郭海慶，張 敏，黃 濤，艾純斌

(1.河海大學a.巖土工程科學研究所;b.巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，南京 210098;2.中國市政工程東北設計研究總院有限公司海南洋浦分公司，海南洋浦 570125)

1 研究背景

邊坡變形穩(wěn)定性問題一直是巖土工程領域備受關注的問題之一，了解邊坡在不同時期的變形問題直接關系到整個工程的成敗，因此，預測邊坡變形問題得到了廣大學者的關注。目前國內外常用的預測模型［1］有基于神經網(wǎng)絡的預測模型如 BP網(wǎng)絡預測，聚類模型和基于時間序列的預測模型，如ARMA模型、ARCH模型。每種模型各有優(yōu)缺點，也有其適用的范圍。灰色系統(tǒng)理論是我國鄧聚龍教授［2］于1982年提出來的，是通過生成變換弱化原始序列的隨機性，將無規(guī)序列生成有規(guī)序列，能有效地對生成序列進行預測。而小波分析具有多分辨率的特性，在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種很有生命力的信號處理技術，它的一個重要應用即數(shù)據(jù)去噪，數(shù)據(jù)去噪能對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行去噪處理的同時保留真實信號的突變點。

本文將灰色理論和小波理論結合起來對監(jiān)測邊坡位移數(shù)據(jù)的偶然誤差和系統(tǒng)誤差進行去噪處理，采用小波－MGM(1，n)［3］預測模型，通過 MatLab 軟件對測得的深度位移信號進行分解和重構來模擬真實信號［4］，預測邊坡的位移變形，該模型較傳統(tǒng)的MGM(1，n)模型預測精度高，可為邊坡的治理和防護提供一定的參考依據(jù)。

2 時移小波-灰色理論在邊坡監(jiān)測中的應用

2.1 時移小波相關性去噪基本方法

由測斜儀監(jiān)測的原始位移曲線由于受到自然因素、人為因素等的影響常呈齒狀突變分布，需對數(shù)據(jù)進行去噪預處理來提高MGM(1，n)預測模型的精度。目前常用的經典小波去噪方法有模極大值去噪［5］方法、相關性去噪方法、小波閾值去噪方法。本文采用小波相關性去噪方法，時移小波系數(shù)相關性去噪源于空域相關性去噪方法［6］的研究。空域相關性去噪方法針對的是信號序列分解后不同尺度小波系數(shù)序列的相關性，而時移小波系數(shù)相關性去噪法針對的是不同時間信號序列分解同一層小波系數(shù)的相關性。時移小波系數(shù)相關去噪先將各時間的信號序列進行小波分解，分解成近似系數(shù)和不同尺度小波系數(shù)，再算出各尺度小波系數(shù)序列的臨時同尺度相關系數(shù)，利用上述相關性，區(qū)別出相關系數(shù)很小的噪音所在的尺度，經處理重構后得出近似真實信號。去噪步驟如下:

(1)選定一種小波，對幾組相關信號進行小波(小波包)分解，在MatLab中的分解命令為

(2)求這幾組信號的每個尺度的小波系數(shù)兩兩相關的相關系數(shù)。

(3)求各層小波系數(shù)鄰時的兩兩相關系數(shù)的層相關均值及所有均值的總相關均值。

(4)將層相關均值大于或等于總相關均值的該層小波系數(shù)全保持不變。

(5)將層相關均值小于總相關均值的該層小波系數(shù)用時間軸上的自相關系數(shù)來篩選，將自相關性明顯突出的小波系數(shù)保留，其他的去除。

(6)將選擇置零處理后的小波系數(shù)C在MatLab中小波重構，得到去噪后的真實信號，重構命令為

2.2 邊坡監(jiān)測值的小波－MGM(1，n)預測的實現(xiàn)方法

預測模型MGM(1，n)需要的是等間隔的數(shù)據(jù)序列，而我們所監(jiān)測的數(shù)據(jù)一般不是等時間間隔的，因此在利用小波－MGM(1，n)模型時先采用分段線性插值對數(shù)據(jù)進行預處理，模型預測的實現(xiàn)方法如下［7］:

(1)選擇用來信號分解的基本小波類型，運用MatLab中已有的小波分解的命令對深度－位移曲線進行小波分解。

(2)建立MGM(1，n)模型，模型采用生成數(shù)列建模，設(t)(i=1，2，3，…，n)為n 個灰時間序列(t)(i=1，2，3，…，n)為相應的一次累加生成序列，即

MGM(1，n)模型的n元一階常微分方程為

則式(5)可寫成矩陣形式，即

則式(6)的連續(xù)時間響應式為

為求辨識參數(shù)A(v)和B(v)，將式(5)進行離散化得到:

由最小二乘法得到A(v)，B(v)(A(v)，B(v)的最小二乘估計)

式中:L=

模型MGM( 1，n) 的計算值為

(3)將得到的預測值在MatLab重構，得到生成和預測的深度－位移曲線。

(4)計算預測曲線和實測曲線的殘差和自相關系數(shù)來校核模型的精度。

3 工程實例

3.1 工程概況

邊坡位于錦屏一級水電站壩址區(qū)右岸，地勢陡峻、基巖裸露、相對高差1 000 m有余，為典型的深切“V”型谷坡，其穩(wěn)定性對確保施工期和運行階段的工程安全非常重要。該右岸開挖邊坡在2007年布置了3套活動式測斜儀監(jiān)測邊坡內部的位移，本文主要依托該邊坡布設在1 885 m高程拌和平臺的測斜孔VE01測點當年的累積位移值進行分析研究。本測斜管的監(jiān)測數(shù)據(jù)包括A向(左右岸向，向左為正)和B向(上下游向，下游為正)，下文針對B向的系列值來進行處理分析。

圖1為2007年6月至10月共9 d的監(jiān)測數(shù)據(jù)。高程1 885拌和平臺VE01的測值變幅一般都較大，這與該部位巖性及邊坡開挖有一定關系。后面的建模分析及預測以這9 d(6月16日至9月4日)的數(shù)據(jù)為主。表1為這9 d的具體監(jiān)測數(shù)據(jù)。

圖1 VE01點B向的深度－累積位移Fig.1 Curves of cumulative displacement(in direction B)vs.elevation of point VE01

3.2 監(jiān)測數(shù)據(jù)的時移小波處理與灰色模型建模分析

對于該系列累積位移值，首先采用時移小波相關性去噪方法對監(jiān)測數(shù)據(jù)降噪處理。由于監(jiān)測數(shù)據(jù)的時間間隔不等，因此先對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行分段線性預插值處理，然后對處理后的數(shù)據(jù)建立時移小波－MGM(1，n)預測模型進行分析。

為得到更加精確的預測值，本文的灰色預測模型MGM(1，n)采用了2種小波函數(shù)(分別為db5，db2)來進行去噪分解處理，這2種小波的分解層數(shù)均為6層，各記為db5－6，db2－6，并以此為基礎在MatLab中編程實現(xiàn)了這2種小波－MGM(1，n)模型的預測。第1組預測模式db5小波是選取前6天的實測位移數(shù)據(jù)進行建模，第7天的實測數(shù)據(jù)用來檢驗模型的準確性;第2組預測模式db2小波是選取前8天的實測位移數(shù)據(jù)進行建模，第9天的實測數(shù)據(jù)用來檢驗模型的準確性，利用殘差自相關系數(shù)來校核擬合值和預測值的準確性。

(1)對VE01點B向9天的監(jiān)測位移數(shù)據(jù)進行降噪平滑處理后，得到去噪后的深度－累積位移曲線見圖2。

(2)對去噪后深度－位移曲線做小波函數(shù)為db5的分解層數(shù)為6的6－1預測(即6組預測1組)以及預測曲線和實測曲線的殘差比較，預測曲線和殘差值分別見圖3和圖4。

表1 VE01點B向累積位移—深度監(jiān)測數(shù)據(jù)Table 1 Monitored data of cumulative displacement(in direction B:upstream-downstream direction)vs.elevation of point VE01

圖2 VE01點B向去噪前后的深度－累積位移曲線Fig.2 Curves of cumulative displacement(in direction B)vs.elevation of point VE01 before and after de-noising

圖3 db5－6分解6－1曲線Fig.3 Six measured curves and one prediction curve with wavelet function db5 and 6 decomposition layers

