鄭剛，龔立森，周海祚，楊新煜

（濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室（天津大學），天津大學建筑工程學院，天津300072）

傾斜荷載下單排剛性樁復合地基極限承載力

鄭剛，龔立森，周海祚，楊新煜

（濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室（天津大學），天津大學建筑工程學院，天津300072）

剛性樁復合地基由于樁體發(fā)生破壞而達到地基極限承載力的問題缺乏研究。首先采用有限差分法確定傾斜荷載作用下條形基礎剛性樁復合地基破壞面形式，然后通過考慮樁體發(fā)生彎曲破壞時對地基承載力的貢獻，基于Tresca屈服準則和非對稱破壞模式，采用極限分析上限法推導出嚴格上限解的極限承載力系數(shù)，并應用蒙特卡洛隨機優(yōu)化方法給出最優(yōu)解。分析表明，當剛性樁復合地基樁體發(fā)生彎曲破壞時，破壞面隨荷載傾斜率和樁間距增加而變淺，隨樁徑和樁體強度的增加而變深，從而承載力系數(shù)隨樁體強度和樁徑的增大而增大，隨樁間距以及荷載傾斜率的增大而減小。在荷載傾斜率確定情況下，給出樁體強度、樁徑、樁間距的建議值。

剛性樁；復合地基；傾斜荷載；極限分析；破壞模式

0 引言

地基極限承載力是巖土工程中很重要的一個問題。在豎向荷載[1-2]和地震荷載作用下[3]天然地基的極限承載力得到了較為全面的研究。天然地基極限承載力通常是按照Terzaghi[1]建議的采用考慮各個參數(shù)（土體黏聚力c，土體重度γ，超載q）貢獻的承載力系數(shù)線性疊加的方法：

式中：Nc、Nq、Nγ分別表示黏聚力，超載和土重相應的承載力系數(shù)。

復合地基中由于豎向加固體的存在，其破壞模式有別于天然地基，須考慮加固體對承載力的貢獻。通常復合地基在豎向荷載作用下，單根樁

破壞模式可以分為3種：鼓脹破壞（Brauns[4]）、剪切破壞（Madhav等[5]）、刺入破壞（Aboshi等[6]）。

Brauns[4]考慮豎向荷載作用下散體樁發(fā)生單樁鼓脹破壞，根據極限平衡推導了承載力公式；Madhav等[5]假設散體單樁剪切破壞，基于極限分析研究了不同參數(shù)對承載力的影響。剛性樁在豎向荷載作用下易發(fā)生刺入破壞，Aboshi等[6]考慮其承載力為樁端阻力和側摩阻力之和；傾斜荷載下，Broms[7]得出剛性樁易發(fā)生彎曲破壞。

鑒于剛性樁復合地基破壞機理和極限承載力問題復雜，以及路堤下復合地基中剛性樁樁體彎曲破壞的模式已得到較深入研究（鄭剛[8]），本文研究傾斜荷載作用下剛性條形基礎單排剛性樁發(fā)生彎曲破壞條件下復合地基極限承載力問題，采用Tresca屈服準則和非對稱破壞模式，推導出嚴格上限解的極限承載力系數(shù)，用數(shù)學優(yōu)化方法給出最優(yōu)解，討論承載力系數(shù)與荷載傾斜程度、樁徑、樁間距、樁體強度的關系，并給出相應的建議值。

1 破壞模式的確定

Soubra等[3]對傾斜荷載作用下天然地基承載力分析假定破壞面為基于三角形和對數(shù)螺旋線相結合的非對稱破壞模式（圖1所示），然而該模式對于剛性樁復合地基的適用性有待驗證。通過有限差分法對天然地基極限承載力破壞面進行驗證，進而得到剛性樁復合地基破壞面的形式。

圖1 Soubra破壞模式Fig.1 Failure mechanism for bearing Soubra

1.1 計算模型

建立單排剛性樁復合地基有限差分模型，為簡化研究，本文視樁體和土體為理想彈塑性體，服從Tresca屈服準則。模型側向邊界限制其水平方向的位移，底邊限制豎向及水平向的位移。

計算模型中飽和黏土的不排水抗剪強度cu= 15 kPa，泊松比ν=0.45。樁體的強度cpile=750 kPa（即cpile=50 cu），泊松比ν=0.3。計算模型剖面和截面如圖2所示。

