李章曉，宋 薇，張興義

（1.徽商職業(yè)學(xué)院會(huì)計(jì)系，安徽 合肥 230022；2.安徽大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

1 引言

證券投資組合是分散投資風(fēng)險(xiǎn)的有效途徑，在發(fā)達(dá)的證券市場(chǎng)，如何得到最佳的投資組合是一項(xiàng)極具挑戰(zhàn)但卻有重要實(shí)際意義的工作。諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者馬克威茨（Markowitz）于1952年提出了著名均值方差模型第一次定量地說(shuō)明了如何衡量投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)水平［1］，從而為最佳證券投資組合的研究提供了重要的理論依據(jù)，是現(xiàn)代金融理論研究的創(chuàng)舉和轉(zhuǎn)折點(diǎn)。在他的均值－方差模型中，證券期望收益率均值和期望收益率方差是衡量一種投資組合好壞的兩個(gè)指標(biāo)，其中期望收益率均值刻畫(huà)投資組合的收益大小，而期望收益率方差刻畫(huà)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。一項(xiàng)好的證券投資組合應(yīng)該使其期望收益率均值最大，而期望收益率方差最小。因此，證券投資組合可以表示為下面的均值－方差兩目標(biāo)投資組合優(yōu)化問(wèn)題：

其中，W＝（w1，…，wn）T，wi，1≤i≤n，為總資產(chǎn)投資在第i個(gè)證券的權(quán)重，n為投資組合包含的證券數(shù)目，R為收益率矩陣，∑為收益率的協(xié)方差矩陣，w0為投資者投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)重（以下僅考慮w0＝0的情形，即投資者僅進(jìn)行有風(fēng)險(xiǎn)的證券投資）。由（1）式可以看出，尋找最佳的投資組合即是尋找一個(gè)W，使E（R）最大且σ2最小，同時(shí)W需要滿足限制性條件＝1，且wi≥0，即不允許賣(mài)空。

為解決此多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，研究人員陸續(xù)引入了許多策略和算法。如，萬(wàn)麗英等人引入了中心路徑跟蹤算法求解均值－方差兩目標(biāo)投資組合優(yōu)化問(wèn)題［2］；崇曦農(nóng)等人首先把該多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化單目標(biāo)問(wèn)題，并利用拉格朗日乘數(shù)法求解［3］；卞蓓麗利用了多目標(biāo)蟻群算法和多目標(biāo)模擬退火算法解決此問(wèn)題［4］等。在解決該問(wèn)題的眾多方法中，多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域中的經(jīng)典優(yōu)化算法深受研究人員的喜愛(ài)，被廣泛地應(yīng)用于求解均值－方差兩目標(biāo)投資組合優(yōu)化問(wèn)題，為投資者提供良好的投資選擇，如快速非支配排序遺傳算法（NSGA－II）［5］。對(duì)于大多數(shù)的證卷投資來(lái)說(shuō)，由于投資收益和投資風(fēng)險(xiǎn)總是互相矛盾的（即投資收益的增加往往以伴隨著風(fēng)險(xiǎn)的增加為代價(jià)），因此多目標(biāo)優(yōu)化算法將得到在不同投資風(fēng)險(xiǎn)下的大量投資組合。而投資者往往僅僅關(guān)注少量的最佳投資組合，因此投資者需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力從多目標(biāo)優(yōu)化算法所獲得的大量投資組合中選擇理想的投資組合。

為了簡(jiǎn)化投資者后續(xù)選擇的大量工作，本文引入了多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域中的一個(gè)新的研究成果，基于決策者偏好的多目標(biāo)優(yōu)化算法（KR－NSGA－II）。與經(jīng)典的多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGA－II相比，KR－NSGAII不是以搜索整個(gè)Pareto前沿面上大量均勻分布的解為目標(biāo)，而僅搜索決策者感興趣的Pareto面上的部分解。基于銳思金融數(shù)據(jù)庫(kù)中提取的股票信息對(duì)KR－NSGA－II進(jìn)行了實(shí)證分析，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明KR－NSGA－II僅搜索投資者感興趣的投資組合，從而為投資者節(jié)省了進(jìn)行選擇的大量時(shí)間和精力。

