劉磊,曹建峰,胡松杰,唐歌實(shí)

(1.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100094;2.北京航天飛行控制中心,北京100094)

地月平動(dòng)點(diǎn)中繼應(yīng)用軌道維持

劉磊1,2,曹建峰1,2,胡松杰1,2,唐歌實(shí)1,2

(1.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100094;2.北京航天飛行控制中心,北京100094)

地月平動(dòng)點(diǎn)中繼應(yīng)用軌道對(duì)于月球背面探測(cè)具有十分重要的應(yīng)用價(jià)值,由于地月平動(dòng)點(diǎn)的不穩(wěn)定性,必須進(jìn)行軌道維持。文章研究了真實(shí)力模型下月球平動(dòng)點(diǎn)中繼應(yīng)用軌道的維持。首先,基于限制性三體問(wèn)題下平動(dòng)點(diǎn)軌道的運(yùn)動(dòng)特性,研究了平動(dòng)點(diǎn)軌道維持的數(shù)學(xué)模型與維持策略,提出了平動(dòng)點(diǎn)軌道維持的連續(xù)環(huán)繞控制方法,并給出了軌道維持的Halo和Lissajous兩種控制方式;其次,充分考慮各天體和光壓攝動(dòng)下,采用數(shù)值手段研究了不同幅值的地月平動(dòng)點(diǎn)周期中繼應(yīng)用軌道的維持間隔與速度增量等。研究結(jié)果表明:Lissajous控制方式適用于月球平動(dòng)點(diǎn)中繼應(yīng)用軌道的維持,在給定測(cè)控精度條件下,維持間隔約7.4 d,速度增量?jī)?yōu)于20 m/s/a。該方法已經(jīng)成功應(yīng)用于我國(guó)“嫦娥2號(hào)”日地平動(dòng)點(diǎn)任務(wù)和“嫦娥5T1”地月平動(dòng)點(diǎn)任務(wù)并獲得了良好的控制效果,還可直接應(yīng)用于我國(guó)未來(lái)“嫦娥4號(hào)”等月球背面探測(cè)任務(wù)。

平動(dòng)點(diǎn);軌道維持;限制性三體問(wèn)題;Halo軌道;Lissajous軌道

0 引 言

當(dāng)前,我國(guó)的深空探測(cè)活動(dòng)主要集中在月球,“嫦娥1號(hào)”到“嫦娥3號(hào)”月球探測(cè)器已經(jīng)圓滿完成了任務(wù),尤其是“嫦娥2號(hào)”在實(shí)現(xiàn)既定工程和科學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上,開(kāi)展了日地平動(dòng)點(diǎn)拓展任務(wù)和小行星飛越探測(cè)任務(wù),取得了我國(guó)首次日地平動(dòng)點(diǎn)飛行和世界上首次獲取4179小行星近距離光學(xué)圖像等多項(xiàng)突破性成果[1-4]。2014年下半年又開(kāi)展了為后續(xù)“嫦娥5號(hào)”任務(wù)驗(yàn)證相關(guān)技術(shù)的“嫦娥5T1”再入返回飛行試驗(yàn),之后進(jìn)行了地月平動(dòng)點(diǎn)探測(cè)飛行拓展任務(wù)[5]。雖然目前我國(guó)探月工程的著月點(diǎn)選擇相對(duì)在地球始終可見(jiàn)的月球正面,但是人類探測(cè)較少的月球背面和兩極地區(qū),可能蘊(yùn)含豐富資源,具有更高的探測(cè)價(jià)值,我國(guó)后續(xù)“嫦娥4號(hào)”將開(kāi)展月球背面探測(cè)。受地月相對(duì)運(yùn)動(dòng)特性影響,在未來(lái)探測(cè)月球兩極和背面區(qū)域時(shí),必須考慮中繼測(cè)控手段。

地月平動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于地球和月球位置始終固定,尤其是其中的L2點(diǎn)對(duì)于月球背面始終可見(jiàn)且距離月球較近,從而可以考慮設(shè)計(jì)月球L2點(diǎn)中繼應(yīng)用軌道,進(jìn)行長(zhǎng)期軌道維持使之始終保持與地球和月球背面的可見(jiàn)性,為月球探測(cè)器的留軌艙和著陸器提供中繼通信和導(dǎo)航等服務(wù)。雖然當(dāng)前平動(dòng)點(diǎn)軌道動(dòng)力學(xué)與控制等研究較為充分[610],不過(guò)平動(dòng)點(diǎn)的應(yīng)用目前仍集中于日地平動(dòng)點(diǎn),相對(duì)于日地平動(dòng)點(diǎn),地月平動(dòng)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)特性較為復(fù)雜,其中太陽(yáng)引力和光壓對(duì)于軌道的攝動(dòng)影響較大,且月球相對(duì)于地球運(yùn)動(dòng)具有一定偏心率,這些因素使得地月平動(dòng)點(diǎn)軌道的穩(wěn)定性較差,基于圓型限制性三體問(wèn)題設(shè)計(jì)的周期軌道在真實(shí)力模型下很快發(fā)散,不再呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)特性。