計算中采用控制剛性基礎豎直和水平位移的方式進行加載，通過試算，計算中每一步增量步長所施加的變形量為5×10-6m/時步。

1.2 破壞面形式

通過計算分別得到了相同土體參數(shù)和加載情況下無樁和有樁兩種情況的地基極限承載力的破壞面，如圖3所示。

在無樁（a）、（b）情況下破壞面與Soubra等[3]假設的破壞面相一致，在有樁（c）、（d）情況下破壞面與無樁相比，破壞面基本滿足三角形和對數(shù)螺旋線組合形狀，只是破壞面由于樁體的存在相對變深，并且樁體發(fā)生彎曲破壞的位置基本與破壞面位置相吻合。

圖2 計算模式Fig.2 Number mechanism

2 極限承載力分析

為了簡化樁體對地基極限承載力貢獻的研究，本文將土體和無筋樁體均看成只有參數(shù)cu的材料，即土體參數(shù)只有不排水抗剪強度cu，樁體的抗剪強度為cpile，cpile=Kcu，K為樁土系數(shù)比，因此Terzaghi[1]極限承載力公式（1）簡化為：

2.1 上限定理

極限分析上限法采用塑性理論：1）材料為理想塑性材料；2）屈服方程滿足在應力空間內外凸；3）土體服從相關聯(lián)流動法則。對于任何運動許可的破壞機構，內能耗散率不小于外力功率。

式中：左邊項為內能耗散率D，右邊兩項為外力所做的功率E；σij為通過關聯(lián)流動法則確定的應力場；ε˙ij為運動許可速度場中的塑性應變率場；Ti，Xi為邊界Γ上的面積分布力矢量和滑動體區(qū)域V內的體積力矢量；vi為機動允許的速度場。

圖3 粗糙基礎下地基破壞模式Fig.3 The failure mechanism for foundation under rough footing

2.2 破壞模型

傾斜荷載作用下，豎向承載力由樁體提供的軸向抗力Q和樁體發(fā)生彎曲破壞時樁土共同提供的抗力P組成，如圖4。軸向抗力Q可以通過Poulos[9]的方法求解，本文只對樁體彎曲破壞時地基所能提供的抗力P和水平力KhP進行分析研究。

圖4 破壞模式及速度相容關系Fig.4 Failure mechanism and velocity hodograph

根據有限差分法結果，Soubra等[3]假定的破壞模型對于單排剛性樁復合地基依然適用。破壞面（圖4）由2個直角三角形剛體和夾角為β的圓形均勻變形區(qū)域組成，三角形直角邊與圓弧相切。

2.3 基本假定

傾斜荷載下剛性樁的破壞方式較為明確，根據Poulos[9]的結論：黏性土中剛性樁，樁土水平向承載力與豎向承載力相互獨立且樁側土壓力均勻分布。為避免群樁復合地基涉及的復雜樁土相互作用問題，本文分析對象為飽和黏性土中單排剛性樁復合地基，對樁體破壞機理和復合地基破壞模式做出如下假定：

1）由于受水平荷載的作用，根據Kitazume[10]的實驗結果，假定樁體達到其彎曲強度時發(fā)生破壞，樁體所能承受的水平向抗力與單樁破壞時一致，不考慮樁土之間相互作用。

2）根據Kitazume[10]、鄭剛[8]的離心機實驗結果和本文有限差分法結論，土體發(fā)生塑性滑動面的位置基本和樁體彎曲破壞位置吻合，因此假定不配筋的素混凝土剛性樁樁體破壞位置位于土體塑性滑動面，樁體破壞與土體滑動面同時產生。

2.4 樁體破壞模式

對于橫截面為圓形的樁體，如圖5所示，其中D1為樁體中心距，D2為樁體間距，λ=D2/D1表示樁間距系數(shù)，d=D1-D2表示樁徑（由于剛性地基寬度B=1，d也代表樁徑與基礎寬度比）。

圖5 樁體破壞模式Fig.5 Failure mechanism for column pile

在樁體破壞點處彎矩平衡可得：

式中：qσ為樁體彎曲破壞時q的取值；σb為樁體抗彎強度。

根據Kitazume[10]的試驗結果，剛性樁彎曲強度σb≈0.4qu，qu為樁體無側限抗壓強度，因此可以得出σb=0.8Kcu。在剛性樁復合地基極限承載力破壞模式下，計算樁體貢獻，根據圖5有：