對該種小波預測模式進行精度檢驗，其殘差自相關系數(shù)見表2。

(3)對深度－位移曲線作小波函數(shù)為db2的分解層數(shù)為6的8－1預測(即8組預測1組)以及預測曲線和實測曲線的殘差比較，預測曲線和殘差值結果分別見圖5和圖6。

對該種小波預測模式進行精度檢驗，其殘差自相關系數(shù)見表3。

圖4 db5－6分解6－1殘差Fig.4 Residuals of six measured curves and one prediction curve with wavelet function db5 and 6 decomposition layers

圖5 db2－6分解8－1曲線Fig.5 Eight measured curves and one prediction curve with wavelet function db2 and 6 decomposition layers

通過對小波函數(shù)為db5和db2的分解和重構和比較殘差和殘差自相關系數(shù)，發(fā)現(xiàn)時移小波－灰色理論能夠很好地模擬真實信號并預測出深度－位移曲線，用小波函數(shù)db2作6層分解的(8組預測1組)模式的效果不及用小波函數(shù)db5作6層分解的(6組預測1組)模式。當然并不局限于這2種模式，可以通過改變小波函數(shù)、分解層次和基礎數(shù)據(jù)組數(shù)來尋求最佳的預測模式。

圖6 db2－6分解8－1殘差Fig.6 Residuals of eight measured curves and one prediction curve with wavelet function db2 and 6 decomposition layers

表2 db5－6－1小波預測的殘差自相關系數(shù)Table 2 Residual autocorrelation coefficient of db5 wavelet prediction

表3 db2－8－1小波預測的殘差自相關系數(shù)Table 3 Residual autocorrelation coefficient of db2 wavelet prediction

4 結論

本文基于時移小波－灰色理論基礎，利用Mat-Lab的軟件包工具箱，對測得的深度位移曲線進行去噪處理并將時移小波進行分解與重構，得到如下結論:

(1)時移小波系數(shù)相關性去噪，利用了不同時間的白噪音的不相關性和真實信號的相關性，能較好地對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行降噪平滑處理。

(2)小波－MGM(1，n)預測模型利用n組相關聯(lián)的數(shù)據(jù)來預測下一階段的數(shù)據(jù)的精度較高，該方法可以任意選擇Daubechies(db N)小波系列中的函數(shù)類型、分解層數(shù)、起始曲線以及基礎數(shù)據(jù)組數(shù)，可以作出幾組預測，比較殘差后，選擇最佳預測曲線。

［1］王 波.一種改進的灰色預測模型分析［J］.太原城市職業(yè)技術學院院報，2012，(6):166－167.(WANG Bo.An Improved Grey Prediction Model Analysis［J］.Journal of Taiyuan Urban Vocational College，2012，(6):166－167.(in Chinese))

［2］鄧聚龍.灰色系統(tǒng)基本方法［M］.武漢:華中理工大學出版社，1987.(DENG Ju-long.Grey System Method［M］.Wuhan:Huazhong University of Science and Technology Press，1987.(in Chinese))

［3］毛亞純，賈崴崴，沙成滿，等.基于小波分析的灰色預測法預測邊坡變形［J］.礦業(yè)工程，2010，8(6):17－20(MAO Ya-chun，JIA Wei-wei，SHA Cheng-man，et al.Wavelet Analysis Based Grey Model Applied in Prediction of Slope Deformation［J］.Journal of Mining Engineering，2010，8(6):17－20.(in Chinese))

［4］吳 偉，蔡培升.基于Matlab的小波去噪仿真［J］.信息與電子工程，2008，6(3):202－ 222，229.(WU wei，CAI Pei-sheng.Simulation of Wavelet Denoising Based on MatLab［J］.Information and Electronic Engineering，2008，6(3):220－222，229.(in Chinese))

［5］MALLAT S，HWANG W L.Singularity Detection and Processing with Wavelets［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1992，38(2):617－643.

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［7］徐建江，裴 亮.基于小波分析的MGM(1，N)模型在大壩監(jiān)測系統(tǒng)中的應用［J］.中國農村水利水電，2013，3(7):108－ 110，117.(XU Jian-jiang，PEI Liang.The Application of Dan Monitoring Systems Based on MGM(1，N)Model on Wavelet Analysis［J］.Journal of China Rural Water and Hydropower，2013，3(7):108－110，117.(in Chinese))