為此,本文面向月球平動(dòng)點(diǎn)中繼應(yīng)用,研究真實(shí)力模型下中繼應(yīng)用軌道的維持,給出相應(yīng)的平動(dòng)點(diǎn)軌道維持方法和策略,分析平動(dòng)點(diǎn)中繼應(yīng)用軌道的維持頻率和速度增量,確定不同幅值軌道的維持代價(jià),為我國(guó)后續(xù)“嫦娥4號(hào)”和未來(lái)月球背面探測(cè)等任務(wù)提供借鑒。

1 軌道維持

1.1 數(shù)學(xué)模型

平動(dòng)點(diǎn)屬于限制性三體問(wèn)題,即研究小天體在兩大天體引力作用下的運(yùn)動(dòng),設(shè)小天體的質(zhì)量為m,其余兩個(gè)大天體的質(zhì)量分別為m1和m2,有m?m2＜m1。首先單位歸一化,大天體質(zhì)量之和、大天體相互運(yùn)動(dòng)橢圓半長(zhǎng)軸和角頻率為1,以兩大天體的共同質(zhì)心為原點(diǎn)O,二者相對(duì)運(yùn)動(dòng)平面為xy平面,建立會(huì)合坐標(biāo)系O-xyz,如圖1所示。在研究平動(dòng)點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)時(shí)常將原點(diǎn)移至平動(dòng)點(diǎn)處,即圖1中的L1或L2。

圖1 會(huì)合坐標(biāo)系Fig.1 Synodic coordinate

由小天體的動(dòng)力學(xué)方程可得到O-xyz中共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的一階形式[9]

其中:Ax和Az分別為x和z方向的運(yùn)動(dòng)幅值;η和ζ分別為x和z方向的運(yùn)動(dòng)頻率,一般為L(zhǎng)issajous軌道,在二者相等時(shí)即Halo軌道;φ和ψ分別為x和z方向的初始相位。

由式(1)可見(jiàn),在一階解析形式下,Halo軌道關(guān)于會(huì)合坐標(biāo)系xz平面對(duì)稱,且在xz平面附近運(yùn)動(dòng)方向垂直于xz平面,Lissajous軌道則在穿過(guò)xz平面時(shí)x方向速度為0,基于平動(dòng)點(diǎn)軌道的運(yùn)動(dòng)特性,選擇平動(dòng)點(diǎn)軌道的理想末狀態(tài)xd位于xz平面。由初始狀態(tài)x0積分至Δy時(shí)刻的末狀態(tài)一般與xd不相同,通過(guò)修正x0和t使得實(shí)際末狀態(tài)接近xd。設(shè)x0和t的修正量分別為δx0和δt,則在一階近似下有

其中:Φ(t,t0)為轉(zhuǎn)移軌道從初始t0時(shí)刻到t時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,即

其中:r、v和a分別為衛(wèi)星的位置矢量、速度矢量和加速度矢量,其中a的計(jì)算中考慮各種攝動(dòng)因素即可反應(yīng)該因素對(duì)轉(zhuǎn)移軌道的影響。不過(guò),在考慮攝動(dòng)因素較多的情況下Φ(t,t0)的計(jì)算量較大,對(duì)于地月平動(dòng)點(diǎn)軌道,因此僅考慮日地月質(zhì)點(diǎn)引力和光壓攝動(dòng)即可滿足計(jì)算精度和速度要求。

其中:Φij(i=2,4,6;j=1,3,5)表示Φ(t;t0)的第i行第j列個(gè)分量。

式(4)和式(5)即平動(dòng)點(diǎn)軌道的連續(xù)環(huán)繞控制方法的兩種形式,分別稱為Halo控制方式和Lissajous控制方式,對(duì)于平動(dòng)點(diǎn)周期軌道,兩種形式均可采用,平動(dòng)點(diǎn)擬周期軌道則采用后者。同時(shí),式(4)和式(5)為基于平動(dòng)點(diǎn)軌道一階近似解的結(jié)果,因此需要采用微分修正方式進(jìn)行多次迭代才可以獲得理想的軌道末狀態(tài)。

