基于四點偏置法的非可展直紋面?zhèn)茹姷段挥嬎?/h1>
2015-12-06 09:32:52劉志兵王西彬
圖學(xué)學(xué)報 2015年6期
嚴(yán) 濤， 劉志兵， 王西彬， 樊 勇
(北京理工大學(xué)機械與車輛學(xué)院，北京 100081)
基于四點偏置法的非可展直紋面?zhèn)茹姷段挥嬎?/p>
嚴(yán)濤， 劉志兵， 王西彬， 樊勇
(北京理工大學(xué)機械與車輛學(xué)院，北京 100081)
針對非可展直紋面五軸側(cè)銑加工的問題，分析了非可展直紋面幾何特點，根據(jù)等距映射下的極差不變性，提出了一種計算非可展直紋面葉片五軸側(cè)銑刀位數(shù)據(jù)的新方法。以刀具包絡(luò)面與設(shè)計曲面之間的整體誤差為優(yōu)化目標(biāo)，建立了圓柱銑刀側(cè)銑非可展直紋面的刀位計算方法，運用四點偏置法確定初始刀位，采用最小二乘法對初始刀位進行優(yōu)化，建立刀軸矢量偏轉(zhuǎn)模型進一步修正刀位以減小過切誤差。通過實例計算分析，表明該方法可以在一定程度上減小加工誤差。
非可展直紋面；五軸側(cè)銑；四點偏置法；刀位計算
非可展直紋面由直母線沿導(dǎo)線掃掠形成，是非可展的。以直紋拋物面為例，一條導(dǎo)線為直線，另一條導(dǎo)線為拋物線，直母線兩端分別沿不同軌跡掃掠形成曲面。直母線上各點的法矢方向不同，將曲面離散，可以得到曲面上多條方向各不相同的直線。
整體葉輪葉片型面通常采用非可展直紋面，由于其曲面特性復(fù)雜，在數(shù)控加工中屬于難度比較大的一類零件。為了滿足精度需求，國內(nèi)外學(xué)者大多從曲面的設(shè)計方法和加工方法兩方面開展研究。Li等[1]提出最小二乘法、加權(quán)內(nèi)部控制點法和無加權(quán)的內(nèi)部控制點法三種側(cè)銑曲面設(shè)計方法，分別對柱刀和錐刀進行了討論。同時，對非可展直紋面加工方法的研究也一直是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點。Liu[2]提出了適用于柱刀側(cè)銑的單點偏置法(single point offset，SPO)和雙點偏置法(double point offset，DPO)。Redonnet等[3]提出了用于柱刀側(cè)銑加工的三點規(guī)劃方法，可以有效減小刀具表面與加工曲面的干涉，提高加工精度，但是該方法需要求解7個超越方程，計算比較復(fù)雜。Bedi等[4]提出一種圓柱刀加工直紋面的方法，刀具與兩準(zhǔn)線相切，接觸點的參數(shù)值相等，最大過切發(fā)生在接近表面中間的部分。席光等[5]提出基于半徑和角偏置的直紋面加工刀位生成算法，消除母線兩端法矢異向引起的過切誤差。Li等[6]提出空間切點位移法，在刀具與準(zhǔn)線相切的同時增加沿母線方向的滑移，應(yīng)用刀位規(guī)劃三步優(yōu)化法，減小了加工誤差，這種算法計算精確度高，但計算非常復(fù)雜，不便于編程實現(xiàn)。Chu等[7]在刀位規(guī)劃時考慮插值采樣時間引起的加工誤差，提出速度控制模型。朱利民等[8]提出一種針對圓錐刀側(cè)銑加工的刀具路徑優(yōu)化方法，通過刀具包絡(luò)面有向距離函數(shù)，構(gòu)造出基于導(dǎo)數(shù)信息的刀具包絡(luò)面到設(shè)計曲面的最佳一致逼近算法。Gong等[9]引入極差的概念，提出了三點偏置法來確定初始刀位，采用最小二乘法優(yōu)化刀位。本文在三點偏置法及其改進算法的基礎(chǔ)上，將整體優(yōu)化方法和局部優(yōu)化方法結(jié)合起來，運用四點偏置法計算初始刀位，并對所生成刀位進行刀軸矢量修正，進一步減小了過切誤差。計算結(jié)果表明，本方法精度更高，具有較高的工程實用價值。