2 帶決策者偏好的多目標(biāo)優(yōu)化算法（KR－NSGA－II）

在多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域，NSGA－II以其高效實(shí)用而被廣泛用于求解許多領(lǐng)域內(nèi)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，如車(chē)輛路徑優(yōu)化［6］，電力系統(tǒng)穩(wěn)定器參數(shù)優(yōu)化［7］，武器裝備供應(yīng)商的選擇與評(píng)價(jià)［8］等。NSGA－II［9］包含以下幾個(gè)主要步驟：（1）隨機(jī)產(chǎn)生大小為N的初始種群；（2）利用二元競(jìng)技從種群中選擇父代；（3）利用交叉、變異操作從父代產(chǎn)生N個(gè)后代；（4）當(dāng)前種群和所產(chǎn)生的N個(gè)后代構(gòu)成大小為2N的混合種群；（5）對(duì)混合種群進(jìn)行快速非支配排序，為每個(gè)個(gè)體指定Pareto次序；（6）計(jì)算混合種群中每個(gè)個(gè)體的擁擠距離；（7）利用個(gè)體的Pareto次序和擁擠距離從混合種群中選擇N個(gè)個(gè)體作為下一代種群；（8）以上步驟不斷循環(huán)直到達(dá)到算法的終止條件（通?？梢杂米畲蟮螖?shù)作為終止條件）。對(duì)于含有2或3個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題來(lái)說(shuō)，NSGA－II可以較好地搜索到多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的整個(gè)Pareto最優(yōu)前沿面。

與 NSGA－II不同，KR－NSGA－II僅以搜索 Pareto最優(yōu)前沿面上決策者感興趣的部分解為目標(biāo)。在決策者具體偏好未知的情況下，Pareto前沿面上的拐點(diǎn)通常是大多數(shù)決策者感興趣的最優(yōu)解，因此KR－NSGA－II將僅會(huì)搜索Pareto最優(yōu)前沿面上的拐點(diǎn)。在均值－方差兩目標(biāo)投資組合優(yōu)化問(wèn)題中，Pareto最優(yōu)前沿面上的拐點(diǎn)指投資收益與投資風(fēng)險(xiǎn)比值最大的最優(yōu)投資組合。在證卷投資者偏好的投資組合未知情況下，Pareto前沿面上的拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的投資組合將很大可能會(huì)是投資者感興趣的。

KR－NSGA－II采用與 NSGA－II完全相同算法結(jié)構(gòu)，其唯一區(qū)別在于它們從當(dāng)前種群及其所產(chǎn)生的后代中選擇下一代種群采用的策略不同。在KRNSGA－II中，NSGA－II中每個(gè)解的擁擠距離被替換為該解與拐點(diǎn)的距離。因此，在KR－NSGA－II選擇下一代種群中的解時(shí)，若一個(gè)解支配另一個(gè)解，則將優(yōu)先選擇支配解作為下一代種群中的解；若兩個(gè)解均為非支配解，則將優(yōu)先選擇離拐點(diǎn)較近的非支配解作為下一代種群中的解［10］。KR－NSGA－II的算法流程如圖1所示。

圖1 KR－NSGA－II算法流程

3 實(shí)證分析與討論

為驗(yàn)證KR－NSGA－II在求解均值－方差兩目標(biāo)證卷投資組合優(yōu)化問(wèn)題中的有效性，本文從銳思金融數(shù)據(jù)庫(kù)選擇了100支股票在2013－11－04至2013－12－13期間共一個(gè)月的信息進(jìn)行了測(cè)試（數(shù)據(jù)庫(kù)網(wǎng)址為http：／／www.resset.cn／cn／）。本文采用 Matlab 2009a軟件進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，KR－NSGA－II和NSGA－II中參數(shù)設(shè)置均為：種群規(guī)模為100，最大迭代次數(shù)為300，交叉概率為1.0，變異概率為0.033。

