王軍龍

(西安鐵路職業(yè)技術(shù)學院 土木工程系，西安 710600)

1 研究進展

砂土液化是在循環(huán)往復荷載作用下，飽和砂土層孔隙水位升高，有效應力降低，造成地基承載力部分或者全部喪失，形成的一種破壞性嚴重的區(qū)域性地質(zhì)災害。20世紀60年代以來，幾次大的地震，如日本新瀉地震(1964)、美國阿拉斯加地震(1964)、中國唐山大地震(1978)以及神戶大地震(1995)、汶川特大地震(2008)等均因砂土液化導致堤防或建筑物大規(guī)模的破壞，給人類造成了巨大的經(jīng)濟損失，砂土液化問題引起了工程界的廣泛關(guān)注［1－2］?？紤]單因素判定砂土液化具有一定的片面性，多因素綜合評判就成為砂土液化判別分析的一種可行方法。據(jù)此，國內(nèi)外的學者提出了多種綜合預測模型和方法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、支持向量機模型、模糊綜合評價法、距離判別法、投影尋蹤模型、分形-插值模型［3－9］等。

總結(jié)上述模型和方法，可以將其分為2種類型:①以砂土液化分類標準為基礎(chǔ)采用一定的數(shù)學方法建立模型，這類模型和方法主要包括模糊綜合評價法、投影尋蹤模型和分形-插值模型，其中投影尋蹤模型和分形-插值模型將砂土分類標準直接轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式，易于使用，這類模型的有效性依賴于分類標準的準確性;②以一定的砂土液化樣本數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對已有的模型和方法進行訓練，從而建立砂土液化預測模型，模型的有效性依賴于訓練樣本的數(shù)量，這類模型和方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、支持向量機模型和距離判別法等。

從模型的通用性和實用性考慮，具有一定數(shù)學表達式的模型更易于被理解和應用，其只需將實際數(shù)據(jù)輸入數(shù)學表達式中即可計算出預測結(jié)果。為了建立簡單實用的砂土液化預測模型，本文結(jié)合主成分分析和Logistic回歸模型來描述砂土液化等級與影響因素之間的映射關(guān)系，建立了砂土液化預測的數(shù)學表達式。根據(jù)數(shù)據(jù)樣本的不同，該模型可以實現(xiàn)上述2種類型，即砂土液化分類標準的數(shù)學表達，以及砂土液化實例數(shù)據(jù)的經(jīng)驗表達。最后，工程實例分析結(jié)果顯示，本文建立的砂土液化預測模型簡單實用，預測效果良好，可以在工程中推廣應用。

2 基本方法

對于砂土液化預測問題，砂土液化等級為類別變量［9］(不液化(Ⅰ)、輕微液化(Ⅱ)、中等液化(Ⅲ)、嚴重液化(Ⅳ)4個等級)，砂土液化指標為連續(xù)變量，對于這種連續(xù)變量到類別變量之間的函數(shù)關(guān)系，可以采用Logistic回歸分析進行描述。由于砂土液化指標之間具有高度的相關(guān)性，直接建立Logistic模型，可能導致模型不穩(wěn)定、解釋上的沖突等［10］。為此，本文在建立Logistic回歸模型之前，采用主成分分析降低指標之間的相關(guān)性，將多個指標綜合為少數(shù)幾個彼此獨立的主成分，從而避免多重共線性的影響。

2.1 主成分分析

主成分分析是一種將多維數(shù)據(jù)進行降維處理，簡化為少數(shù)幾個不相關(guān)的綜合指標(主成分)的多元統(tǒng)計分析方法。其建模過程具體如下:

(1)數(shù)據(jù)預處理。假設(shè)有m個樣本(i=1，2，…，m)，n 個指標(j=1，2，…，n)，對原始數(shù)據(jù) X=進行均值化處理，可保留數(shù)據(jù)內(nèi)的變異信息［11］:

(2)計算均值化數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣S=(sij)n×n。

(3)計算協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量。S的n個特征值記為:λ1≥λ2≥…≥λn，標準化特征向量為ajj=(aj1，aj2，…，ajn)，則第 i個樣本的第 j個主成分為

2.2 Logistic回歸模型

Logistic回歸分析的目的是建立經(jīng)驗公式，以便由自變量預測因變量概率分布。令y=1，2，3，4表示砂土液化的4個等級。令q1=p(y≤1)，q2=p(y≤2)，…，q3=p(y≤3)，常用的 Logistic回歸模型是［12］:

式中:βi0為截距，i=1，2，…，4;β1，…，βn為斜率系數(shù);x1，…，xn為自變量。

由已有觀測值能估計出 βi0，β1，…，βn，從而砂土液化各等級的概率表達式:

這時對于給定的自變量x1，…，xn的值，由回歸方程可以預測 q1，q2，q3，再由 p(y=1)=q1，p(y=2)=q2－q1，…，p(y=3)=q3－ q2，p(y=4)=1－q3可以預測各砂土液化等級概率。根據(jù)各類別的概率，由可以確定響應變量屬于類別y=l。

3 砂土液化等級預測的主成分-Logistic回歸模型

3.1 類型Ⅰ:砂土液化等級的數(shù)學表達

首先本文建立第1種類型的主成分-Logistic回歸模型，即模型的建立以砂土液化等級分類標準為基礎(chǔ)，應用效果完全依賴于砂土液化等級分類標準的準確性。

3.1.1 評價指標與分類標準

影響砂土液化的因素很多，但大體上可分為3大類:第1類是砂土特性，如土的種類、顆粒組成和密實度;第2類是土層埋藏條件;第3類是地震因素或稱地震條件。參考以往研究，選擇震級M，地面加速度最大值gmax，標貫擊數(shù) N63.5，比貫入阻力 Ps，相對密度Dr，平均粒徑D50，地下水位dw7個因素作為評價指標。各指標的分類標準詳見文獻［9］。

3.1.2 生成樣本數(shù)據(jù)

由于本文模型的建立和參數(shù)的確定是由數(shù)據(jù)驅(qū)動，因此需要利用砂土液化分類標準來生成數(shù)據(jù)作為建?；A(chǔ)。由于正態(tài)分布是自然界中最常見的分布形式之一，按照各指標的分類標準，每個指標在每個等級范圍內(nèi)按照正態(tài)分布隨機產(chǎn)生20個樣本，其中分布參數(shù)均值和標準差(3σ原理)按照下式確定:

式中:Cmax和Cmin分別為等級最大值和最小值為均值，σ為標準差。

采用Matlab軟件normrnd()函數(shù)即可實現(xiàn)，對于每個指標采用同一組隨機數(shù)值，共形成80個評價樣本，將不液化(Ⅰ)、輕微液化(Ⅱ)、中等液化(Ⅲ)、嚴重液化(Ⅳ)分別賦予響應值 4，3，2，1，具體如表1所示。

3.1.3 建立預測模型

首先按照本文介紹的主成分分析步驟，計算得到協(xié)方差矩陣的特征值為0.002，0.006，0.010，0.018，0.019，0.061，2.267，特征值 2.267 累計方差貢獻率為95.1%＞85%，因此取其對應的特征向量a=(－0.166，－0.366，0.497，0.388，0.425，0.338，0.382)。根據(jù)式(1)和式(2)得到主成分計算公式為

表1 樣本數(shù)據(jù)Table 1 Sample data

根據(jù)式(7)可計算各樣本對應的主成分值，并用于建立Logistic回歸模型。獲得樣本的主成分值以后，采用Logistic模型建立各樣本對應的主成分與經(jīng)驗等級(響應值)之間的函數(shù)關(guān)系。以SPSS軟件實現(xiàn)Logistic模型參數(shù)的求解，具體可以參閱相關(guān)軟件的介紹資料，本文不再復述軟件求解過程，得到模型表達式如下:

將各指標實測值代入式(8)至式(11)中即可計算砂土液化屬于各等級的概率，從而確定砂土液化等級。Logistic回歸模型對上述樣本的擬合結(jié)果與實際結(jié)果完全一致，說明其可以很好地表達砂土液化等級分類標準。

3.2 類型Ⅱ:砂土液化實例的經(jīng)驗表達

上述第1種類型的主成分-Logistic回歸模型實現(xiàn)了砂土液化等級分類標準的數(shù)學表達，但是很容易發(fā)現(xiàn)砂土液化等級分類標準隨機產(chǎn)生的樣本完全滿足所有指標的分級標準，而實際工程中，許多指標數(shù)據(jù)并不可能同時屬于某個等級，并且分類標準的劃分具有主觀性。下面以砂土液化實例作為樣本數(shù)據(jù)來建立主成分-Logistic回歸模型，從理論上講這類模型應該更符合實際，但是由于樣本數(shù)量的限制，也不易達到理想的預測效果。

3.2.1 評價指標和樣本數(shù)據(jù)