1 非可展直紋面?zhèn)茹娂庸だ碚摶A(chǔ)
1.1刀位規(guī)劃中的曲面分析
非可展直紋面的特點是直母線上各點的法矢方向不同，任何半徑不為零的刀具對其進行側(cè)銑都存在理論誤差，刀具包絡(luò)面不能與設(shè)計曲面完全相切，對于這種曲面的側(cè)銑加工采用曲面逼近加工?？紤]整體約束和局部約束，合理規(guī)劃刀位軌跡，使誤差范圍盡可能小，是側(cè)銑加工這類曲面的關(guān)鍵。
側(cè)銑非可展直紋面葉片刀位規(guī)劃主要涉及4類曲面：設(shè)計曲面、刀具包絡(luò)面、設(shè)計曲面等距面、刀軸軌跡面。4類曲面對應(yīng)關(guān)系如圖1所示，其中柱刀的刀具包絡(luò)面和刀軸軌跡面是一對等距面。
圖1中，設(shè)計曲面是由整體葉輪葉片所形成的非可展直紋面；刀具包絡(luò)面是側(cè)銑加工時刀具側(cè)刃在空間運動的掃掠軌跡面；刀軸軌跡面是側(cè)銑加工中，刀具軸線掃掠形成的直紋軌跡面。刀軸軌跡面包含了刀具空間運動的全部信息，因此刀位規(guī)劃實質(zhì)上是構(gòu)造出一個刀軸軌跡面，使刀具包絡(luò)面盡可能逼近設(shè)計曲面，從而減小加工誤差。
1.2幾種側(cè)銑加工刀位規(guī)劃方法的誤差對比
直紋面?zhèn)茹娂庸さ段灰?guī)劃方法包括兩點偏置法、兩點偏置優(yōu)化法、三點偏置法、三點偏置優(yōu)化法等，本文針對以上4種方法進行誤差分析。圖2為各算法誤差對比。其中橫坐標(biāo)v代表點在直母線上的位置，范圍為[0,1]。
圖2 各算法誤差分布
三點偏置優(yōu)化法在三點偏置法的基礎(chǔ)上進行了改進，兩端點沿刀軸矢量進行了滑移，使誤差范圍進一步減小。但是該方法在v=0和v=1兩端點處誤差不為零，理論殘留高度不為零，不適合分片側(cè)銑的情況。三點偏置法相對于兩點偏置法及兩點偏置優(yōu)化法在精度上有很大提高，三點偏置優(yōu)化法在三點偏置法的基礎(chǔ)上進行改進，加工誤差進一步減小，但是端點處無限制，不適用于分片側(cè)銑。本文在此基礎(chǔ)上提出一種新的刀位計算方法。
2 柱刀側(cè)銑加工的刀位計算方法
根據(jù)微分幾何中等距映射下的極差不變性可知，刀具包絡(luò)面和設(shè)計曲面的極差與刀軸軌跡面和設(shè)計曲面等距面之間的極差相等，因此可以將刀位的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿绾伪M可能減小刀軸軌跡面和設(shè)計曲面等距面的誤差，即：①利用四點偏置法確定刀具的初始位姿；②以最小二乘法對初始刀位進行優(yōu)化，進一步減小誤差帶范圍；③對各刀位進行過切誤差檢測并對刀位進行最終修正。
2.1確定初始刀位的四點偏置法
直紋面定義為：
其等距面定義為：
其中，R為柱刀刀具半徑；B0(u)和B1(u)為兩條曲線的矢徑；n(u,v)為曲面單位法矢。
四點偏置法確定初始刀位的步驟如下(如圖 3所示)：
步驟 2. 設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)值 ε，并引入范圍在[0，0.5]的λ，分別以v=λ和v=1–λ選定四點法中間兩點的位置，分別用E1和E2表示兩點與設(shè)計曲面等距面上對應(yīng)點的距離。為了避免優(yōu)化時刀軸偏轉(zhuǎn)過大，各刀位P3點滑動范圍設(shè)定為其中h為走刀步長與準(zhǔn)線長度之比。
步驟3. 固定P0點，令P3點在內(nèi)滑動，可以得到一族P0P3，分別計算每一步中當(dāng)滿足E ＜ ε時，該直線即確定為初始刀位的刀軸方向。