1.2 維持策略

1.1 小節(jié)的平動(dòng)點(diǎn)軌道連續(xù)環(huán)繞控制方法,利用圓型限制性三體問(wèn)題下平動(dòng)點(diǎn)軌道的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行軌道維持,使得軌道末狀態(tài)的x和(或)z方向速度為0。然而考慮到實(shí)際攝動(dòng)力作用,軌道末狀態(tài)的x和(或)z方向雖然接近0,但是并不嚴(yán)格為0,因此直接由式(4)和式(5)得到的維持速度增量將大于實(shí)際所需速度增量,且控后軌道偏離最優(yōu)維持軌道,所以需制定相應(yīng)的軌道維持策略。

為了利用式(4)和式(5)實(shí)現(xiàn)真實(shí)力模型下的平動(dòng)點(diǎn)軌道維持,制定平動(dòng)點(diǎn)軌道連續(xù)環(huán)繞控制策略,如圖2所示。

圖2中,LP為平動(dòng)點(diǎn),○和*分別表示軌道初始點(diǎn)和末端。首先定義平動(dòng)點(diǎn)軌道由會(huì)合坐標(biāo)系xz平面出發(fā),再次到達(dá)xz平面為1/2圈,第3次到達(dá)xz平面則為1圈。軌道維持時(shí),基于2.1小節(jié)的軌道維持模型式(4)和式(5),采用微分修正法改變軌道初始狀態(tài),使得積分1/2圈時(shí)x和(或)z方向速度為0,由此得到第1步修正后的軌道Corr1。雖然Corr1并非能量最省的平動(dòng)點(diǎn)軌道,但是該軌道可以保持在平動(dòng)點(diǎn)附近不會(huì)飛離平動(dòng)點(diǎn)。然后再次修正初始狀態(tài),使得積分1圈時(shí)x和(或)z方向速度為0,得到修正后的軌道Corr2,該軌道進(jìn)一步接近能量最優(yōu)軌道。如此進(jìn)一步延續(xù)下去得到修正后的軌道Corr3……,該策略即平動(dòng)點(diǎn)軌道連續(xù)環(huán)繞控制策略。

圖2 平動(dòng)點(diǎn)軌道連續(xù)環(huán)繞控制策略Fig.2 Continue-circling method of the relay orbit maintenance

由此可見(jiàn),上述連續(xù)環(huán)繞控制策略利用圓型限制性三體問(wèn)題下平動(dòng)點(diǎn)軌道的運(yùn)動(dòng)特性,通過(guò)逐步延長(zhǎng)軌道弧段并漸進(jìn)修正初始軌道狀態(tài),最終獲得真實(shí)力模型下維持能量近似最優(yōu)的平動(dòng)點(diǎn)軌道。該策略有兩處需要特別說(shuō)明,其一,雖然圖1中每步維持以1/2圈軌道增加,但是實(shí)際計(jì)算時(shí)可根據(jù)迭代收斂容限和具體三體系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)整,在收斂容限和軌道攝動(dòng)較小情況下,平動(dòng)點(diǎn)軌道維持間隔可適當(dāng)放大;其二,理論上延續(xù)步驟越多,軌道維持的能量越接近最優(yōu)。不過(guò)實(shí)際計(jì)算表明,在延續(xù)2圈以后,軌道的修正量已經(jīng)極其微小,因此最大延續(xù)軌道弧段不應(yīng)超過(guò)2圈,地月系平動(dòng)點(diǎn)軌道則最大取1.5圈即可。

2 數(shù)值仿真

設(shè)計(jì)Az為5 000 km和30 000 km的地月L2點(diǎn)周期軌道作為月球平動(dòng)點(diǎn)中繼應(yīng)用軌道,分別采用Halo和Lissajous控制方式進(jìn)行長(zhǎng)期維持,研究2種方式的有效性。仿真中考慮光壓和大行星引力攝動(dòng),光壓系數(shù)取1.3,行星位置采用JPLDE405星歷。同時(shí),為了分析2種方式的軌道維持能力,仿真中基于國(guó)內(nèi)外目前的測(cè)控能力,設(shè)定兩組大小不同的測(cè)控誤差,較大的測(cè)控誤差為位置精度5 km,速度精度為1 cm/s,控制精度為2%,同時(shí)考慮5 cm/s的剩余控制誤差,較小的測(cè)控誤差為位置精度1 km,速度精度為1 cm/s,控制精度為1%,無(wú)剩余控制誤差。

