范龍?jiān)?，朱善華，徐承杰，文 平，文 偉

（1. 湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 湖南 株洲 412007；2. 湖南工業(yè)大學(xué) 冶金工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

具有有界干擾的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的一致性

范龍?jiān)?，朱善華1，徐承杰1，文 平2，文 偉1

（1. 湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 湖南 株洲 412007；2. 湖南工業(yè)大學(xué) 冶金工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

為了研究具有有界外部干擾的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的一致性，先利用變結(jié)構(gòu)控制方法提出具有有界外部干擾的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的一致性協(xié)議；再運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論、代數(shù)圖論和矩陣?yán)碚摚玫街C振子網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)一致的充分條件；最后利用數(shù)值模擬驗(yàn)證提出協(xié)議的有效性。

外部干擾；耦合諧振子；一致性

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和對(duì)象越來越復(fù)雜，網(wǎng)絡(luò)和系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制得到了人們的高度關(guān)注。如：無人機(jī)飛行的編隊(duì)控制，多智能體系統(tǒng)群集運(yùn)動(dòng)，分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)控制，多機(jī)器人編隊(duì)控制，人造衛(wèi)星群位姿控制[1-5]等。

在多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制中，一致性（或同步）是重要的研究內(nèi)容。由于耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)可以描述許多真實(shí)的自然現(xiàn)象，使得越來越多的學(xué)者對(duì)其一致性問題展開了討論。

Kuramoto模型是一種比較典型的耦合諧振子模型。在文獻(xiàn)[6]中，Y. Kuramoto提出實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)一致性的基本條件是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)是全局連通的。在文獻(xiàn)[7]中，Ren Wei研究了在網(wǎng)絡(luò)連通受限的條件下，線性二階耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)同步的問題，通過運(yùn)用代數(shù)圖論、矩陣?yán)碚摰?，得到網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)同步的條件。文獻(xiàn)[8]重點(diǎn)分析了在節(jié)點(diǎn)與鄰居節(jié)點(diǎn)連通動(dòng)態(tài)變化的網(wǎng)絡(luò)中，耦合諧振子實(shí)現(xiàn)同步。文獻(xiàn)[9]研究了非線性耦合諧振子的同步問題，運(yùn)用一個(gè)非線性方程式描述節(jié)點(diǎn)之間的耦合關(guān)系。文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[9]研究成果的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析，從節(jié)點(diǎn)與鄰居節(jié)點(diǎn)瞬時(shí)連通的角度，利用分布式控制協(xié)議，研究了耦合諧振子實(shí)現(xiàn)同步的問題。在文獻(xiàn)[11]中，Zhang Hua等考慮了數(shù)據(jù)丟失的情況，研究了耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)同步問題。文獻(xiàn)[12]提出了包含控制協(xié)議和基于采樣數(shù)據(jù)的包含控制協(xié)議，研究了在有向拓?fù)湎埋詈现C振子網(wǎng)絡(luò)的包含控制一致性問題。

許多學(xué)者從多個(gè)方面研究了耦合諧振網(wǎng)絡(luò)的一致性問題，但他們沒有考慮在有外部干擾的情況下，耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)如何實(shí)現(xiàn)一致性的問題。近年來，多智能體系統(tǒng)的理論研究發(fā)展迅速，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間。節(jié)點(diǎn)與環(huán)境之間都會(huì)有密切聯(lián)系和大量信息交換，如何抑制干擾讓系統(tǒng)達(dá)到一致性，已經(jīng)成為一個(gè)非常重要的現(xiàn)實(shí)問題。因此，本文研究具有有界干擾的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的一致性，并運(yùn)用代數(shù)圖論、矩陣?yán)碚撘约癓yapunov穩(wěn)定性理論，得到網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件。

文中用到的符號(hào)有：Rn表示n維歐式空間；,和分別表示一個(gè)矢量的1-范數(shù)、2-范數(shù)和∞-范數(shù)；表示張量積；In是n階單位矩陣。

1 預(yù)備知識(shí)和模型

2 具有有界干擾的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)的一致性

3 數(shù)值仿真

為了說明前文所提出控制協(xié)議的有效性，本章考慮一個(gè)由8個(gè)諧振子組成的網(wǎng)絡(luò)，對(duì)該網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)值仿真，此諧振子網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)見圖1。

圖1 諧振子網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋱DFig.1 The topology of harmonic oscillators network

該諧振子網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋱D對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣A=[aij]和拉普拉斯矩陣L=[lij]分別為：

本文選取諧振子的頻率 =3，設(shè)定虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的位置和速度為p0(0)=0.4，q0(0)=1。網(wǎng)絡(luò)中的所有諧振子的速度和位置的初始狀態(tài)都是隨機(jī)的，其中8個(gè)諧振子中只有1, 5, 6諧振子可以收到虛擬領(lǐng)導(dǎo)者發(fā)出的信號(hào)，得到的網(wǎng)絡(luò)速度軌跡和位置軌跡的仿真結(jié)果見圖2～3。

圖2 仿真網(wǎng)絡(luò)速度軌跡Fig.2 The velocity trajectory of simulated network

圖3 仿真網(wǎng)絡(luò)位置軌跡Fig.3 The position trajectory of simulated network

由仿真圖可知，網(wǎng)絡(luò)中所有諧振子在受到控制協(xié)議式（2）的控制下，可以跟蹤到虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的速度和位置，最終實(shí)現(xiàn)諧振子網(wǎng)絡(luò)的一致性。

4 結(jié)語

本文研究了具有有界干擾的諧振子網(wǎng)絡(luò)的一致性問題。提出了諧振子網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)一致性的控制協(xié)議，并運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論、代數(shù)圖論和矩陣?yán)碚?，得到了網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件。最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出的一致性協(xié)議的有效性。

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（責(zé)任編輯：鄧光輝）

The Consistency of Coupled Harmonic Oscillator Network with Bounded Disturbance

Fan Longyun1，Zhu Shanhua1，Xu Chengjie1，Wen Ping2，Wen Wei1

（1. School of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China；2. School of Metallurgical Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

For investigating the consistency of coupled harmonic oscillator network with bounded external disturbances，firstly proposed the consensus protocol by using the variable structure control method; Secondly based on Lyapunov stability theory, algebraic graph theory and matrix theory, obtained sufficient conditions for realizing the network consistency. Finally, used numerical simulation to verify the validity of the proposed protocol.

consensus；coupled harmonic oscillators；external disturbances

TP13；O322

A

1673-9833(2015)05-0102-05

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.05.021

2015-07-09

湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革基金資助項(xiàng)目（湘教通[2014]322），湖南工業(yè)大學(xué)自然科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（2014HZX23）

范龍?jiān)疲?990-），女，河北高碑店人，湖南工業(yè)大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)控制，E-mail：fanlongyun125@126.com