楊洪偉,李京陽(yáng),寶音賀西

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京100084)

全星歷模型下擬Halo軌道設(shè)計(jì)

楊洪偉,李京陽(yáng),寶音賀西

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京100084)

本文給出了全星歷模型下適用于地月系統(tǒng)和日地系統(tǒng)的擬Halo軌道的設(shè)計(jì)方法。設(shè)計(jì)過(guò)程以限制三體模型下Halo軌道作為初值并以多點(diǎn)并行打靶法求解全星歷模型下擬Halo軌道。采用多點(diǎn)并行打靶法中給出了一類(lèi)新的可行約束條件,在數(shù)值仿真算例中,地月和日地系統(tǒng)L2點(diǎn)附近4圈目標(biāo)擬Halo軌道均在分鐘量級(jí)時(shí)間內(nèi)收斂,表明了算法的有效性。

全星歷模型;打靶法;Halo軌道;軌道設(shè)計(jì)

0 引 言

平動(dòng)點(diǎn)探測(cè)任務(wù)在深空探測(cè)中具有重要意義。人類(lèi)自發(fā)射第一個(gè)平動(dòng)點(diǎn)探測(cè)任務(wù)航天器ISEE-3[1]以來(lái),已經(jīng)發(fā)射了多個(gè)平動(dòng)點(diǎn)探測(cè)任務(wù)航天器,包括WIND、SOHO、ACE、MAP、Genesis等[2]。在限制性三體模型下,共線平動(dòng)點(diǎn)附近存在一類(lèi)周期軌道-Halo軌道。Halo軌道通常被選作平動(dòng)點(diǎn)附近探測(cè)的飛行軌道。由于Halo軌道是不穩(wěn)定的周期軌道,需要對(duì)其軌道進(jìn)行保持控制。設(shè)計(jì)高精度動(dòng)力學(xué)模型下的Halo軌道作為標(biāo)稱軌道,可以降低軌道長(zhǎng)期保持所引起的燃料消耗[3]。實(shí)際上,由于存在其他行星第三體引力攝動(dòng)、第二主天體公轉(zhuǎn)軌道偏心率等影響,Halo 軌道在高精度動(dòng)力學(xué)模型下將演化為擬Halo軌道[23]。為研究擬Halo軌道的設(shè)計(jì)方法,本文采用全星歷模型為高精度動(dòng)力學(xué)模型。

限制性三體模型下設(shè)計(jì)Halo軌道往往采用Richardson三階近似解[4]作為初值,然后通過(guò)微分修正的方法得到Halo軌道。如果以三體模型下得到的Halo軌道作為初值,在全星歷模型下作軌道積分,飛行軌道在Halo軌道附近保持一定時(shí)間后即發(fā)散。為了進(jìn)一步設(shè)計(jì)全星歷模型下的擬Halo軌道,通常有以下兩種方法:1)二級(jí)微分修正方法[2-3,5],2)多點(diǎn)并行打靶法[6]。本文采用多點(diǎn)并行打靶法。文獻(xiàn)[6]給出了打靶求解時(shí)采用的兩類(lèi)不同約束條件。不同于文獻(xiàn)[6],本文給出了另外一類(lèi)可行的約束條件。此外本文還給出了擬Halo軌道的設(shè)計(jì)過(guò)程,并分別在地月和日地L2點(diǎn)附近設(shè)計(jì)了擬Halo軌道以驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 動(dòng)力學(xué)模型及坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

本文采用兩種動(dòng)力學(xué)模型,分別為圓形限制性三體模型和全星歷模型。記有效勢(shì)能

則圓形限制性三體模型下動(dòng)力學(xué)方程為[7]

其中:x,y,z為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下位置坐標(biāo);μ為主天體質(zhì)量比;r1和r2分別為探測(cè)器與兩個(gè)主天體之間的距離

