點(diǎn)對(duì)暢通節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)的干擾能力α、增大暢通節(jié)點(diǎn)對(duì)擁堵節(jié)點(diǎn)的影響能力β可以有效抑制擁堵傳播。

（3）隨著暢通狀態(tài)與擁堵狀態(tài)平均傳播時(shí)間比值γ的減小，擁堵的傳播速度和平衡態(tài)阻塞水平迅速下降，但γ的影響存在閾值：當(dāng)γ達(dá)到一定程度后，繼續(xù)縮小γ，對(duì)阻塞的改善效果并不顯著。

（4）擁堵傳播時(shí)間波動(dòng)性的增大會(huì)引起擁堵傳播速度的明顯增加，但其對(duì)平衡態(tài)阻塞水平影響不大；暢通傳播時(shí)間波動(dòng)性的增大會(huì)引起擁堵傳播速度的小幅增長(zhǎng)，但它同時(shí)也會(huì)減小平衡態(tài)的阻塞水平。

現(xiàn)階段本文研究只是指出了相關(guān)參數(shù)的含義，對(duì)它們的作用規(guī)律進(jìn)行了對(duì)比分析，下一步將結(jié)合更多實(shí)際數(shù)據(jù)，對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行定量描述，對(duì)擁堵控制策略進(jìn)行研究。

[1] 吳建軍.城市交通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜性研究[D].北京：北京交通大學(xué)，2008.

[2] MORENO Y,GóMEZ J B,PACHECO A F.Instability of Scale-free Networks under Node-breaking Avalanches[J]. Europhysics Letters,2002,58(4):630.

[3] ARROWSMITH D,BERNARDO M D,SORRENTINO F. Effects of Variations of Load Distribution on Network Performance[C]//Conference Proceedings of ISCAS 2005.Kobe:ISCAS,2005:3773-3776.

[4] WU J J,SUN H J,GAO Z Y.Dynamic Urban Traffic Flow Behavior on Scale-free Networks[J].Physica A:Statistical Mechanics&Its Applications,2008,387(2/3):653-660.

[5] WU J J,SUN H J,GAO Z Y.Capacity Assignment Model to Defense Cascading Failures[J].International Journal of Modern Physics C,2012,20(7):991-999.

[6] SUN H J,ZHANG H,WU J J.Correlated Scale-free Network with Community:Modeling and Transportation Dynamics[J].Nonlinear Dynamics,2012,69(4):2097-2104.

[7] ZHENG J F,ZHU Z H,DU H M,et al.Congestion and Efficiency in Complex Traffic Networks[J].International Journal of Modern Physics C,2013,24(10):1633-1637.

[8] QIAN Y S,WANG B B,XUE Y,et al.A Simulation of the Cascading Failure of a Complex Network Model by Considering the Characteristics of Road Traffic Conditions[J].Nonlinear Dynamics,2015,80(1/2):413-420.

[9] 李樹彬，吳建軍，高自友，等.基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的交通擁堵與傳播動(dòng)力學(xué)分析[J].物理學(xué)報(bào)，2011，60（5）：140-148.

[10] 王正武，彭爍，黃中祥，等.城市道路交通網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的災(zāi)害蔓延動(dòng)力學(xué)模型[J].安全與環(huán)境學(xué)報(bào)，2014，14（3）：1-4.

[11] 楊泳，戶佐安，嚴(yán)余松.改進(jìn)型CTM模型突發(fā)事件下的擁堵傳播規(guī)律[J].北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，41（7）：1061-1066.

[12]劉新全.基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理的道路網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效仿真[J].交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息，2015，15（2）：210-215.

[13]高自友，吳建軍，毛保華，等.交通運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性及其相關(guān)問題的研究[J].交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息，2005，5（2）：79-84.

[14] 何大韌，劉宗華，汪秉宏.復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[M].北京：高等教育出版社，2009.

[15] 張楊，賈建民，黃慶.城市交通中車輛擇路行為實(shí)證研究[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2007，10（5）：78-85.

[16] 鄧亞娟，楊云峰，馬榮國.基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的公路網(wǎng)結(jié)構(gòu)特征[J].中國公路學(xué)報(bào)，2010，23（1）：98-104.

[17] 賈利民，張尊棟，秦勇.城市道路交通網(wǎng)絡(luò)多模態(tài)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性研究[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

Improved SIS Model of Congestion Propagation of Complex Urban Traffic Network

ZHANG Jun-feng,MA Chang-xi,WU Fang,PU Han,JIA Fu-qiang
(School of Traffic and Transportation,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China)

In order to deeply analyze the dynamic evolution of urban traffic network congestion,an improved SIS model of traffic congestion propagation was established.The probabilities of an unimpeded node changing to congested one and then recovering unimpeded one were dynamically calculated according to the random factors′influence on it,the conditions and influence abilities of its neighbor nodes and the coupling strength of nodes with different conditions.Moreover,the influence of propagation time of different traffic states on the propagation was considered in this model.Simulated based on BA scalefree network,the evolution of congestion over time was concordant with relevant researches,which verified the effectiveness of this model.The simulation results show that the influence of random factors on initial size of congestion,propagation speed and congestion level at steady state is different according to node properties;the interaction between nodes with different states plays an important role in congestion propagation;the influence of ratio between propagation time of unimpeded state and congestion state exists threshold;the volatilities of propagation time under different states have a certain influence on congestion propagation speed and congestion level of equilibrium state.

BA scale-free network;traffic congestion propagation;improved SIS model;complex urban traffic network;simulation analysis

U491.2

A

2095-9931（2015）06-0020-06

10.16503/j.cnki.2095-9931.2015.06.004

2015-09-12

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51408288）

張俊鋒（1991—），男，陜西鳳翔人，碩士研究生，研究方向?yàn)榻煌ㄟ\(yùn)輸規(guī)劃與管理。E-mail：jfzhang050@163.com。