2.1 Halo控制方式

在較大測(cè)控誤差下,仿真Az為5 000 km的中繼應(yīng)用軌道維持,總時(shí)間為2年。采用蒙特卡洛打靶法分析,共進(jìn)行200次仿真,各次仿真所需要的總速度增量Φ(t1;t0)和軌道周期(兩次穿越xz平面的時(shí)間間隔)i變化如圖3所示,上圖橫坐標(biāo)n為仿真次數(shù),下圖橫坐標(biāo)nk為軌道維持圈次。由于誤差和攝動(dòng)影響,軌道維持間隔為1/2個(gè)軌道周期,延續(xù)控制最大時(shí)長(zhǎng)為3/2圈,即使得第3次穿越xz平面時(shí)x和z方向速度小于1 m/s。

圖3 較大測(cè)控誤差下小幅值Halo軌道維持2年的情況(Halo方式)Fig.3 Orbit maintenance of the small Halo orbit for 2 years with the large TT&C errors(Halo style)

由圖3可見(jiàn),2年維持時(shí)間內(nèi),維持的總速度增量除極個(gè)別情況超過(guò)300 m/s,絕大多數(shù)不超過(guò)200 m/s,平均為155 m/s左右。軌道周期呈現(xiàn)周期變化,約為14～16 d。

給出仿真中總速度增量超過(guò)300 m/s的中繼軌道在2年內(nèi)的空間變化圖,及其在會(huì)合坐標(biāo)系各坐標(biāo)平面的投影圖,如圖4所示。

圖4 較大測(cè)控誤差下小幅值Halo軌道維持總速度增量最大的情況(Halo方式)Fig.4 Case with the maximum velocity increment of the small Halo orbit with the large TT&C errors(Halo style)

由圖4可見(jiàn),總速度增量超過(guò)300 m/s的情況下,中繼應(yīng)用軌道在空間中的位置變化較大,在z方向上的變化超過(guò)10 000 km,實(shí)際應(yīng)用時(shí),這一軌道變化可能會(huì)帶來(lái)測(cè)控影響,如月球?qū)χ欣^應(yīng)用通信的影響。不過(guò)從圖4各平面投影圖可見(jiàn),軌道在各方向上與坐標(biāo)原點(diǎn)的最小距離大于3 600 km,這表明月球不會(huì)形成直接遮擋,因而位置變化影響非常有限。尤其是由上述仿真可知,圖4情況為極其特殊情況,一般情況下維持后的軌道不會(huì)有如此大的變化。

將仿真詳細(xì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),與較小測(cè)控誤差下的維持情況,以及較大測(cè)控誤差下Az為30 000 km的中繼應(yīng)用軌道維持情況,列于表1所示。表1中ΔV、Δv、T和Δt分別為總速度增量、單次速度增量、軌道周期和維持間隔,每個(gè)參數(shù)分別給出最小值、最大值和平均值,上標(biāo)b和s分別表示較大和較小的測(cè)控誤差。由表1可見(jiàn),在Halo控制方式下,對(duì)于小幅值中繼應(yīng)用軌道,如果測(cè)控精度提高,可以有效減小軌道維持代價(jià)。大幅值中繼應(yīng)用軌道的維持代價(jià)明顯較大,說(shuō)明Halo控制方式并不適用于大幅值軌道。

表1 中繼應(yīng)用軌道2年的維持情況(Halo方式)Table 1 Orbit maintenance of the relay orbit for 2 years(Halo style)

另外可見(jiàn),大小幅值中繼軌道的平均軌道周期均約為15 d左右,控制頻率均約7 d左右。

2.2 Lissajous控制方式

利用Lissajous控制方式計(jì)算Az為5 000 km的Halo軌道維持1年的情況,進(jìn)行100次蒙特卡洛打靶仿真,軌道維持間隔仍為1/2個(gè)軌道周期,延續(xù)控制最大時(shí)長(zhǎng)為1圈,即使得第2次穿越xz平面時(shí)x和z方向速度小于1 m/s。總速度增量ΔVn和軌道周期Tnk變化如圖5所示。

圖5 較小測(cè)控誤差下小幅值Halo軌道維持1年的情況(Lissajous方式)Fig.5 Orbit maintenance of the small Halo orbit for 1 years with the small TT&C errors(Lissajous style)

由圖5可見(jiàn),維持1年所需的速度增量均小于14 m/s,相對(duì)于Halo控制方式,維持速度增量大大降低。軌道周期依然呈現(xiàn)周期變化,不過(guò)變化幅值明顯略有降低,保持在14～15.5 d之間。

維持速度增量最大的情況如圖6所示。由圖6可見(jiàn),Lissajous控制方式維持后的軌道在z方向上的變化小于6 000 km,比Halo控制方式得到的軌道發(fā)散程度小。

