王鵬　張季謙　丁中俊

摘 要：本文以測定金屬鋁的電阻率實驗為例，對實測數(shù)據(jù)進行線性變換處理，運用Origin8.0軟件建立數(shù)學模型和相關系數(shù)檢驗， 采用最小二乘法計算金屬鋁的電阻率。計算結(jié)果表明，利用最小二乘法計算金屬鋁的電阻率準確可靠，誤差僅為0.424%。上述方法也可以很好地應用于基礎物理實驗中，其他線性關系變量實驗數(shù)據(jù)的分析與處理過程。

關鍵詞：最小二乘法；金屬電阻率；實驗數(shù)據(jù)處理；線性擬合

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）11-0059-3

1 引言

測定金屬的電阻率是物理實驗教學中一個重要的實驗[1-4]。近年來，科研工作者對此實驗進行了一系列的研究，包括測定金屬電阻率的難點與考點[5]，實驗教學模式的分析[6]、設計[7]與改進[8]，實驗方案的優(yōu)化與創(chuàng)新[9-12]，以及實驗數(shù)據(jù)的線性處理與圖像處理等。然而，應用最小二乘法處理“測定金屬電阻率”實驗數(shù)據(jù)的研究目前未見報道。

本文基于DISLab 測量與采集實驗數(shù)據(jù)，運用Origin8.0軟件建立其數(shù)學線性模型，得到其散點圖，從而可以直觀地觀察到散點圖呈直線型或曲線型。根據(jù)最小二乘法原理，對實驗數(shù)據(jù)進行線性處理并進行相關性檢驗，擬合計算出金屬鋁的電阻率。實驗計算結(jié)果表明，利用最小二乘法求解金屬鋁的電阻率準確可靠，相對誤差較小。

2 實驗模型與基本原理

2.1 測定金屬電阻率的實驗模型

本實驗的依據(jù)是部分電路的歐姆定律和電阻定律：R=與ρ=。其中，U為金屬兩端電壓，I為通過其電流，S和L分別為其橫截面積與長度。將一定長度的金屬鋁絲Rx接入如圖1所示的電路圖中，采用伏安法測出其電阻R=。同時，測量出金屬的長度L及直徑D，從而計算出金屬絲的電阻率ρ=。

圖1 測定金屬電阻率ρ電路圖

閉合開關，調(diào)節(jié)變阻器，使電表有明顯示數(shù)變化，數(shù)據(jù)采集器即可獲得n組電壓表和電流表相應的數(shù)據(jù)（Ui，Ii）。

2.2 最小二乘法原理

已知兩變量為線性關系y=kx+b，實驗獲得其n組含有誤差的數(shù)據(jù)（xi，yi）。若將這n組數(shù)據(jù)代入方程求解，則k、b之值無確定解。最小二乘法提供了一個求解的方法，其基本思想是擬合出一條“最接近”這n個點的直線。在這條擬合的直線上，各點相應的y 值與測量值對應縱坐標值之偏差的平方和最小。根據(jù)統(tǒng)計理論，參數(shù)k和b計算公式是：

k=（1）

b=（2）

2.3 相關系數(shù)γ

相關系數(shù)γ表示數(shù)據(jù)（xi，yi）相互聯(lián)系的密切程度，以及擬合所得的線性方程的可靠程度。γ的計算公式如下：

γ=（3）

其中，γ的值在- 1～ + 1 之間。γ的絕對值越接近1，表明（xi，yi）相互聯(lián)系越密切， 線性方程的可靠程度越高，線性越好。

3 最小二乘法擬合測定電阻率實測數(shù)據(jù)

當電壓表的數(shù)值U從20 mV以ΔU=10 mV為步長增加到100 mV時，分別測量出對應電流表的數(shù)值I，實驗數(shù)據(jù)如表1所示。其中，金屬絲的長度L和直徑d分別為0.35 mm與1.25 m。

表1 測定金屬電阻率實驗數(shù)據(jù)

首先，分別以U和I為橫坐標和縱坐標，其滿足線性函數(shù)關系I=U。對上述9組數(shù)據(jù)（Ui，Ii）進行線性回歸分析，利用Origin8.0作圖軟件建立數(shù)學線性模型， 即散點圖，如圖2所示。

圖2 U-I散點圖

從圖2可以看出，這些散點關系近似于直線。選擇一條直線來表示U與I的關系， 即y=kx。根據(jù)這條直線的斜率k=，計算出金屬鋁的電阻率ρ=。

根據(jù)已知數(shù)據(jù)，n=9，=0.1632 A，=0.06 V，由公式（3）計算得到k=0.9997≈1。

γ的數(shù)值說明公式y(tǒng)=kx中，y與x，即I與U的相互聯(lián)系密切程度和擬合所得的線性方程的可靠程度較高，表明實驗數(shù)據(jù)（Ui，Ii）關系幾乎是一條直線。

根據(jù)公式（1）與（2）計算得

k=2.72983，b=-5.55556×10-6。

則線性方程為y=2.71983x+5.55556×10-6。對應公式I=U，金屬鋁的電阻率ρ==2.818×10-8 Ω·m。而金屬鋁電阻率的理論值ρ理論=2.83×10-8 Ω·m，則實驗結(jié)果相對誤差為：

E==0.424%。

本實驗中有一點值得注意：U與I的關系滿足正比例函數(shù)y=kx，因此如果實驗測量準確，（Ii，Ui）圖像應該是一條通過坐標原點的直線。但最小二乘法線性擬合出的結(jié)果存在一個截距，且散點圖左移而不通過坐標原點，原因是實驗模型采用的是電流表外接，測量的電流為金屬鋁絲Rx和電壓表的電流之和，即I=I+Iv。這種處理對斜率計算結(jié)果不會造成影響，由斜率求得的金屬電阻率仍可靠準確。

4 結(jié) 論

在基礎物理實驗的數(shù)據(jù)處理（下轉(zhuǎn)第62頁）（上接第60頁）中，直線擬合是一個極其重要的數(shù)據(jù)處理手段。采用線性回歸分析與最小二乘法，對測定金屬電阻率的實驗數(shù)據(jù)進行線性擬合處理。通過圖像斜率，計算了金屬鋁的電阻率，相對誤差約為0.424%。利用這種方法和原理，可以有效的提高數(shù)據(jù)處理的準確性，在線性關系變量的實際求解中有著極其重要的作用。

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（欄目編輯 王柏廬）