圖3 四點偏置法計算流程
圖4 初始刀軸的確定
四點偏置法的實質(zhì)是在設(shè)計曲面四條曲線上尋求四點，讓其沿著曲面法矢偏移一個刀具半徑R得到對應(yīng)四點，使之精確逼近一條直線，其直線的方向即為刀軸方向。四點偏置法相對于三點偏置優(yōu)化法精度更高，且兩準(zhǔn)線處誤差為零，兩次走刀理論殘留高度為零，適用于分片側(cè)銑。
將λ作為已知量帶入模型進行初始刀位計算，然而實際加工時λ取何值時初始刀位誤差最小是需要計算的。取0.1～0.4之間間隔為0.1的4個λ值，分別進行上述步驟確定初始刀位，對于每個λ生成的初始刀位進行 B樣條擬合得到各初始刀軸軌跡面，計算各軌跡面與設(shè)計曲面等距面的誤差范圍，進行插值得出使誤差范圍最小的λ，即為所求。
2.2確定優(yōu)化刀位的最小二乘法
由上述算法得到的刀軸矢量能保證在單刀位局部最優(yōu)，利用蒙面法插值所得直紋面為初始刀軸軌跡面，還需要對其采用最小二乘法優(yōu)化后才能使整體偏差最小，生成優(yōu)化刀軸軌跡面。設(shè)刀軸軌跡面表示為：
其中，v為直母線方向參數(shù)；Ni,k(u)為 B樣條基函數(shù)；bi和di為兩準(zhǔn)線控制頂點。
該曲面的控制點數(shù)為 2(n+1)，對于等距面上M個數(shù)據(jù)點Ps(s=0,1,···,M–1)，其在直紋面上對應(yīng)點的參數(shù)為 a(us,vs)，把 M 個點的數(shù)據(jù)帶入式(3)，得：
寫成矩陣的形式為：
其中，
將X當(dāng)作未知量，當(dāng)M大于控制點數(shù)時，可以利用最小二乘法確定優(yōu)化點。以數(shù)據(jù)點 Ps到軸跡面距離的平方和最小為目標(biāo)，則目標(biāo)函數(shù)為：
求解該方程組可得到優(yōu)化后各控制頂點，即優(yōu)化后的刀位信息，從而得到優(yōu)化刀軸軌跡面。
2.3減小過切誤差的刀位修正方法
從誤差范圍的角度已經(jīng)對刀位進行了優(yōu)化，而由于過切誤差對于非可展直紋面葉片表面質(zhì)量的影響遠大于欠切誤差，現(xiàn)從減小過切誤差的角度對刀位進行再次修正。非可展直紋面型面復(fù)雜，要完全消除過切誤差比較困難，可將兩點偏置法誤差曲線近似為拋物線，把三點偏置法看成兩個兩點偏置法的疊加，由三點偏置法及其優(yōu)化方法的誤差分布圖可知，四點偏置法最大過切可能發(fā)生在直母線 λ/2，0.5，1–λ/2三點附近，利用二次搜索法確定最大過切點，對于每個刀位，對以上三點附近進行初步搜索，在過切誤差最大的點附近進行二次搜索。對刀位進行修正的方法是固定刀心點，對刀軸矢量進行偏轉(zhuǎn)，使最大過切誤差滿足要求。
對四點偏置法誤差進行分析，誤差分布如圖5所示。
圖5 四點偏置法誤差分布
圖5中Pd為設(shè)計曲面上的點；沿該點法向偏置一個刀具半徑得到q0；Pt為特征線上一點；沿同一方向偏置后得到q；q和q0的距離ε即為該點的加工誤差；v為直母線方向；u為準(zhǔn)線方向。
針對四點偏置法的過切誤差進行刀位修正，修正流程圖如圖6所示。
圖6 減小過切誤差的刀位修正流程
設(shè)最大過切誤差為Emax，以P0為圓心沿最大誤差點處的法向旋轉(zhuǎn)刀軸，根據(jù)圖7中模型計算出完全消除該點誤差需旋轉(zhuǎn)的角度 θ，由于刀軸偏轉(zhuǎn)后各點誤差也會產(chǎn)生變化，不能通過直接偏轉(zhuǎn)θ來消除過切誤差，以θ/n為增量進行迭代運算，n為刀位數(shù)，設(shè)定一個公差值εa，每次計算最大過切誤差，直到即獲得最終刀位。
圖7 最大過切點處偏轉(zhuǎn)模型
