劉少文，林澤峰，楊翊仁

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031)

懸臂梁的振動(dòng)是一類重要的力學(xué)模型。由于實(shí)際需要，許多真實(shí)物體是放置在水中的，例如橋墩，它們可以被認(rèn)為是懸臂梁置于水中，對(duì)其振動(dòng)分析時(shí)，水的作用是不能忽視的。懸臂梁在水中的固有特性研究是一個(gè)具有理論和實(shí)際意義的課題，它屬于流固耦合動(dòng)力學(xué)分析領(lǐng)域。在現(xiàn)有研究中，許多情況下考慮水深與梁高相等，然后用無水情況下的梁自由振動(dòng)的振型函數(shù)作為基函數(shù)，將有水振型函數(shù)按無水振型函數(shù)作級(jí)數(shù)展開［1－2］，或者是考慮部分有水情況時(shí)直接將兩段方程分別列出來，求出兩段的帶系數(shù)的精確解，然后根據(jù)梁的邊界條件和兩段對(duì)接條件列出以待定系數(shù)為未知量的線性方程組進(jìn)行求解［3］。本文對(duì)不同水深情況下梁振動(dòng)的固有頻率的變化情況進(jìn)行了探討，并使用Galerkin離散法和以ANSYS軟件為平臺(tái)的有限元法兩種方法進(jìn)行計(jì)算和結(jié)果對(duì)比，給出了圓截面梁的前兩階固有頻率隨水深的變化規(guī)律［4－15］。

1 振動(dòng)方程的建立

懸臂梁坐標(biāo)示意圖如圖1所示?？紤]懸臂梁豎直放置，其長(zhǎng)度為H，入水部分為0～h，懸臂梁橫截面為半徑為a的圓，則由振動(dòng)力學(xué)理論可知梁在空氣中的橫向自由振動(dòng)的振動(dòng)方程為:

圖1 懸臂梁坐標(biāo)示意圖

梁作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則令

代入式(1)可得

其中:EI為梁的彎曲剛度;ρ為梁的密度;A為橫截面積。

對(duì)于入水懸臂梁部分，本文進(jìn)行如下假設(shè):水為不可壓縮、無黏性的理想流體，并且忽略水表面自由波的影響。則流體運(yùn)動(dòng)的速度勢(shì)ψ滿足Laplace方程，其在柱坐標(biāo)中的形式為

使用分離變量法，令

代入方程(4)，并根據(jù)相應(yīng)邊界條件可得［3］:

其中:h為水的深度;ρ0為水的密度。因此入水部分梁的彎曲自由振動(dòng)方程為

自由振動(dòng)時(shí)，梁振型隨時(shí)間變化為諧振規(guī)律，消去時(shí)間項(xiàng)則可將方程(8)變?yōu)槿缦滦问?

綜合方程(1)和方程(9)，可以得到該懸臂梁的橫向振動(dòng)方程為:

2 振動(dòng)方程的求解

采用Galerkin法離散方程(10)。根據(jù)Galerkin法的原理，若系統(tǒng)振動(dòng)方程為L(zhǎng)(X)－λM(X)=0，L，則 M為2p次微分算子。選取比較函數(shù)X1，X2，…，Xn，令，則應(yīng)該滿足

本文選取:

其中:

式(12)存在非零解的條件為

解此廣義特征值問題，變化水深參數(shù)h就可以得到部分入水懸臂梁的前兩階固有頻率隨水深的變化規(guī)律。

3 算例

取a=0.02 m，H=1 m，ρ=2 400 kg/m3，ρ0=1 000 kg/m3，E=2.44 GPa，水深變化可以分別取h=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1 m，計(jì)算得到部分入水懸臂梁的前兩階固有頻率見表1。

為了對(duì)比計(jì)算結(jié)果的精度，本文還使用了有限元方法分析該系統(tǒng)，分析過程在ANSYS軟件平臺(tái)上進(jìn)行。

本算例中，懸臂梁使用solid45單元模擬，水使用fluid30單元模擬，水和梁的幾何模型均為圓柱體。為了使分析結(jié)果更加精確，水模型的半徑設(shè)置為梁半徑的10倍。將梁?jiǎn)卧退畣卧佑|的地方使用FSI方法進(jìn)行耦合，施加相應(yīng)的約束條件后變化水深參數(shù)，分別進(jìn)行模態(tài)分析就能得到梁的前兩階固有頻率隨水深的變化規(guī)律，如表2所示。

表1 采用Galerkin法計(jì)算的不同水深下的前兩階固有頻率

表2 采用ANSYS計(jì)算的不同水深下的前兩階固有頻率

將表1和表2中的相應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，分別得到兩種方法計(jì)算的1階固有頻率和2階固有頻率隨水深的變化情況曲線，見圖2和3。

圖2 不同水深1階固有頻率對(duì)比曲線

圖3 不同水深2階固有頻率對(duì)比曲線

從圖2和3中可以看出:懸臂梁的前兩階固有頻率隨水深的增加而下降。為了更加清晰地得到下降的具體情況，將不同水深下的彎曲梁固有頻率同無水情況下固有頻率作比值，令比值為c，可以得到比值c隨水深的變化情況，如圖4和5所示。

圖4 不同水深的一階固有頻率比值對(duì)比曲線

圖5 不同水深的二階固有頻率比值對(duì)比曲線

4 結(jié)論

通過計(jì)算結(jié)果可知:隨著水深的增加，圓截面懸臂梁彎曲振動(dòng)的前兩階固有頻率逐漸減小。滿水時(shí)，采用Galerkin法計(jì)算的1階固有頻率減為無水頻率的85.91%，采用ANSYS軟件計(jì)算的則為無水頻率的84.40%。同樣，2階固有頻率減為無水頻率的 85.97%(Galerkin法計(jì)算結(jié)果)和84.71%(ANSYS軟件計(jì)算結(jié)果)。計(jì)算結(jié)果表明:水對(duì)于懸臂梁振動(dòng)的影響相當(dāng)于分布附加質(zhì)量的作用，附加質(zhì)量隨著水深增加而增大，附加質(zhì)量的影響降低了梁的固有振動(dòng)頻率。

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