邵旭馗，王素萍

（隴東學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 慶陽 745000）

記Sn－1為Rn（n≥2）中的單位球面，其上裝備了Lebesgue測度dσ＝dσ（z′）.設(shè)定義在Rn×Rn上的函數(shù)Ω∈L∞（Rn）×Lr（Sn－1）（r≥1），滿足并設(shè)Ω滿足條件Ω（x，λz）＝Ω（x，z），?x，z∈Rn，?λ＞0；消失條件為

其中

帶變量核的分數(shù)次積分算子TΩ，α定義為

1971年，Muckenhoupt和 Wheeden［1］研究了對于冪權(quán)ω（x）＝｜x｜β，TΩ，α的加權(quán)模不等式；Ding［2］得到了TΩ，α關(guān)于冪權(quán)的弱型估計.在此之后，Ding和Lu［3］又考慮了對于更一般的權(quán)函數(shù)而言，TΩ，α的加權(quán)模不等式.

2009年，Komori和Shirai［4］首先定義了加權(quán) Morrey空間Lp，k（ω），它是Lebesgue空間的一種推廣形式，他們還研究了調(diào)和分析中一些主要算子在這些加權(quán)空間上的相關(guān)性質(zhì)，類似結(jié)果可參見文［5－7］.受以上研究的啟發(fā)，論文研究了帶變量核的分數(shù)次積分算子TΩ，α在加權(quán)Morrey空間上的有界性，從而推廣了以往非變量核的結(jié)果.

定義1［4］設(shè)1≤p＜∞，0＜k＜1，ω是一個權(quán)函數(shù)，定義加權(quán) Morrey空間Lp，k（ω）為

其中

定義2［4］設(shè)1≤p＜∞，0＜k＜1，對兩個權(quán)函數(shù)u和v，定義加權(quán) Morrey空間Lp，k（u，v）為

其中

論文結(jié)果如下：

定理1 對某個r∈（1，∞］，設(shè)Ω∈L∞（Rn）×Lr（Sn－1），若以及則TΩ，α是從到的有界算子.

1 定理的證明

引理1 設(shè)Ω∈L∞（Rn）×Lr（Sn－1）（r≥1）是一零階齊次函數(shù)且滿足（2），如果0＜α＜n，1≤r′＜p＜，以及則TΩ，α是從Lp（ωp）到Lq（ωq）的有界算子.

注：引理1的證明可參見文獻［3］.

引理2［8］設(shè)ω∈Ap，且p≥1，那么對任意的球體B，存在一個絕對常數(shù)C＞0，使得

一般地，對任意的λ＞1，有

其中：常數(shù)C不依賴于B與λ.

引理3［9］設(shè)ω∈RHs，且s＞1，那么存在常數(shù)C＞0，使得

對于球體B的任意可測子集E都成立.

定理1的證明 固定一個球體

記

其中：f1＝fχ2B表示2B的特征函數(shù).

由TΩ，α是一線性算子，于是可記

令p1＝p／r′，q1＝q／r′且ν＝ωr′，由于ν∈A（p1，q1），于是可得

由引理1、2，有

關(guān)于I2，由 H¨older不等式可得

當x∈B，y∈2k＋1B／2kB時，有

由此可推出

此外，如果x∈B，y∈（2B）c，則有

于是

將不等式（5）和（6）代入（4）中可得

故可得

由此可知

注意到

因此一定存在某個正數(shù)s＞1，使得ωq∈RHs，因此由引理3可得

所以

因為s＞1，所以最后一個級數(shù)是收斂的，且結(jié)合I1與I2的估計，然后關(guān)于所有球體B?Rn取上確界，這就完成了定理1的證明.

［1］Muckenhoupt B，Wheeden R L.Weighted norm inequalities for singular and fractionalintegrals［J］.Trans Amer Math Soc，1971，161：249－258.

［2］Ding Y.Weak type bounds for a class of rough operaters with powerweights［J］.Proc Amer Math Soc，1997，125：2939－2942.

［3］Ding Y，Lu S Z.Weighted norm inequalities for fractional integral operaters with roughkernel［J］.Canad J Math，1998，50：29－39.

［4］Komori Y，Shirai S.Weighted Morrey spaces and a singular integral operater［J］.Math Nachr，2009，282：219－231.

［5］王素萍，岳曉紅，邵旭馗.變量核多線性分數(shù)次極大算子的一致有界性［J］.安徽大學學報：自然科學版，2013，37（4）：28－31.

［6］邵旭馗，陶雙平.帶變量核的Marcinkiewicz積分交換子的加權(quán)Lipschitz估計［J］.系統(tǒng)科學與數(shù)學，2012，32（7）：915－921.

［7］邵旭馗，陶雙平，王素萍.帶變量核的參數(shù)型Marcinkiewicz積分在弱Hardy空間上的有界性［J］.應(yīng)用數(shù)學，2013，42（1）：177－181.

［8］Garcia－Cuerva J，Rubio de Francia J L.Weighted norm inequalities and related topics［M］.Amsterdam：North－Holland Publishing Company，1985.

［9］Gundy R F，Wheeden R L.Weighted integral inequalities for nontangential maximal function Lusin area integral，and Walsh－Paley series［J］.Studia Math，1974，49：107－124.