偏轉(zhuǎn)角θ求解過程：如圖7所示，旋轉(zhuǎn)前刀軸為OM，旋轉(zhuǎn)后為?M，夾角即為所求θ，三角形KMO?相似于KPdO，OPd= r–Emax。
3 計算實例
根據(jù)前面提出的算法，采用直徑為10 mm的柱刀對曲面進行加工，設(shè)計曲面參數(shù)如下：
設(shè)計曲面與加工過程中刀具姿態(tài)如圖8所示。
圖8 曲面與刀具姿態(tài)
用 4種刀位計算方法對設(shè)計曲面進行仿真加工，比較各方法加工誤差，如表1和圖9所示。
表1 各方法加工誤差對比(mm)
圖9 各方法加工誤差對比圖
4 結(jié) 論
本文針對非可展直紋面五軸側(cè)銑加工的刀位路徑規(guī)劃，提出了四點偏置法確定初始刀位，利用刀位修正模型減小過切誤差；通過引入比例因子λ，建立了柱形球頭銑刀五軸數(shù)控側(cè)銑加工非可展直紋曲面的刀位算法，建立了非可展直紋面葉片五軸側(cè)銑刀軌優(yōu)化的理論方法。計算結(jié)果驗證了本文所提出的五軸側(cè)銑加工直紋面整體葉輪方法的正確性和實用性。
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Cutter Location Calculation Based on the Four Offset Method of Flank Milling for Undevelopable Ruled Surface
Yan Tao,Liu Zhibing,Wang Xibin,Fan Yong
(School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)
The existing method of five-axis flank milling to machine undevelopable ruled surface is researched, through the analysis of the geometric characteristics of the undevelopable ruled surface, a new method is proposed to calculate the cutter location data of five-axis flank milling with undevelopable ruled surface impeller. The global error optimization between the tool envelope surface and the design surfaces is the goal, and a method to calculate the cylindrical cutter location when flank milling the undevelopable ruled surface is established, putting forward a four-point method to determine the initial cutter location, optimizing it using the least squares method, establishing cutter correction model to further optimize the cutter location to reduce the over-cut error. By analyzing the example, it is proved that processing error can be reduced to some extent through this method.