圖2—圖6分別給出了 KR－NSGA－II和 NSGA－II兩種算法在20、40、60、80、100支股票上選擇最優(yōu)投資組合的優(yōu)化結(jié)果，其中紅色圓圈表示KRNSGA－II所得到的最優(yōu)投資組合，藍(lán)色星號(hào)表示NSGA－II所得到的最優(yōu)投資組合，其中圖形中的每個(gè)點(diǎn)均表示一個(gè)投資組合。從這些圖中可以看出，NSGA－II會(huì)得到大量的最優(yōu)證卷投資組合，投資者要想從如此龐大數(shù)目的證卷投資組合中選擇一個(gè)理想的投資組合將花費(fèi)其大量的時(shí)間和精力；KR－NSGA－II僅會(huì)搜索到3個(gè)最優(yōu)證卷投資組合，它們分別對(duì)應(yīng)以下三種情形：（1）投資風(fēng)險(xiǎn)最小情況的投資收益；（2）投資風(fēng)險(xiǎn)最大情況下的投資收益；（3）單位投資風(fēng)險(xiǎn)內(nèi)的最大投資收益（即投資收益除以投資風(fēng)險(xiǎn)的值最大）。在投資者具體的偏好未知情況下，這三種投資組合方式通常都是投資者較喜歡的投資選擇。由于KR－NSGA－II僅搜索到三種投資者最可能喜歡的最優(yōu)的投資組合，從而不需要投資者進(jìn)行復(fù)雜而艱難的選擇，為投資者節(jié)省了大量的時(shí)間和精力。

圖2 20支股票的優(yōu)化結(jié)果

圖3 40支股票的優(yōu)化結(jié)果

圖4 60支股票的優(yōu)化結(jié)果

圖5 80支股票的優(yōu)化結(jié)果

圖6 100支股票的優(yōu)化結(jié)果

從圖2—圖4可以看出，當(dāng)股票數(shù)目較少時(shí)（少于60支），KR－NSGA－II所搜索到的三種最優(yōu)投資組合對(duì)應(yīng)為NSGA－II所搜索到的大量投資組合的三種特殊情形，這說(shuō)明KR－NSGA－II可以幫助投資者自動(dòng)選擇其感興趣的證卷投資組合。從圖5－圖6可以看出，當(dāng)股票數(shù)目較多時(shí)（大于等于80支），KR－NSGA－II所搜索到的投資風(fēng)險(xiǎn)最小情況下的投資收益和投資風(fēng)險(xiǎn)最大情況下的投資收益對(duì)應(yīng)的兩種證卷投資組合明顯優(yōu)于NSGA－II所搜索到投資組合，由于KR－NSGA－II僅關(guān)注搜索這三種投資者最感興趣的投資組合，因而使算法具有比NSGA－II更好的搜索性能。

通過(guò)以上的實(shí)證分析可以看出，KR－NSGA－II不僅可以節(jié)省投資者進(jìn)行大量選擇的時(shí)間和精力，而且當(dāng)股票數(shù)目較多時(shí)還可以給投資者提供更好的投資組合，因此KR－NSGA－II在尋找最佳證卷投資組合方面是非常有效且實(shí)用的一種方法。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文為解決投資者需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力從傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化算法所搜索的大量投資組合中選擇最佳投資組合的問(wèn)題，引入了多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域一個(gè)新的研究成果 KR－NSGA－II，實(shí)證分析說(shuō)明了KR－NSGA－II的可行性。由于 KR－NSGA－II是假定在投資者偏好未知的情況下，因此Pareto最優(yōu)前沿面上的拐點(diǎn)具有較大可能對(duì)應(yīng)投資者感興趣的投資組合。在某些情形下，出于自身投資習(xí)慣和投資目標(biāo)的考慮，投資者往往對(duì)投資組合具有一定的具體個(gè)人偏好，如投資風(fēng)險(xiǎn)不能大于一定范圍。因此，如何引入或設(shè)計(jì)新的多目標(biāo)優(yōu)化算法，使其能有效搜索到投資者偏好的投資組合是今后的研究工作之一。

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