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        正切數(shù)與集合的純偶組合數(shù)*

        2015-12-05 07:26:10顧江民
        關(guān)鍵詞:數(shù)表正整數(shù)性質(zhì)

        顧江民

        (浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院,浙江 東陽(yáng)322100)

        0 引言

        正切數(shù)(戴煦數(shù))是從許多組合問(wèn)題中提出來(lái)的,在數(shù)論和組合數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,一直是許多專家、學(xué)者研究的熱點(diǎn).文[1]介紹了Akiyama-Tanigawa算法,文[2]利用這種算法給出了Bernoulli數(shù)的一種新算法.本文利用Akiyama-Tanigawa算法給出正切數(shù)的一種新算法.筆者發(fā)現(xiàn),正切數(shù)與一類(lèi)數(shù)有著密切的關(guān)系,我們稱之為純偶組合數(shù).

        定義1 由

        確定的系數(shù)G(n,m)稱為純偶組合數(shù)(m為正整數(shù)).

        定義2[3]正切數(shù)Dn定義為:

        我們看正切數(shù)表,它的算法是:第零行數(shù)是1,1,1,…,第一行數(shù)-1·1+3·1,-4·1+10·1,-9·1+21·1,…,即為2,6,12,…,第二行數(shù)-1·2+3·6,-4·6+10·12,-9·12+21·20,…,即為16,96,312,…依次規(guī)律,第n行第m個(gè)數(shù)為an,m,確定第n+()1 行第m個(gè)數(shù)an+1,m為:

        由這種遞推關(guān)系得到一個(gè)類(lèi)似楊輝三角的數(shù)表,可以確定各行的首位數(shù)為正切數(shù)(圖1).運(yùn)用文[2]的方法可以得到第n行的首位數(shù)為:

        1 主要結(jié)論

        定理G(n,k)為純偶組合數(shù),則正切數(shù):

        圖1 正切數(shù)表Fig.1 Tangent table

        推論 伯努利數(shù):

        2 純偶組合數(shù)的性質(zhì)

        性質(zhì)1G(n,1)=1,?n∈N*;G(n,m)=0,(n<m).

        證明 由

        易得:

        故有G(1,m+1)=0.

        性質(zhì)2 純偶組合數(shù)有以下遞歸關(guān)系[4~8]:

        證明 設(shè)函數(shù):

        首先由(1)式可知:

        則有:

        其次,因?yàn)椋?/p>

        對(duì)比(4)式與(5)式x2n系數(shù)可得:

        3 定理的證明

        證明 設(shè)

        兩邊求導(dǎo)得:

        根據(jù)定義2可知:

        所以,

        正切數(shù)與Bernoulli數(shù)有關(guān)系式[5]:

        4 同余式與附表

        利用正切數(shù)表的有關(guān)性質(zhì)可給出幾個(gè)同余式.

        對(duì)任意的正整數(shù)n,m,k,有:

        一般地,設(shè)g(n,k)組成的下三角矩陣是G(n,k)組成矩陣的逆,即

        (g(n,k))=(G(n,k))-1.

        則有:

        純偶組合數(shù)陣G(n,k)見(jiàn)表1,純偶組合數(shù)陣的逆g(n,k)見(jiàn)表2.

        表1 純偶組合數(shù)陣G(n,k)Table 1 Pure even combinations matrix

        表2 純偶組合數(shù)陣的逆g(n,k)Table 2 Pure even combinations inverse matrix

        [1]Akiyama S,Tanigawa Y.Muktiple zeta values at non-positive integers[J].The Ramanujan Journal,2001,5(4):327-351.

        [2]Kaneko M.The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers[J].Journal of Integer Sequences,2000,12:1-6.

        [3]羅見(jiàn)今.徐有壬《測(cè)圓密率》對(duì)正切數(shù)的研究[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,36(5):853-857.

        [4]顧江民,朱偉義.二進(jìn)純偶多項(xiàng)式及應(yīng)用[J].咸陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010,25(2):11-14.

        [5]顧江民.方差多項(xiàng)式與Bernoulli多項(xiàng)式[J].江西科學(xué),2011,29(4):450-452.

        [6]顧江民.Euler數(shù)與集合的純偶排列數(shù)[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013,28(12):5-9.

        [7]朱偉義.高階Bernoulli數(shù)與Stirling數(shù)的幾個(gè)恒等式[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2006(1):83-85.

        [8]王天明.近代組合學(xué)[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2008.

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