林丹玲

（韓山師范學院 數學與統(tǒng)計學系，廣東 潮州， 521041）

考慮廣義Emden－Fowler中立型時滯微分方程

其中：z（t）＝x（t）＋p（t）x（τ（t）），α，β1，β2是常數，r（t）∈C1（［t0，∞），R），p（t），q1（t），q2（t），τ（t），σ1（t），σ2（t）∈C（［t0，∞），R），且有下列條件成立：

中立型時滯微分方程出現(xiàn)在高速計算機無損傳輸網絡的數學模型中，且在彈性桿的振動質量、神經力學系統(tǒng)中的慣性以及自動控制理論研究中均有廣泛應用［1－2］.因此，中立型微分方程（1）受到廣泛關注.但是，目前關于方程（1）的振動性研究還局限于它的特例情形，例如，最近的文獻可以參看文［3－14］及其引文.其中文［3］考慮了方程（1）當α＝1，q2（t）＝0的情形，即方程

作者建立了方程（2）的Philos型的振動準則.最近，文［6］對p（t）＝0，q2（t）＝0的情形，即對方程

給出了若干振動準則，改進了已有文獻的結果.

論文目的是研究一般形式的Emden－Fowler中立型時滯微分方程（1）.作者利用廣義Riccati變換和Young不等式，給出中立型微分方程（1）的若干新的振動準則.

中立型方程（1）的解稱為振動的，如果x（t）既不最終為正，也不最終為負.否則稱為非振動的.方程（1）稱為振動的，如果它的所有解都是振動的.

注：論文中的函數不等式，若不作特別說明，都是對一切充分大的t成立.

1 主要結果

引理1 設x（t）是方程（1）的最終正解，則存在t1≥t0，使得z（t）＞0，z′（t）＞0，z″（t）≤0，t≥t1.

證明 因x（t）是方程（1）的最終正解，由條件（H1）和（H3），有（r（t）｜z′（t）｜α－1z′（t））′≤0.因此函數r（t）｜z′（t）｜α－1z′（t）單調減少且最終定號.故z′（t）最終定號.即z′（t）＞0或z′（t）＜0.現(xiàn)斷言z′（t）＞0.否則如果z′（t）≤0，則存在t1≥t0，使得

故存在常數M＞0，使得

亦即

對上式積分，有

上式中令t→∞，注意到（H2），得到矛盾.因此z′（t）＞0.由方程（1）得到（r（t）（z′（t））α）′≤0.注意到r′（t）≥0，z′（t）＞0.因此由上式得z″（t）≤0.

引理2 設x（t）是方程（1）的最終正解，且下列兩式之一成立：

則z（t）＞tz′（t）且

證明 設x（t）是方程（1）的最終正解，由引理1知z′（t）＞0，因此有x（t）＞（1－p）z（t）.則由方程（1）產生

定義函數

則

故φ（t）單調增加且最終定號.故z′（t）最終定號.斷言φ（t）＞0.否則如果φ（t）≤0，有

聯(lián)合（6）和（7），得到

則有

對上式積分，有

上式中令t→∞，利用（4），得到矛盾.同樣，利用（5），也可得到矛盾.因此，斷言φ（t）＞0成立.證畢.

引理3［15－16］設則

引理4 設A＞0，B≥0，α＞0，x∈R，則

定理1 設（4）或（5）成立，且存在ρ（t）∈C1（［t0，∞），R＋），使得

其中

則方程（1）振動.

證明 設方程（1）存在非振動解x（t），不妨設x（t）最終為正，由引理1，有z（t）＞0，z′（t）＞0，t≥t1.令

則

利用（6），（11），有

由引理3，可得

因此，（12）成為

聯(lián)合（10），（13）和（14），得到

利用引理4，有

積分（16）產生

令t→∞，注意到（9），有W（t）→－∞，此與W（t）＞0矛盾.因此，方程（1）沒有最終正解.類似地，也不可能有最終負解.故方程（1）振動.定理1證畢.

推論1 設（4）或（5）成立，若

則方程（1）振動.

證明 只需在定理1中取ρ（t）＝1即可.

下面的定理是方程（1）的Kamenev型的振動準則.

定理2 設除（9）外定理1的全部假設成立，若當n＞1時，有

則方程（1）振動.其中：Q（t）由（10）定義.

證明 如同定理1的證明中一樣，設方程（1）有非振動解x（t），不妨設x（t）＞0，x（τ（t））＞0，x（σ1（t））＞0和x（σ2（t））＞0，t≥t1，故有z（t）＞0.令W（t）的定義同（11），則W（t）＞0，t≥t1.且（16）成立.由（16）得到

注意到

有

其中

因此

則

上式與條件（18）矛盾.定理2證畢.

下面利用Philos型的積分平均條件給出方程（1）的新的振動準則.為此引進函數類P.令

函數H∈C（D，R）稱為屬于P類，記作H∈P，如果

（i）H（t，t）＝0，t≥t0；H（t，s）＞0，（t，s）∈D0；

（ii）H在D0上對第二個變量有連續(xù)非正的偏導數，且存在h∈C（D0，R）和ρ∈C1（［t0，∞），R＋），使得

定理3 設（4）或（5）成立，且存在ρ（t）∈C1（［t0，∞），R＋）和H∈P，使得

其中：h（t，s）由（19）定義.則方程（1）振動.

證明 設方程（1）有非振動解x（t），不妨設x（t）最終為正，故存在t1≥t0，使當t≥t1時，有x（t）＞0，x（τ（t））＞0，x（σ1（t））＞0，x（σ2（t））＞0.當x（t）最終為負時可以類似地處理，刪去.定義函數W（t）如同（11），故有W（t）＞0，t≥t1.因此有（15）成立.

記

則由（15）得到

對上式利用引理4且注意到A（s）的定義，有

因此

上式與條件（20）矛盾.定理3證畢.

注：定理3推廣了文［3］和文［6］及其引文中的相關結果.上述文獻中的定理均不適用于論文的例子.

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