undevelopable ruled surface; 5-axis flank milling; offset method of four points; cutter location calculation
TH 161+.1
A
2095-302X(2015)06-0840-06
2015-05-18；定稿日期：2015-07-21
國家自然科學(xué)基金資助項目(51375055)
嚴(yán)濤(1990–)，男，湖北宜昌人，碩士研究生。主要研究方向為數(shù)控加工。E-mail：yantao224@163.com
劉志兵(1977–)，男，河北藁城人，副教授，博士。主要研究方向為精密微細切削技術(shù)。E-mail：liuzhibing@bit.edu.cn
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(北京理工大學(xué)機械與車輛學(xué)院，北京 100081)
基于四點偏置法的非可展直紋面?zhèn)茹姷段挥嬎?/p>
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針對非可展直紋面五軸側(cè)銑加工的問題，分析了非可展直紋面幾何特點，根據(jù)等距映射下的極差不變性，提出了一種計算非可展直紋面葉片五軸側(cè)銑刀位數(shù)據(jù)的新方法。以刀具包絡(luò)面與設(shè)計曲面之間的整體誤差為優(yōu)化目標(biāo)，建立了圓柱銑刀側(cè)銑非可展直紋面的刀位計算方法，運用四點偏置法確定初始刀位，采用最小二乘法對初始刀位進行優(yōu)化，建立刀軸矢量偏轉(zhuǎn)模型進一步修正刀位以減小過切誤差。通過實例計算分析，表明該方法可以在一定程度上減小加工誤差。
非可展直紋面；五軸側(cè)銑；四點偏置法；刀位計算
非可展直紋面由直母線沿導(dǎo)線掃掠形成，是非可展的。以直紋拋物面為例，一條導(dǎo)線為直線，另一條導(dǎo)線為拋物線，直母線兩端分別沿不同軌跡掃掠形成曲面。直母線上各點的法矢方向不同，將曲面離散，可以得到曲面上多條方向各不相同的直線。
整體葉輪葉片型面通常采用非可展直紋面，由于其曲面特性復(fù)雜，在數(shù)控加工中屬于難度比較大的一類零件。為了滿足精度需求，國內(nèi)外學(xué)者大多從曲面的設(shè)計方法和加工方法兩方面開展研究。Li等[1]提出最小二乘法、加權(quán)內(nèi)部控制點法和無加權(quán)的內(nèi)部控制點法三種側(cè)銑曲面設(shè)計方法，分別對柱刀和錐刀進行了討論。同時，對非可展直紋面加工方法的研究也一直是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點。Liu[2]提出了適用于柱刀側(cè)銑的單點偏置法(single point offset，SPO)和雙點偏置法(double point offset，DPO)。Redonnet等[3]提出了用于柱刀側(cè)銑加工的三點規(guī)劃方法，可以有效減小刀具表面與加工曲面的干涉，提高加工精度，但是該方法需要求解7個超越方程，計算比較復(fù)雜。Bedi等[4]提出一種圓柱刀加工直紋面的方法，刀具與兩準(zhǔn)線相切，接觸點的參數(shù)值相等，最大過切發(fā)生在接近表面中間的部分。席光等[5]提出基于半徑和角偏置的直紋面加工刀位生成算法，消除母線兩端法矢異向引起的過切誤差。Li等[6]提出空間切點位移法，在刀具與準(zhǔn)線相切的同時增加沿母線方向的滑移，應(yīng)用刀位規(guī)劃三步優(yōu)化法，減小了加工誤差，這種算法計算精確度高，但計算非常復(fù)雜，不便于編程實現(xiàn)。Chu等[7]在刀位規(guī)劃時考慮插值采樣時間引起的加工誤差，提出速度控制模型。朱利民等[8]提出一種針對圓錐刀側(cè)銑加工的刀具路徑優(yōu)化方法，通過刀具包絡(luò)面有向距離函數(shù)，構(gòu)造出基于導(dǎo)數(shù)信息的刀具包絡(luò)面到設(shè)計曲面的最佳一致逼近算法。Gong等[9]引入極差的概念，提出了三點偏置法來確定初始刀位，采用最小二乘法優(yōu)化刀位。本文在三點偏置法及其改進算法的基礎(chǔ)上，將整體優(yōu)化方法和局部優(yōu)化方法結(jié)合起來，運用四點偏置法計算初始刀位，并對所生成刀位進行刀軸矢量修正，進一步減小了過切誤差。計算結(jié)果表明，本方法精度更高，具有較高的工程實用價值。