將仿真統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),與較小測(cè)控誤差下Az=30 000 km的中繼應(yīng)用軌道維持情況,列于表2所示。

表2 中繼應(yīng)用軌道1年的維持情況(Lissajous方式)Table 2 Orbit maintenance of the relay orbit for 1 year(Lissajous style)

由表2可見(jiàn),在Lissajous控制方式下,大小幅值中繼應(yīng)用軌道的維持代價(jià)相當(dāng),均為十幾米每秒,而且該方式的控后軌道與Halo控制方式的周期和維持頻率基本相同。同時(shí),將表2和表1對(duì)比可見(jiàn),Lissajous控制方式明顯優(yōu)于Halo控制方式。

從目前國(guó)外在月球平動(dòng)點(diǎn)軌道的維持應(yīng)用來(lái)看,文獻(xiàn)[10]中給出的ARTEMIS任務(wù)的最好仿真結(jié)果為12.27 m/s/a,平均為0.28 m/s,平均維持間隔為7.3 d,由此可見(jiàn),本文給出的Lissajous軌道控制方式的維持代價(jià)與之相當(dāng)。

此外還需指出,文章中的連續(xù)環(huán)繞軌道控制方法及其策略已經(jīng)應(yīng)用于我國(guó)“嫦娥2號(hào)”日地平動(dòng)點(diǎn)拓展任務(wù)和“嫦娥5T1”拓展任務(wù),基于文中方法得到的“嫦娥2號(hào)”中途修正速度增量?jī)H為3.15 m/s,日地Lissajous軌道維持速度增量?jī)H為3.19 m/s,維持間隔約3個(gè)月,控制效果非常好。

圖6 較小測(cè)控誤差下小幅值Halo軌道維持總速度增量最大的情況(Lissajous方式)Fig.6 Case with the maximum velocity increment of the small Halo orbit with the small TT&C errors(Lissajous style)

3 結(jié) 論

文章研究了月球平動(dòng)點(diǎn)中繼應(yīng)用軌道的維持,在基于目前國(guó)內(nèi)外測(cè)控能力的測(cè)控誤差下,Lissajous軌道控制方式對(duì)平動(dòng)點(diǎn)軌道的維持效果較好,軌道維持頻率為大約每7.4 d維持一次,每年的維持速度增量可小于20 m/s,與國(guó)外ARTEMIS任務(wù)的維持代價(jià)相當(dāng)。此外,需要說(shuō)明,文章中軌道維持間隔相對(duì)固定,便于實(shí)際工程應(yīng)用,若綜合考慮地面測(cè)控和星載推力器能力,還可以進(jìn)一步增大軌道維持間隔,降低維持頻率。文章研究可直接應(yīng)用于我國(guó)“嫦娥4號(hào)”和未來(lái)月球背面探測(cè)任務(wù)。

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Maintenance of Relay Orbit About the Earth-Moon Collinear Libration Points

LIU Lei1,2,CAO Jianfeng1,2,HU Songjie1,2,TANG Geshi1,2
(1.National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Flight Dynamics Laboratory,Beijing 100094,China;2.Beijing Aerospace Control Center,Beijing 100094,China)

Relay orbits about the Earth-Moon collinear libration point shave significant valueon the exploration of the lunar farside,but have complex kinetic characteristics in the nature,thus the orbit maintenance has always been focused in the deep space navigation and control field.This paper explores orbit maintenance technology of the relay orbit about the collinear Earth-Moon libration points under the real dynamical conditions.First,based on the restricted three-body problem,the mathematic model of relay orbit station-keeping with the real dynamical model is analyzed.The continue-circling method is presented for the relay orbit maintenance with the two control styles,i.e.,the Halo style and the Lissajous style.Second,with the third-body gravitation and the solar radiation pressure perturbations considered,the method is tested and analyzed by using the numerical simulations to achieve the control frequency and the corresponding velocity increment required by the relay orbits with different amplitudes.According to the simulations,the Lissajous style is suitable to the orbit maintenance with a control interval of 7.4 days and a velocity increment less than 20 m/s/a.Furthermore,the method has been successfully applied in Chang’e-2 and Chang’e-5T1 extended missions and can provide a beneficial reference for the future Chang’e-4 mission.

libration point;orbit maintenance;restricted three-body problem;Halo orbit;Lissajous orbit

V412.4+1

A

2095-7777(2015)04-0318-07

10.15982/j.issn.2095-7777.2015.04.004

劉磊(1980—),男,工程師,主要研究方向:深空探測(cè)軌道設(shè)計(jì)與控制。

[責(zé)任編輯:宋宏]

2015-09-28

2015-10-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11303001,11203003,11373013,11173005,61573049)