在全星歷模型下,太陽(yáng)系天體的位置和速度通過(guò)讀取JPL的星歷(如DE421)獲得。下面以地月系統(tǒng)情形為例,以地球?yàn)橹行奶祗w,其他天體引力作用考慮為第三體引力攝動(dòng)[8],建立J2000地球平赤道坐標(biāo)系下探測(cè)器全星歷模型如下

其中:μE為地球引力常數(shù);FPi表示月球、太陽(yáng)以及其他八大行星/行星系統(tǒng)的第三體引力攝動(dòng)。

下面根據(jù)文獻(xiàn)[9],給出以上兩種動(dòng)力學(xué)模型中坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。讀取JED時(shí)刻月球在地球慣性系中的位置RM和速度VM。進(jìn)行以下計(jì)算就可以由歸一化的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的量rsyn與vsyn轉(zhuǎn)換為地球慣性系中的量R與V。

慣性系中的量轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)系中的量為上述過(guò)程逆過(guò)程,此處省略。

2 擬Halo軌道設(shè)計(jì)方法

在限制性三體模型下設(shè)計(jì)Halo軌道一般采用Richardson三階近似解[5,10]作為初值,然后通過(guò)微分修正方法[2,11]即可得到Halo軌道。圖1為地月L2點(diǎn)附近的一族Halo軌道及其中一條Halo軌道在各個(gè)方向的投影。

真實(shí)情況下,由于第二主天體繞第一主天體的軌道并非為圓形,并且探測(cè)器在飛行過(guò)程中還受到其他天體的引力作用,因此以限制性三體模型設(shè)計(jì)的Halo軌道作初值,在全星歷模型下運(yùn)行軌道將迅速發(fā)散。選取Halo軌道上的10個(gè)點(diǎn)做初值,在全星歷模型下積分到一個(gè)點(diǎn)時(shí)刻,如圖2所示。雖然積分時(shí)間很短,但是也可以明顯看到軌道不再閉合。

因此,需要進(jìn)一步修正三體模型得到的Halo軌道從而得到全星歷模型下的擬Halo軌道。求解方法采用多點(diǎn)打靶法[6],但本文的取點(diǎn)方式和約束條件設(shè)置與文獻(xiàn)[6]有所不同。如圖2所示按等長(zhǎng)時(shí)間間隔選取Halo軌道上N個(gè)點(diǎn),固定這些點(diǎn)的時(shí)刻,這樣一共有6N個(gè)待修正變量。第一類(lèi)約束條件為第k個(gè)點(diǎn)積分到第k+1個(gè)點(diǎn)處于k+1個(gè)點(diǎn)的狀態(tài)量重合。根據(jù)這類(lèi)約束條件可以得到以下6N-6個(gè)條件

圖2 限制性三體模型設(shè)計(jì)值在不同動(dòng)力學(xué)模型下積分結(jié)果.Fig.2 Results of integrating different dynamical modelswith values designed by restricted three-body model

為建立打靶方程,還需要補(bǔ)充6個(gè)約束條件。這6個(gè)約束條件并沒(méi)有嚴(yán)格的規(guī)定,需要人為合理的設(shè)置。本文采用的第二類(lèi)約束條件如下

即初始點(diǎn)的位置與末端點(diǎn)的速度與標(biāo)稱情況相同。

結(jié)合這兩類(lèi)約束條件可以寫(xiě)出求解所需多點(diǎn)打靶方程

求解式(11)表示的非線性方程可以采用高效的非線性方程求解器MinPack-1[10]。

3 擬Halo軌道設(shè)計(jì)方法

仿真算例研究地月系統(tǒng)L2點(diǎn)附近擬Halo軌道設(shè)計(jì)。選取起始時(shí)間為2017年5月1日00:00:00,振幅選取為10 000 km,設(shè)計(jì)軌道圈數(shù)為4圈,結(jié)果分別如圖3和圖4所示。為了實(shí)現(xiàn)顯示效果,圖3是在瞬時(shí)L2點(diǎn)附近繪制的,其歸一化長(zhǎng)度單位也是隨地月距離變化而改變的。