1 非可展直紋面?zhèn)茹娂庸だ碚摶A(chǔ)
1.1刀位規(guī)劃中的曲面分析
非可展直紋面的特點是直母線上各點的法矢方向不同，任何半徑不為零的刀具對其進行側(cè)銑都存在理論誤差，刀具包絡(luò)面不能與設(shè)計曲面完全相切，對于這種曲面的側(cè)銑加工采用曲面逼近加工?？紤]整體約束和局部約束，合理規(guī)劃刀位軌跡，使誤差范圍盡可能小，是側(cè)銑加工這類曲面的關(guān)鍵。
側(cè)銑非可展直紋面葉片刀位規(guī)劃主要涉及4類曲面：設(shè)計曲面、刀具包絡(luò)面、設(shè)計曲面等距面、刀軸軌跡面。4類曲面對應(yīng)關(guān)系如圖1所示，其中柱刀的刀具包絡(luò)面和刀軸軌跡面是一對等距面。
圖1中，設(shè)計曲面是由整體葉輪葉片所形成的非可展直紋面；刀具包絡(luò)面是側(cè)銑加工時刀具側(cè)刃在空間運動的掃掠軌跡面；刀軸軌跡面是側(cè)銑加工中，刀具軸線掃掠形成的直紋軌跡面。刀軸軌跡面包含了刀具空間運動的全部信息，因此刀位規(guī)劃實質(zhì)上是構(gòu)造出一個刀軸軌跡面，使刀具包絡(luò)面盡可能逼近設(shè)計曲面，從而減小加工誤差。
1.2幾種側(cè)銑加工刀位規(guī)劃方法的誤差對比
直紋面?zhèn)茹娂庸さ段灰?guī)劃方法包括兩點偏置法、兩點偏置優(yōu)化法、三點偏置法、三點偏置優(yōu)化法等，本文針對以上4種方法進行誤差分析。圖2為各算法誤差對比。其中橫坐標(biāo)v代表點在直母線上的位置，范圍為[0,1]。
圖2 各算法誤差分布
三點偏置優(yōu)化法在三點偏置法的基礎(chǔ)上進行了改進，兩端點沿刀軸矢量進行了滑移，使誤差范圍進一步減小。但是該方法在v=0和v=1兩端點處誤差不為零，理論殘留高度不為零，不適合分片側(cè)銑的情況。三點偏置法相對于兩點偏置法及兩點偏置優(yōu)化法在精度上有很大提高，三點偏置優(yōu)化法在三點偏置法的基礎(chǔ)上進行改進，加工誤差進一步減小，但是端點處無限制，不適用于分片側(cè)銑。本文在此基礎(chǔ)上提出一種新的刀位計算方法。
2 柱刀側(cè)銑加工的刀位計算方法
根據(jù)微分幾何中等距映射下的極差不變性可知，刀具包絡(luò)面和設(shè)計曲面的極差與刀軸軌跡面和設(shè)計曲面等距面之間的極差相等，因此可以將刀位的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿绾伪M可能減小刀軸軌跡面和設(shè)計曲面等距面的誤差，即：①利用四點偏置法確定刀具的初始位姿；②以最小二乘法對初始刀位進行優(yōu)化，進一步減小誤差帶范圍；③對各刀位進行過切誤差檢測并對刀位進行最終修正。
2.1確定初始刀位的四點偏置法
直紋面定義為：
其等距面定義為：
其中，R為柱刀刀具半徑；B0(u)和B1(u)為兩條曲線的矢徑；n(u,v)為曲面單位法矢。
四點偏置法確定初始刀位的步驟如下(如圖 3所示)：
步驟 2. 設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)值 ε，并引入范圍在[0，0.5]的λ，分別以v=λ和v=1–λ選定四點法中間兩點的位置，分別用E1和E2表示兩點與設(shè)計曲面等距面上對應(yīng)點的距離。為了避免優(yōu)化時刀軸偏轉(zhuǎn)過大，各刀位P3點滑動范圍設(shè)定為其中h為走刀步長與準(zhǔn)線長度之比。
步驟3. 固定P0點，令P3點在內(nèi)滑動，可以得到一族P0P3，分別計算每一步中當(dāng)滿足E ＜ ε時，該直線即確定為初始刀位的刀軸方向。
圖3 四點偏置法計算流程
圖4 初始刀軸的確定
