王衛(wèi)峰，丁智平，賀才春，涂奉臣，穆龍海

（1.湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2. 株洲時(shí)代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007）

有阻尼吸振器參數(shù)優(yōu)化與應(yīng)用

王衛(wèi)峰1,2，丁智平1，賀才春2，涂奉臣2，穆龍海1

（1.湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2. 株洲時(shí)代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007）

針對某一特定頻率下的振動問題，優(yōu)化有阻尼吸振器參數(shù)來對其進(jìn)行吸振。先對懸臂梁進(jìn)行模態(tài)分析，得到對振動貢獻(xiàn)最大的頻率并確定吸振器的安裝位置；然后，應(yīng)用單自由度質(zhì)量感應(yīng)法得到動力吸振器在主振動系統(tǒng)上安裝位置點(diǎn)的等價(jià)質(zhì)量和等價(jià)剛度，并由其組成一個(gè)等效的單自由度系統(tǒng)；建立吸振器的數(shù)學(xué)模型，并基于理論推導(dǎo)出具有單自由度的動力吸振器的解析解，得到吸振器的3個(gè)參數(shù)；以懸臂梁為例，應(yīng)用Abaqus軟件仿真附加吸振器前后測試點(diǎn)的振動響應(yīng)。仿真結(jié)果顯示，安裝動力吸振器后，測試點(diǎn)的振動得到顯著降低，證實(shí)了吸振器的有效性。

動力吸振器；懸臂梁；質(zhì)量感應(yīng)法；Abaqus軟件

0 引言

振動廣泛存在于人們的日常生產(chǎn)生活中。工程設(shè)計(jì)人員應(yīng)用振動原理制造了許多機(jī)械設(shè)備，如振動篩、振動沉樁機(jī)等。同時(shí)，振動也帶來了負(fù)面影響，使機(jī)械設(shè)備受到疲勞損壞，縮短其工作壽命，還造成嚴(yán)重的噪聲污染[1]。為了控制機(jī)械設(shè)備的振動在允許范圍內(nèi)，保證機(jī)械正常運(yùn)轉(zhuǎn)和操作人員的人身安全，學(xué)者們提出了振動控制技術(shù)[2-3]。動力吸振器（dynamic vibration absorber，DVA）是一種經(jīng)濟(jì)、有效的減振方法，可以在一定頻率范圍內(nèi)減小被吸振結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)[2]。

國內(nèi)外學(xué)者對動力吸振器都有深入的研究，在工程上也有許多的應(yīng)用實(shí)例[4-7]。懸臂梁的振動現(xiàn)象在機(jī)械設(shè)備中廣泛存在，并且時(shí)常會在某個(gè)頻率下出現(xiàn)異常振動問題。針對這類振動問題，本文以梁的一階振動問題為例，對動力吸振器的設(shè)計(jì)及應(yīng)用方法進(jìn)行了研究，并應(yīng)用仿真技術(shù)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的動力吸振器的有效性。

1 有阻尼動力吸振器的工作原理

動力吸振器技術(shù)在船舶[8]、鐵路、航空[9]、電力、建筑、車輛[10]等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。其工作原理是，在主系統(tǒng)上附加具有質(zhì)量彈簧的子系統(tǒng)，附加系統(tǒng)在共振時(shí)會產(chǎn)生反作用力，使振動所產(chǎn)生的能量由主系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至吸振器，從而減少或抑制主系統(tǒng)受外激勵時(shí)的響應(yīng)[6]。

本文將主系統(tǒng)簡化為單自由度系統(tǒng)，其質(zhì)量、剛度由質(zhì)量感應(yīng)法得到對應(yīng)的等效值，動力吸振器采用有阻尼動力吸振器。有阻尼動力吸振器是由質(zhì)量、剛度、阻尼3個(gè)元素組成，通過3個(gè)參數(shù)的最優(yōu)組合使得主系統(tǒng)在受外激勵時(shí)的振動響應(yīng)達(dá)到最小，其力學(xué)模型如圖1所示。

圖中參數(shù)說明如下：

m1, m2分別為主系統(tǒng)和動力吸振器的質(zhì)量；

x1, x2分別為主系統(tǒng)和動力吸振器的位移；

k1, k2分別為主系統(tǒng)和動力吸振器的剛度；

c為動力吸振器的阻尼；

圖1 有阻尼動力吸振器的力學(xué)模型圖Fig. 1 Mechanical model diagram of damped dynamic vibration absorber

主系統(tǒng)受到外力激勵時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為[2]：

針對特定頻率的減振，安裝和未安裝動力吸振器時(shí)，主系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線如圖2所示。由圖可知，加裝吸振器后主系統(tǒng)的減振效果顯著[11]。

圖2 安裝和未安裝動力吸振器時(shí)主系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線圖Fig. 2 The frequency response curve of the primary system with and without dynamic absorber

2 定點(diǎn)理論的參數(shù)優(yōu)化

定點(diǎn)理論是指對于含有制振器阻尼的振動系統(tǒng)，利用頻率響應(yīng)函數(shù)曲線上與阻尼無關(guān)的特定點(diǎn)來設(shè)計(jì)制振裝置的方法[2]。

