劉漢兵++劉樹(shù)兵

摘要：積分學(xué)是微積分理論中的一個(gè)重要部分。一元函數(shù)的積分學(xué)主要包括定積分和反常積分兩大類(lèi)。這兩類(lèi)積分各自具備一些性質(zhì)，而這些性質(zhì)常常被拿來(lái)相互比較。本文將從定義出發(fā)，結(jié)合一些反例，深入剖析定積分和反常積分的性質(zhì)差異及其原因。

關(guān)鍵詞：反常積分與定積分；性質(zhì)差異；定義

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）28-0178-02

積分學(xué)是微積分理論中的一個(gè)重要組成部分。一元函數(shù)的積分學(xué)主要包括定積分和反常積分兩大類(lèi)，反常積分又包含了無(wú)窮積分與瑕積分，它們可以看作是定積分的推廣，是定積分的某種意義下的極限形式。粗略來(lái)看，反常積分是更為一般的積分，定積分作為更為特殊的積分，應(yīng)該具備反常積分所具備的性質(zhì)。但是在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以看到反常積分與定積分的一些性質(zhì)有所區(qū)別，甚至從表面上看，反常積分的一些性質(zhì)，定積分并不具備。本文將從定義出發(fā)，剖析這些性質(zhì)的差異及其原因，以更加準(zhǔn)確深刻的理解定積分和反常積分的異同。

一、無(wú)窮積分與定積分的定義與性質(zhì)

我們知道對(duì)于無(wú)窮積分，有如下的一個(gè)重要性質(zhì)。

dx存在與否的一個(gè)性質(zhì)。而定理2討論的是有限區(qū)間上的可積性，即內(nèi)容A，它與內(nèi)容B是完全不同的兩個(gè)對(duì)象，得到的結(jié)論有所不同是自然的。

從定理的證明我們也可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到A、B兩部分內(nèi)容的差異對(duì)定理結(jié)論的影響。定理1的兩個(gè)證明都是圍繞積分上限趨于正無(wú)窮時(shí)，變上限積分極限的存在性展開(kāi)的，而定理2的證明則是依賴(lài)于有限區(qū)間上的可積性定理，即證明當(dāng)劃分足夠細(xì)時(shí)，Daboux大和與Daboux小和收斂到同一個(gè)極限，這是完全不同的兩個(gè)對(duì)象。另一方面，我們從證明里面看到，定理1確實(shí)是依賴(lài)于條件A的。在定理1的證明里，我們用到了f（x）在任一有限區(qū)間上的定積分，如果沒(méi)有條件A，這些定積分是不存在的，這也說(shuō)明了為什么不能運(yùn)用定理1的證明方法得到定積分的類(lèi)似性質(zhì)。

從以上的分析我們可以看到反常積分的一些性質(zhì)，特別是基于條件A的一些變限積分極限的收斂性質(zhì)不能簡(jiǎn)單的從表面形式上與定積分的可積性質(zhì)進(jìn)行比較，更不能因此錯(cuò)誤的認(rèn)為反常積分具有定積分所不具備的性質(zhì)。定理1和定理2所表述的是兩個(gè)毫不相關(guān)的對(duì)象的性質(zhì)，把它們進(jìn)行比較沒(méi)有實(shí)質(zhì)的意義，反而容易產(chǎn)生認(rèn)知上的混淆。

二、瑕積分與定積分的定義與性質(zhì)

瑕積分的定義與無(wú)窮積分有類(lèi)似的特點(diǎn)。

dx是不存在的。仔細(xì)觀(guān)察可以發(fā)現(xiàn)這主要是因?yàn)閷?duì)任意的ε>0，G（x）在任一有限區(qū)間[0，1-ε]上不可積。我們從這個(gè)例子可以看到區(qū)間[a，b-ε]上的可積性條件的重要性。

從以上的論述我們可以認(rèn)識(shí)到，不論是無(wú)窮積分還是瑕積分，它們都是定積分的推廣。這兩類(lèi)積分的收斂性首先都要以某類(lèi)有限區(qū)間上的可積性為前提，其次是要求積分上（下）限在某一趨勢(shì)下的變限積分的極限存在。反常積分的一些性質(zhì)，形式上看起來(lái)可以與定積分的某些性質(zhì)進(jìn)行比較，但是實(shí)際上這種比較是非常牽強(qiáng)的，甚至?xí)煜拍?、模糊認(rèn)知，因此，應(yīng)該從定義出發(fā)，區(qū)分這些性質(zhì)的異同，理解背后本質(zhì)的原因，更加準(zhǔn)確深刻地理解反常積分和定積分。

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