整理得：

2.5 極限承載力系數(shù)

根據以上假設，ΔABE沿AB以速度v斜向下整體滑動，ΔCDE沿CD以速度v斜向上整體滑動，圓弧面以角速度ω繞E點旋轉，其中ω=v/lBE。

ΔABE在AB上的耗散功率為：

ΔCDE在CD上的耗散功率為：

圓弧BC上耗散功率為：

圓內部耗散功率為：

樁體提供的耗散功率為：

外部功率為：

以上算式中邊長關系如下：

根據公式（3），機構耗散功率等于外功率，則復合地基承載力系數(shù)為：

3 結果分析

3.1 天然地基時的結果驗證

極限承載力系數(shù)Nc是關于參數(shù)α和β的函數(shù)。利用Matlab采用蒙特卡洛隨機優(yōu)化方法對公式（15）編程求最優(yōu)解，其中0<α<90，0<β< 180-α。

在豎直荷載（及Kh=0時）作用下，不考慮樁體提供的抗力（及Kp=0時），破壞模式承載力系數(shù)公式可以退化為：

公式（16）與Chen[2]推導的結論相一致，Nc值為5.14（與經典的上限解下限解π+2一致，為精確解）。

在傾斜荷載作用下，當不考慮樁體提供的抗力時的對比結果如表1。

表1 承載力系數(shù)對比Table1 The comparison of bearing capacity coefficient

以上對比說明本文所推導的上限解在均質土體時具有較高的精度，結果可靠，可進一步開展樁體對承載力貢獻和相應參數(shù)分析。

3.2 破壞面和承載力系數(shù)分析

圖6表明隨著荷載傾斜率Kh的增加，破壞面逐漸變淺。當Kh=0.5時對于天然地基破壞面基本只在土體表面。由于水平荷載的作用，地基破壞面逐漸變小變淺，從而導致地基極限承載力會急劇減小。圖6（a）和6（b）對比中可以看出在傾斜荷載作用下剛性樁對破壞面有很大的改良作用。

圖7可以看出隨著樁土強度比K的增加，破壞面逐漸加深，說明由于樁體的存在將荷載傳遞到深部土體中，從而調用了更多的土體參與運動，增大了地基承載力。但當樁土強度比K達到某一值時，K對破壞面的影響減小。

圖8表明隨著樁間距系數(shù)λ的減小，破壞面逐漸加深。當樁間距系數(shù)λ達到某一值時，λ對破壞面的影響減小，即樁間距系數(shù)λ達到某一范圍后，改變λ對破壞面的影響可以忽略。

圖9表明隨著樁徑與基礎寬度比d的增加，破壞面逐漸加深，理論上意味著樁徑與基礎寬度比d越大，對破壞面的改良程度越好。

圖6 Kh的影響Fig.6 Effect of Kh

圖7 K對破壞面的影響Fig.7 Effectof K on the failure surface

圖8 λ對破壞面的影響Fig.8 Effectofλon the failure surface

圖9 d對破壞面的影響Fig.9 Effect of d on the failure surface

3.3 極限承載力系數(shù)Nc影響的參數(shù)分析

圖10表明，隨著荷載傾斜率Kh的增大，破裂面逐漸變淺，從而土體產生的能量耗散減小，復合地基極限承載力系數(shù)Nc急劇減?。簾o樁情況下，當水平荷載達到豎向荷載一半時，破裂面幾乎與地表相接近，如圖6（a），承載力系數(shù)降低近60%；當有樁的情況下，破裂面距離地表有很大距離，如圖6（b），土體能夠產生較大的能量耗散，從而承載力系數(shù)Nc降低的程度較小，當水平荷載達到豎向荷載一半時承載力系數(shù)也只降低了近30%（K=40）?？梢?，樁體不僅可以提供相應的抗力，還對破壞面產生很好的改良作用。