相同質(zhì)量比條件下，三要素DVA具有比Voigt式DVA更好的減振效果。 學(xué)者們還推導(dǎo)出三要素DVA的最優(yōu)設(shè)計(jì)公式。

滿足最優(yōu)同調(diào)條件的動力吸振器與主振動系統(tǒng)的固有頻率比為

滿足動力吸振器的最優(yōu)阻尼比為

滿足最優(yōu)條件時(shí)的最大振幅比為

圖3為定點(diǎn)與滿足最優(yōu)條件的振幅比曲線關(guān)系圖。由圖可知，在質(zhì)量比（=0.1）和固有頻率比不變的前提下，當(dāng)改變結(jié)構(gòu)阻尼比時(shí)，其振幅比曲線都會經(jīng)過2點(diǎn)P, Q，這就是所謂的2個(gè)定點(diǎn)。在最優(yōu)同調(diào)和最優(yōu)阻尼的組合下，P，Q 2點(diǎn)不僅僅是整條曲線中值最大的點(diǎn)，而且2點(diǎn)也是等高的。

圖3 定點(diǎn)與滿足最優(yōu)條件的振幅比曲線關(guān)系圖Fig. 3 The relationship curve of the fixed point and amplitude ratio under optimal condition

3 設(shè)計(jì)案例——梁的應(yīng)用

為了驗(yàn)證動力吸振器的吸振效果，對懸臂梁進(jìn)行模態(tài)分析，得到其各階的固有頻率及其對應(yīng)的振型。本文僅以懸臂梁第一階固有頻率作為吸振頻率，并在這一頻率的最大振幅位置上安裝動力吸振器，以為觀察目標(biāo)，分析安裝動力吸振器前后的制振效果。

3.1 懸臂梁模型及有限元模態(tài)分析

本文應(yīng)用Abaqus軟件建立尺寸400 mm×40 mm× 5 mm的懸臂梁模型，材料為鑄鋼。材料的物理性能為：密度=7.8 g/cm3，彈性模量E=2.1×105MPa，泊松比=0.3，結(jié)構(gòu)阻尼比=0.01。將懸臂梁的左端進(jìn)行全約束，x軸作為梁的長度方向，y軸作為梁的寬度方向，軸作為厚度方向。懸臂梁模型用一個(gè)賦予了厚度的平面來表示，并且將平面劃分為40×6的長方形單元。

在Abaqus軟件中，首先對懸臂梁進(jìn)行模態(tài)分析，提取其前十階的固有頻率，分別為26.34, 165.09, 205.38, 462.85, 493.80, 909.17, 1 236.00, 1 489.10, 1 507.80, 2 261.20 Hz。對于連續(xù)性主系統(tǒng)，若其各階固有頻率相隔較遠(yuǎn)時(shí)，則可以忽略各個(gè)模態(tài)間的相互影響，因此，在振動控制時(shí)，可以將各個(gè)模態(tài)分別進(jìn)行處理[2]。通過有限元分析可知，懸臂梁的第一階模態(tài)振型主要是集中在 軸方向，在 軸方向上的最大位置為節(jié)點(diǎn)154。通常，吸振器安裝在振幅最大位置時(shí)，吸振效果最佳，因此文中選擇懸臂梁的第一階固有頻率f=26.34 Hz作為吸振頻率，其振型在 軸方向的最大位置為動力吸振器的安裝位置。

圖4 固有頻率26.34 Hz所對應(yīng)的振型圖Fig. 4 Natural frequency of 26.34 Hz corresponding the vibration mode

為了比較附加動力吸振器前后，其觀察目標(biāo)關(guān)于頻率的變化值，并且考慮到懸臂梁的第一階模態(tài)振型主要是集中在 軸方向，本文在主系統(tǒng)自由端的一個(gè)節(jié)點(diǎn)上沿 軸方向施加了一個(gè)單位載荷的簡諧激勵，這樣便能激勵出該階的振型。這里所取的頻率變化范圍為10～200 Hz。

3.2 附加質(zhì)量法得到等效質(zhì)量

質(zhì)量感應(yīng)法是普遍使用的一種方法。其原理是在動力吸振器或作動器的設(shè)置位置附加一個(gè)給定的質(zhì)量，再根據(jù)附加質(zhì)量前后對象結(jié)構(gòu)固有頻率的變化來得到主結(jié)構(gòu)的等價(jià)質(zhì)量[12-13]。由于是基于單自由度系統(tǒng)的假定而確立的方法，因而稱之為單自由度質(zhì)量感應(yīng)法。

主系統(tǒng)的等價(jià)質(zhì)量m和等價(jià)剛度k的計(jì)算式為：

式中：Δm為附加的給定質(zhì)量；

由于本文將動力吸振器安裝于第一階固有頻率

23.64 Hz的最大振幅處，因此，在該點(diǎn)附加一個(gè)0.06 kg的質(zhì)量塊。由式（9）可以得到等價(jià)質(zhì)量m=0.15 kg，等價(jià)剛度k=4 221 N/m。

3.3 動力吸振器參數(shù)設(shè)計(jì)