圖3 全星歷模型下地月L2點(diǎn)附近擬Halo軌道設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.3 Quasi Halo orbits around L2 point of the Earth-Moon system by the fullephemeris model

仿真算例研究日地系統(tǒng)L2點(diǎn)附近擬Halo軌道設(shè)計(jì)。選取起始時(shí)間為2021年1月1日0時(shí)0分0秒,振幅選取為18×104km,設(shè)計(jì)軌道圈數(shù)為4圈,總時(shí)長(zhǎng)大約為2年,結(jié)果圖5所示。

圖4 全星歷模型下地月L2點(diǎn)附近擬Halo軌道在J2000地球平赤道坐標(biāo)系中投影Fig.4 Projection of the quasi Halo orbit around L2 of the Earth-Moon system by the full ephemeris model in J2000 Earth equatorial frame

以上算例運(yùn)行環(huán)境為使用i5-4210M CPU和4.0GB內(nèi)存的個(gè)人筆記本電腦,求解程序采用FORTRAN語(yǔ)言編寫(xiě)。打靶求解全星歷模型下地月L2點(diǎn)附近擬Halo軌道迭代次數(shù)為22次,運(yùn)行時(shí)間為72.322 s;求解全星歷模型下日地L2點(diǎn)附近擬Halo軌道迭代次數(shù)為29次,運(yùn)行時(shí)間為36.036 s.

求解日地系統(tǒng)和地月系統(tǒng)圈次較少(4圈)的擬Halo軌道僅需要分鐘量級(jí)的時(shí)間就可以收斂。本文所給的算法可以作為工程實(shí)際中設(shè)計(jì)擬Halo軌道一種可選的方法。

需要進(jìn)一步指出的是,本文所用的方法應(yīng)用于地月系統(tǒng)時(shí),如果計(jì)算擬周期軌道圈次較多時(shí)(如50圈),由于太陽(yáng)的強(qiáng)攝動(dòng)作用下全星歷模型與限制性三體模型差異過(guò)大而無(wú)法收斂[6]。

圖5 全星歷模型下日地L2點(diǎn)附近擬Halo軌道設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.5 Quasi Halo orbits around L2 point of the Sun-Earth system by the full ephemeris model

4 結(jié) 論

本文給出的含新的多點(diǎn)并行打靶法約束的擬Halo軌道設(shè)計(jì)方法,適用于地月系統(tǒng)和日地系統(tǒng)。仿真算例中,分別設(shè)計(jì)了地月系統(tǒng)和日地系統(tǒng)L2點(diǎn)附近的擬Halo軌道。結(jié)果表明,利用本文提出的算法設(shè)計(jì)較少圈次的擬Halo軌道可以在分鐘量級(jí)的時(shí)間收斂,可以作為工程應(yīng)用的一種可選的算法。

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Quasi Halo Orbit Design in Full Ephemeris Model

YANG Hongwei,LI Jingyang,BAOYIN Hexi
(School of Aerospace Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

A method of designing the quasi Halo orbits in the full ephemeris model,which can be applied in both the earth-moon system and sun-earth system,is presented.In the design process,a Halo orbit designed in the restricted three-body model is taken as initial guess,and then a multiple shooting method is used to design in the full ephemeris model.A new feasible constraint condition is given.By numerical simulations,the quasi Halo orbits with four circles are both obtained about one minute for the earth-moon system and sun-earth system respectively,showing the effectiveness of the present algorithm.

full ephemeris model;shooting method;Halo orbit;orbit design

V412.4+1

A

2095-7777(2015)04-0333-05

10.15982/j.issn.2095-7777.2015.04.006

楊洪偉(1989—),男,博士生,主要研究方向:深空探測(cè)軌道設(shè)計(jì)與優(yōu)化。

[責(zé)任編輯:高莎]

2015-09-28

2015-10-17