圖10 Kh對承載力系數(shù)的影響Fig.10 Effect of Khon the coefficient of bearing capacity

圖11 表明，在傾斜荷載作用下復合地基極限承載力系數(shù)Nc隨著樁土強度比K的增大而增大，荷載傾斜率Kh較大的情況下樁土強度比K對極限承載力的提高越明顯，水平荷載達到豎向荷載一半（Kh=0.5）時承載力系數(shù)提高了近130%。建議0≤Kh≤0.3時K在20～40范圍取值；0.3≤Kh≤0.5時K在40～60范圍取值。

圖11 K對承載力系數(shù)的影響Fig.11 Effect of K on the coefficient of bearing capacity

圖12表明，在傾斜荷載作用下復合地基極限承載力系數(shù)Nc隨著樁間距系數(shù)λ的減小而增大，當樁間距系數(shù)λ達到某范圍時，λ對承載力系數(shù)的影響減小。建議0≤Kh≤0.3時λ在0.8～0.7范圍取值；0.3≤Kh≤0.5時λ在0.7～0.6范圍取值。

圖12λ對承載力系數(shù)的影響Fig.12 Effect ofλon the coefficient of bearing capacity

圖13 表明，在傾斜荷載作用下復合地基極限承載力系數(shù)Nc隨著樁徑與基礎寬度比d的增大而增大，當樁徑與基礎寬度比d達到某一值時，d對承載力系數(shù)的影響減小。建議0≤Kh≤0.3時d在0.1～0.3范圍內取值；0.3≤Kh≤0.5時d在0.3～0.5范圍內取值。

圖13 d對承載力系數(shù)的影響Fig.13 Effect of d on the coefficient of bearing capacity

4 結語

傾斜荷載作用下剛性基礎單排剛性樁復合地基利用極限分析上限法對其破壞模式和極限承載力系數(shù)進行研究，通過分析得出以下主要結論：

1）在傾斜荷載作用下，當其他參量一定時，復合地基破壞面隨著傾斜荷載的增大逐漸變小變淺，極限承載力系數(shù)Nc也隨之減小。

2）在傾斜荷載作用下，剛性樁對地基極限承載力提高作用明顯，當其他參量一定時，復合地基極限承載力系數(shù)Nc隨著樁土強度比K和樁徑與基礎寬度比d的增大而增大，其對應的破壞面也逐漸加深；隨著樁間距系數(shù)的減小而增大，其對應的破壞面逐漸加深。

3）合理控制樁體強度、樁間距和樁徑顯得尤為重要，對荷載傾斜率0≤Kh≤0.3時，建議樁土強度比K=20～40，樁間距系數(shù)λ=0.6～0.8，樁徑與基礎寬度比d=0.3。傾斜荷載0.3≤Kh≤0.5，建議樁土強度比K=40～60，樁間距系數(shù)λ=0.6，樁徑與基礎寬度比d=0.4～0.5。

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Ultimate bearing capacity of single row rigid pile composite foundation under inclined load

ZHENG Gang,GONG Li-sen,ZHOU Hai-zuo,YANG Xin-yu
（Key Laboratory of CoastCivil Structure Safety(Tianjin University)of Ministry of Education,Schoolof Civil Engineering, Tianjin University,Tianjin 300072,China）

The influence of the collapse of the pile on the ultimate bearing capacity of the rigid pile composite foundation has not been investigated deeply.A finite difference method was adopted to study the failure mode of the ground improved by the rigid pile under inclined load.Based on the Tresca yield criterion and non-symmetric failure mechanism was proposed by upper-bound solution,which considered the contribution ofthe rigid pile.The optimalsolution was obtained by the Monte Carlo Method.The results show that the critical failure mode for rigid pile is bending failure.The observed slip surface of the composite ground becomes shallower with the increase of the load inclination ratio and the pile spacing,while it becomes deeper as the pile strength and the pile diameter increase.Correspondingly,bearing capacity coefficient increases with the pile strength and the pile diameter,but decreases with load inclination ratio and the pile spacing.The recommended values of the strength ofthe pile,the pile diameter and the spacing of the piles were proposed.

rigid pile;composite foundation；inclined load;limit analysis;failure mode

U655.544；TU473

A

2095-7874（2015）12-0001-06

10.7640/zggwjs201512001

2015-09-28

2015-11-12

鄭剛（1967—），男，貴州甕安人，教授，博士，博士生導師，從事土力學及巖土工程教學與科研工作。E-mail：zhenggang1967@163.com