四點偏置法的實質(zhì)是在設(shè)計曲面四條曲線上尋求四點，讓其沿著曲面法矢偏移一個刀具半徑R得到對應(yīng)四點，使之精確逼近一條直線，其直線的方向即為刀軸方向。四點偏置法相對于三點偏置優(yōu)化法精度更高，且兩準(zhǔn)線處誤差為零，兩次走刀理論殘留高度為零，適用于分片側(cè)銑。
將λ作為已知量帶入模型進行初始刀位計算，然而實際加工時λ取何值時初始刀位誤差最小是需要計算的。取0.1～0.4之間間隔為0.1的4個λ值，分別進行上述步驟確定初始刀位，對于每個λ生成的初始刀位進行 B樣條擬合得到各初始刀軸軌跡面，計算各軌跡面與設(shè)計曲面等距面的誤差范圍，進行插值得出使誤差范圍最小的λ，即為所求。
2.2確定優(yōu)化刀位的最小二乘法
由上述算法得到的刀軸矢量能保證在單刀位局部最優(yōu)，利用蒙面法插值所得直紋面為初始刀軸軌跡面，還需要對其采用最小二乘法優(yōu)化后才能使整體偏差最小，生成優(yōu)化刀軸軌跡面。設(shè)刀軸軌跡面表示為：
其中，v為直母線方向參數(shù)；Ni,k(u)為 B樣條基函數(shù)；bi和di為兩準(zhǔn)線控制頂點。
該曲面的控制點數(shù)為 2(n+1)，對于等距面上M個數(shù)據(jù)點Ps(s=0,1,···,M–1)，其在直紋面上對應(yīng)點的參數(shù)為 a(us,vs)，把 M 個點的數(shù)據(jù)帶入式(3)，得：
寫成矩陣的形式為：
其中，
將X當(dāng)作未知量，當(dāng)M大于控制點數(shù)時，可以利用最小二乘法確定優(yōu)化點。以數(shù)據(jù)點 Ps到軸跡面距離的平方和最小為目標(biāo)，則目標(biāo)函數(shù)為：
求解該方程組可得到優(yōu)化后各控制頂點，即優(yōu)化后的刀位信息，從而得到優(yōu)化刀軸軌跡面。
2.3減小過切誤差的刀位修正方法
從誤差范圍的角度已經(jīng)對刀位進行了優(yōu)化，而由于過切誤差對于非可展直紋面葉片表面質(zhì)量的影響遠大于欠切誤差，現(xiàn)從減小過切誤差的角度對刀位進行再次修正。非可展直紋面型面復(fù)雜，要完全消除過切誤差比較困難，可將兩點偏置法誤差曲線近似為拋物線，把三點偏置法看成兩個兩點偏置法的疊加，由三點偏置法及其優(yōu)化方法的誤差分布圖可知，四點偏置法最大過切可能發(fā)生在直母線 λ/2，0.5，1–λ/2三點附近，利用二次搜索法確定最大過切點，對于每個刀位，對以上三點附近進行初步搜索，在過切誤差最大的點附近進行二次搜索。對刀位進行修正的方法是固定刀心點，對刀軸矢量進行偏轉(zhuǎn)，使最大過切誤差滿足要求。
對四點偏置法誤差進行分析，誤差分布如圖5所示。
圖5 四點偏置法誤差分布
圖5中Pd為設(shè)計曲面上的點；沿該點法向偏置一個刀具半徑得到q0；Pt為特征線上一點；沿同一方向偏置后得到q；q和q0的距離ε即為該點的加工誤差；v為直母線方向；u為準(zhǔn)線方向。
針對四點偏置法的過切誤差進行刀位修正，修正流程圖如圖6所示。
圖6 減小過切誤差的刀位修正流程
設(shè)最大過切誤差為Emax，以P0為圓心沿最大誤差點處的法向旋轉(zhuǎn)刀軸，根據(jù)圖7中模型計算出完全消除該點誤差需旋轉(zhuǎn)的角度 θ，由于刀軸偏轉(zhuǎn)后各點誤差也會產(chǎn)生變化，不能通過直接偏轉(zhuǎn)θ來消除過切誤差，以θ/n為增量進行迭代運算，n為刀位數(shù)，設(shè)定一個公差值εa，每次計算最大過切誤差，直到即獲得最終刀位。
圖7 最大過切點處偏轉(zhuǎn)模型
偏轉(zhuǎn)角θ求解過程：如圖7所示，旋轉(zhuǎn)前刀軸為OM，旋轉(zhuǎn)后為?M，夾角即為所求θ，三角形KMO?相似于KPdO，OPd= r–Emax。
3 計算實例
根據(jù)前面提出的算法，采用直徑為10 mm的柱刀對曲面進行加工，設(shè)計曲面參數(shù)如下：
設(shè)計曲面與加工過程中刀具姿態(tài)如圖8所示。
圖8 曲面與刀具姿態(tài)
用 4種刀位計算方法對設(shè)計曲面進行仿真加工，比較各方法加工誤差，如表1和圖9所示。