根據(jù)動力吸振器相關(guān)理論，質(zhì)量比越大，系統(tǒng)的吸振效果越好，吸振的頻帶也越寬。已有文獻(xiàn)證明當(dāng)設(shè)定的質(zhì)量比大于0.1時(shí)，若再增加附加吸振器的質(zhì)量，則其減振效果提高很緩慢，并且質(zhì)量比的增大會導(dǎo)致所附加的動力吸振器的質(zhì)量增大，從而使得總體的安裝布置變得困難[6-7]，故設(shè)定吸振器的質(zhì)量比為0.1。

懸臂梁第一階彎曲的模態(tài)固有頻率為26.34 Hz，由質(zhì)量感應(yīng)法得到主系統(tǒng)的等價(jià)質(zhì)量為0.15 kg，質(zhì)量比＝0.1，將其代入式（6）和式（7）中，可得動力吸振器的質(zhì)量為0.015 kg，剛度為348.8 N/m，阻尼為0.86 (N·s)/m。

3.4 吸振效果分析

應(yīng)用Abaqus軟件對動力吸振器進(jìn)行模態(tài)分析。先建立等效的單自由度模型，輸入各參數(shù)數(shù)值，最后計(jì)算其模態(tài)。由仿真分析可知，動力吸振器的固有頻率為23.54 Hz，阻尼比為0.19。

將所設(shè)計(jì)的動力吸振器安裝到懸臂梁的相應(yīng)位置，對其效果進(jìn)行模擬驗(yàn)證。圖5為裝入吸振器后的模型。對懸臂梁的左端進(jìn)行了全約束，在參考點(diǎn)RP-1上建立了一個(gè)等效吸振器的質(zhì)量點(diǎn)，并將其與節(jié)點(diǎn)154用彈簧和阻尼連接模擬動力吸振器。同時(shí)，在節(jié)點(diǎn)154施加了單位間諧激勵載荷。

圖5交互界面圖Fig. 5 Interaction interface

圖6 為安裝動力吸振器前后在節(jié)點(diǎn)154上的振動幅度響應(yīng)曲線圖。由圖可知，振動在26.34 Hz處得到了抑制，同時(shí)原主峰值的兩側(cè)出現(xiàn)了2個(gè)矮峰，2條曲線的交點(diǎn)處橫坐標(biāo)值分別為21.28, 30.16 Hz，即此動力吸振器的有效寬帶為8.80 Hz。振動的位移衰減在90%以上，其吸振效果十分明顯。

由仿真結(jié)果可知，根據(jù)理論所設(shè)計(jì)的動力吸振器能夠有效地抑制懸臂梁第一階固有頻率的振動，并且其有效帶寬較寬。

圖6 安裝動力吸振器前后節(jié)點(diǎn)154的振幅圖Fig. 6 The amplitude of node 154 before and after installation of vibration absorber

4 結(jié)語

文對有阻尼動力吸振器的基本原理進(jìn)行研究。以懸臂梁為例，先利用Abaqus軟件建立其模型，并進(jìn)行有限元模態(tài)分析；然后，針對懸臂梁模型的第一階固有頻率，應(yīng)用質(zhì)量感應(yīng)法得到了吸振器安裝位置上的等價(jià)質(zhì)量和等價(jià)剛度，為動力吸振器參數(shù)的設(shè)計(jì)提供有力的支撐；最后優(yōu)化有阻尼動力吸振器的參數(shù)，仿真分析在懸臂梁節(jié)點(diǎn)154上安裝動力吸振器后的吸振效果。仿真結(jié)果表明，該動力吸振器的吸振效果良好。

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（責(zé)任編輯：鄧 彬）

The Parameter Optimization and Application of Damping Absorber

Wang Weifeng1,2，Ding Zhiping1，He Caichun2，Tu Fengchen2，Mu Longhai1
（1. School of Mechanical Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China；2. Zhuzhou Time New Material Technology Co., Ltd.，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Aimed at vibration problems of a particular frequency, optimizes the parameters of the damping vibration absorber for the vibration absorption. Analyzed the cantilever beam modal, obtained the frequency of maximum contribution to vibration and determined the installation position of absorber; Applied the single free induction method to obtain equivalent mass and equivalent stiffness of dynamic vibration absorber on main vibration system installation position and built an equivalent single degree freedom system; Established the absorber mathematical model, and deduced theoretically the analytical solution for a single degree dynamic absorber and obtained three parameters for the absorber. Taking the cantilever beam as an example, applied Abaqus software to simulate the vibration response of test points attached to the vibration absorber front and back. The results showed that the vibration of test points was greatly decreased and the effectiveness of absorber was verified.

dynamic vibration absorber；cantilever beam；quality induction method；Abaqus software

TB123

A

1673-9833(2015)05-0040-05

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.05.009

2015-07-22

王衛(wèi)峰（1990-），男，湖南衡陽人，湖南工業(yè)大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度理論，E-mail：friendswwf@163.com