同樣采用上述7個因素作為評價指標，采用文獻［13］中提供的25組數(shù)作為分析樣本，具體數(shù)據(jù)詳見文獻［13］。其中前20組數(shù)據(jù)作為建模樣本數(shù)據(jù)，后5組數(shù)據(jù)則作為檢驗樣本，以檢驗模型的預測效果。

3.2.2 建立模型

以20組建模樣本數(shù)據(jù)，按照本文介紹的主成分分析步驟，計算得到協(xié)方差矩陣的特征值為0.016，0.036，0.044，0.114，0.185，0.355，0.734，最大的前3個特征值累計方差貢獻率為85.8%＞85%，因此取其對應的特征向量計算前3個主成分。根據(jù)式(1)和

式(2)得到主成分計算公式為

根據(jù)以上各式可計算各樣本對應的主成分值，并用于建立Logistic回歸模型。獲得了樣本的主成分值以后，采用Logistic模型建立各樣本對應的主成分與經(jīng)驗等級(響應值)之間的函數(shù)關(guān)系。以SPSS軟件實現(xiàn)Logistic模型參數(shù)的求解，得到模型表達式如下:

將各指標實測值代入式(15)至式(18)中即可計算砂土液化屬于各等級的概率，從而確定砂土液化等級。Logistic回歸模型對前20個樣本的擬合結(jié)果與實際結(jié)果完全一致，說明其可以很好地表達砂土液化等級與砂土液化指標之間的經(jīng)驗關(guān)系。

4 工程應用

下面以實例數(shù)據(jù)驗證和比較上述2種類型的主成分-Logistic回歸模型對砂土液化等級的預測效果。由于第1種類型的主成分-Logistic回歸模型采用的是分類標準生成的數(shù)據(jù)，首先以其對文獻［13］中提供的25組數(shù)據(jù)進行預測，檢驗預測效果，并與分形-插值模型［9］和可拓物元模型［13］進行對比分析。本文僅列出了3種預測結(jié)果與實際結(jié)果存在差異的樣本，見表2。

從表2的預測結(jié)果可以看出，本文所建立的主成分-Logistic回歸模型與可拓物元模型具有相同的預測效果，都僅出現(xiàn)了2處與實際不一致的地方，預測準確率92%，而分形－插值模型出現(xiàn)了3處與實際不一致的地方，預測準確率88%，稍低于主成分-Logistic回歸模型。上述結(jié)果說明了本文所建立的第一種類型的主成分-Logistic回歸模型預測效果良好，可以使用。

表2 樣本實測值和不同模型的預測結(jié)果Table 2 Measured values of samples and model-predicted results

其次，以5組檢驗樣本數(shù)據(jù)對第2種類型的主成分-Logistic回歸模型進行檢驗，并與第1種類型的主成分-Logistic回歸模型進行對比分析，結(jié)果見表3。

表3 2種類型的主成分-Logistic回歸模型預測結(jié)果Table 3 Predicted results of two types of PCA-Logistic models

從表3的結(jié)果可以看出，2種類型的主成分-Logistic回歸模型對樣本的預測等級完全一致，僅最后一個樣本與實際結(jié)果存在差異，從對各等級的概率結(jié)果來看，第2種類型的主成分-Logistic回歸模型計算樣本25屬于等級Ⅰ的概率更大(0.340＞0.117)，說明樣本25更偏向于等級Ⅰ，從這個角度來看，第2種類型的主成分-Logistic回歸模型預測結(jié)果確實更符合實際。如果能利用更多的實例數(shù)據(jù)，相信可以得到更好的預測效果。

5 結(jié)論

(1)現(xiàn)有砂土液化等級的多指標預測模型可以分為2種類型:第1類以砂土液化等級分類標準為基礎(chǔ)，預測效果依賴于分類標準的準確性;第2類以實例數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，預測效果依賴于樣本的數(shù)量。

(2)根據(jù)砂土液化分類標準生成樣本數(shù)據(jù)，以主成分分析對數(shù)據(jù)進行降維處理，以Logistic模型描述砂土液化等級與影響因素之間的映射關(guān)系(分類標準)，建立了第1種類型的主成分-Logistic回歸模型，工程實例分析結(jié)果顯示該模型預測效果良好，可以在實際中應用。

(3)以工程實例數(shù)據(jù)作為訓練樣本建立第2種類型的主成分-Logistic回歸模型，用于描述砂土液化等級與影響因素之間的經(jīng)驗關(guān)系，與第1種類型的主成分-Logistic回歸模型的對比結(jié)果顯示，第2種類型的主成分-Logistic回歸模型預測結(jié)果更符合實際情況，在具有較多實例數(shù)據(jù)時，其更具有應用價值。

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