表1 各方法加工誤差對比(mm)
圖9 各方法加工誤差對比圖
4 結(jié) 論
本文針對非可展直紋面五軸側(cè)銑加工的刀位路徑規(guī)劃，提出了四點偏置法確定初始刀位，利用刀位修正模型減小過切誤差；通過引入比例因子λ，建立了柱形球頭銑刀五軸數(shù)控側(cè)銑加工非可展直紋曲面的刀位算法，建立了非可展直紋面葉片五軸側(cè)銑刀軌優(yōu)化的理論方法。計算結(jié)果驗證了本文所提出的五軸側(cè)銑加工直紋面整體葉輪方法的正確性和實用性。
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Cutter Location Calculation Based on the Four Offset Method of Flank Milling for Undevelopable Ruled Surface
Yan Tao,Liu Zhibing,Wang Xibin,Fan Yong
(School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)
The existing method of five-axis flank milling to machine undevelopable ruled surface is researched, through the analysis of the geometric characteristics of the undevelopable ruled surface, a new method is proposed to calculate the cutter location data of five-axis flank milling with undevelopable ruled surface impeller. The global error optimization between the tool envelope surface and the design surfaces is the goal, and a method to calculate the cylindrical cutter location when flank milling the undevelopable ruled surface is established, putting forward a four-point method to determine the initial cutter location, optimizing it using the least squares method, establishing cutter correction model to further optimize the cutter location to reduce the over-cut error. By analyzing the example, it is proved that processing error can be reduced to some extent through this method.
undevelopable ruled surface; 5-axis flank milling; offset method of four points; cutter location calculation
TH 161+.1
A
2095-302X(2015)06-0840-06
2015-05-18；定稿日期：2015-07-21
國家自然科學(xué)基金資助項目(51375055)
嚴(yán)濤(1990–)，男，湖北宜昌人，碩士研究生。主要研究方向為數(shù)控加工。E-mail：yantao224@163.com
劉志兵(1977–)，男，河北藁城人，副教授，博士。主要研究方向為精密微細切削技術(shù)。E-mail：liuzhibing@bit.edu.cn
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