楊海霞

(蘭州文理學(xué)院師范學(xué)院，蘭州 730000)

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)要有一種精神，用大數(shù)學(xué)家華羅庚的話來說，就是要有“學(xué)、思、鍥而不舍”的精神。高等數(shù)學(xué)中的一些內(nèi)容如積分上限函數(shù)、函數(shù)的連續(xù)與間斷、積分的換元法等一時很難理解，需要每個同學(xué)反復(fù)琢磨、反復(fù)思考、反復(fù)訓(xùn)練，通過典型例題比較，才能真正掌握。本文以積分學(xué)中一類特殊的、有著廣泛應(yīng)用的但又難掌握的積分上限函數(shù)為例，說明如何應(yīng)用這一方法，將所學(xué)內(nèi)容經(jīng)過思考加工、歸納總結(jié)，使學(xué)生輕松地鞏固所學(xué)知識，提高學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。

在積分學(xué)中，為證明原函數(shù)的存在定理和牛頓－萊布尼茲公式，引進(jìn)積分上限函數(shù)(或變上限定積分)的概念［1－2］。積分上限函數(shù) F(x)=的自變量是上限變量x，在求導(dǎo)時是關(guān)于x求導(dǎo)，但在求積分時，則把x看作常數(shù)，積分變量t在積分區(qū)間［a，x］上變動。

1 積分上限函數(shù)

1.1 積分上限函數(shù)的性質(zhì)

定理1［2］如果 f(x)在［a，b］上可積，則上連續(xù)。

定理2［2］如果 f(x)在［a，b］上連續(xù)，則上可導(dǎo)，且 F'(x)=

1.2 特殊的積分上限函數(shù)

以上介紹了積分上限函數(shù)的相關(guān)知識，下面以積分上限函數(shù)中的代表性問題為例［3-6］，詳細(xì)說明如何靈活應(yīng)用歸類法解決與此類函數(shù)有關(guān)的實際問題。

2 積分上限函數(shù)的應(yīng)用

2.1 極限問題

這類問題的求解經(jīng)常會用到洛必達(dá)法則。

2.2 求導(dǎo)問題

1)計算導(dǎo)數(shù)

2)討論單調(diào)性

例6設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)且f(x)＞0，討論 φ(x)在(0，+∞)的單調(diào)性。思路:利用F'(x)的符號可以判定。答案:單調(diào)增加。

2.3 最值極值問題

利用可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)的極值點問題，進(jìn)而討論最值問題。

例7 如圖1所示，在區(qū)間［1，e］上求一點ξ，使得圖中所示的陰影部分的面積為最小。思路:陰影部分的面積可以表達(dá)為兩個變限定積分之和:-lnt)dt，然后通過導(dǎo)數(shù)S(x)求出其駐點。答案

圖1 例7

2.4 積分問題

1)求積分

反向支付和解協(xié)議雖然能使原研藥企業(yè)和首仿藥申請人實現(xiàn)利益的最大化，但卻損害了消費者利益。首仿藥上市時間的推遲將對仿制藥市場競爭造成損害，也給藥物可及性帶來不利影響。為對反向支付和解行為進(jìn)行規(guī)制，美國不僅對專利鏈接制度本身進(jìn)行了修改，而且還通過反壟斷審查機制對有關(guān)和解協(xié)議進(jìn)行審查。

2)含有未知函數(shù)的變上限定積分的方程的求解問題

例13設(shè)f(x)為正值連續(xù)函數(shù)，f(0)=1，且對任一 x＞0，曲線 y=f(x)在區(qū)間［0，x］上的一段弧長等于此弧段下曲邊梯形的面積，求此曲線方程。說明:根據(jù)題設(shè)列出方程中含有f(x)的積分上限函數(shù)。答案

2.5 證明一些積分不等式或等式等

1)證明積分不等式

說明:這類題通?？蓸?gòu)造一個輔助函數(shù)，利用該函數(shù)的單調(diào)性來證明。

例14(Cauchy-Swartz不等式) 設(shè)f(x)，g(x)均在［a，b］上連續(xù)，則思路:利用積分上限函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)，令，則F(a)=0，求出F'(x)并證明F'(x)≥0，從而F(x)單調(diào)增加，于是得 F(b)≥F(a)=0，由此可得結(jié)論。

例15設(shè)f(x)在［0，1］上連續(xù)且單調(diào)減少，證明:對任一0＜λ＜1，有提示:即證令F(x)=通過證明F'(x)≤0可證F(x)單調(diào)減少，即可得結(jié)論。

2)證明與中值定理有關(guān)的某些積分等式。

例16設(shè)f(x)，g(x)在［a，b］上連續(xù)，求證:存 在ξ∈(a，b)，使說明:令在［a，b］上用Rolle定理即可證得結(jié)論。

例17(積分中值定理) 若函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)，則在［a，b］上至少存在一點 ξ，使得說明:令 f(x)=則用Lagrange中值定理即可證得結(jié)論。

2.6 奇偶性與周期性的應(yīng)用

例18設(shè)f(x)是周期為T的連續(xù)函數(shù)，證明:對于任意的a∈R，有證明:構(gòu)造輔助函數(shù)F(a)dx，所以 F'(a)=f(a+T)-f(a)=0，從而 F(a)=C，又因為 F(0)=，所以，即

高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必建立在理解和熟練解題的基礎(chǔ)上，死記硬背無濟于事。從本文的探討中可體會到歸納總結(jié)為人們思維提供了更廣闊的“自由創(chuàng)造”的天地［7－10］，在學(xué)習(xí)其他知識時也可以觸類旁通，從而可提高學(xué)習(xí)的興趣。

［1］同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):上冊［M］.5版.北京:高等教育出版社，2004.

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