卜玨萍 陶有田

(巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

一類七次系統(tǒng)冪零奇點(diǎn)的中心判定

卜玨萍 陶有田

(巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

研究了一類七次系統(tǒng)三次冪零奇點(diǎn)的中心判定問題。利用Mathematica軟件進(jìn)行計(jì)算并化簡，推導(dǎo)出該七次微分系統(tǒng)原點(diǎn)的前9個(gè)擬Lyapunov常數(shù)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析討論，從而得出原點(diǎn)成為中心的充要條件。

七次系統(tǒng)；冪零奇點(diǎn)；中心；擬Lyapunov常數(shù)

討論一類特殊的七次微分自治系統(tǒng)

的中心判定問題。其中，原點(diǎn)為三次冪零奇點(diǎn)。由文獻(xiàn)[1]，系統(tǒng)(1）的原點(diǎn)為中心或焦點(diǎn)。

由文獻(xiàn)[3]，對(duì)系統(tǒng)(1）可待定形式級(jí)數(shù)M(x，y）=y2+x4+o(r4）與正整數(shù)s使得成立。另由文獻(xiàn)[3]中的遞推公式

在Mathematica上計(jì)算并化簡得

因?yàn)閟是正整數(shù)，故可得系統(tǒng)(1）原點(diǎn)的前兩個(gè)擬Lyapunov常數(shù)

以下取s=1，并在Mathematica軟件上進(jìn)一步計(jì)算可以得到：

定理1 系統(tǒng)(1）在原點(diǎn)的前9個(gè)擬Lyapunov常數(shù)分別為：

由λi=0(i=1，2，…，9）時(shí)，可得

或

故由式(7）與(8），得

定理2 系統(tǒng)(1）的原點(diǎn)前9個(gè)擬Lyapunov常數(shù)全部為零，即：

條件(9）與(10）其中之一成立。

(i）當(dāng)式(9）成立時(shí)，系統(tǒng)(1）可化為

此時(shí)，

因此由對(duì)稱原理，系統(tǒng)(1）的向量場對(duì)稱于x軸，并且原點(diǎn)為中心。

(ii）當(dāng)式(10）成立時(shí)，系統(tǒng)(1）可化為

此時(shí)，

因此由對(duì)稱原理，系統(tǒng)(1）的向量場對(duì)稱于y軸，并且原點(diǎn)為中心。

根據(jù)以上分析得：

定理3 系統(tǒng)(1）的原點(diǎn)成為中心的充要條件是原點(diǎn)的前9個(gè)擬Lyapunov常數(shù)全部為零，即條件(9）與(10）其中之一成立。

[1]Amelikin.B.B.，Lukashivich.H.A.&Sadovski.A.P.Nonlinear Oscillations in Second Systems[M].BGY Lenin∶B.I.Press，1982.

[2]劉一戎，李繼彬.平面向量場的若干經(jīng)典問題[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

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[4]Liu，Y.R.Theory of center-focus in a class of high order singular points and infinity[J].Sci.in China，2001，（1）∶37-48.

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[7]卜玨萍.一類七次系統(tǒng)三次冪零奇點(diǎn)的中心判定[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，（6）∶33-35.

ON THE CRITERION OF THE CENTER FOR NILPOTENT SINGULAR POINTS IN A CLASS OF SEVEN-ORDER SYSTEM

BU Jue-ping TAO You-tian
（School of Applied Mathematics，Chaohu College，Chaohu Anhui 238000）

The criterion of the center for three-order nilpotent singular points in a class of seven-order system is studied in this paper.The software，Mathematica，is used to calculate and simplify to derive the first nine quasi-Lyapunov constants of the origin of this differential system.Based on this，we have further discussion and analysis to obtain the necessary and sufficient conditions which make the origin center.

seven-order system；Nilpotent singular point；center；quasi-Lyapunov constant

O175

A

1672-2868（2015）06-0007-03

責(zé)任編輯：陳 侃

2015-10-17

巢湖學(xué)院院級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：XLY-201401）；巢湖學(xué)院院級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：XLY-201502）；安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：gxyqZD2016285）

卜玨萍(1985-），女，安徽巢湖人。巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，講師。研究方向：微分方程定性理論與分支問題。