代述兵，劉韓生，卞曉衛(wèi)，楊吉健

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西楊凌 712100;2.中國水電顧問集團 貴陽勘測設(shè)計研究院，貴陽 550081)

1 研究背景

拋物線類斷面的收縮水深基本方程為高次隱函數(shù)方程，理論上無解析解，傳統(tǒng)求解方法為試算法、圖解法，計算過程太繁瑣，誤差大。平方拋物線形渠道收縮水深的研究成果較多，參考文獻［1－6］作者先后均對平方拋物線形渠道進行了深入研究，其中趙延風(fēng)等［1］、文輝等［2］提出了最優(yōu)結(jié)果，適用范圍相對廣，精度相對高。趙延風(fēng)公式適用范圍還可以進一步提高，以期更大范圍覆蓋工程使用范圍。文輝等［2］公式為解析解，因而無誤差，適用范圍廣，但其解析解需要求解3個表達式復(fù)雜的參數(shù)，求解過程繁瑣。文輝等［7］對半立方拋物線形渠道收縮水深進行了研究，冷暢儉等［8］對3次拋物線形渠道進行了研究，但文輝、冷暢儉公式適用范圍和精度均較工程使用范圍窄，可以進一步提高。

2 拋物線類斷面無量綱收縮水深迭代公式

拋物線類渠道斷面見圖1，拋物線類渠道方程為

圖1 拋物線類渠道斷面Fig.1 Parabola-shaped channel section

式中p為形狀參數(shù)，p＞0。

收縮水深的基本方程為

式中:E0為以收縮斷面底部為基準面的過水建筑物上游總水頭(m);hc為收縮斷面處的水深(m);Q為過水流量(m3/s);g為重力加速度(m/s2);φ為流速系數(shù);Ac為收縮斷面過水面積(m2)。

半立方、平方、立方拋物線斷面過水面積公式為

無量綱收縮水深為

將式(3)、式(4)代入式(2)并令等式等于k，得

Q，p，E0已知，則 k可以求得，但式(5)為超越方程，無法直接求解，利用不動點迭代法可推得式(5)中半立方、平方、立方拋物線形無量綱收縮水深λ的迭代公式，即

3 迭代公式的收斂性證明

根據(jù)迭代理論［9］，方程x=φ(x)的一個根為N，則迭代公式xi+1=φ(xi)收斂于N的條件為:在N的某一個領(lǐng)域|x－N|＜δ內(nèi)，迭代函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的絕對值小于某一個正數(shù)L，即|φ'(x)|≤L，且0＜L＜1，那么以該鄰域內(nèi)任一點為初值的迭代都收斂于N。因此，只要證明以上迭代函數(shù)的倒數(shù)絕對值小于1，就可以證明該迭代函數(shù)是收斂的。據(jù)此證明式(6)的收斂性。

由上述可知只需證明|φ'(x)|＜1即可證明該迭代函數(shù)收斂。以立方拋物線無量綱收縮水深迭代公式例證明其收斂性。

將式(5)代入式(7)得

φ'(λ)在無量綱收縮水深工程常用范圍λ∈［0.01，0.60］單調(diào)遞減，而 λ=0.01 時 φ'(λ)=－3.788 ×10－3，λ=0.6 時 φ'(λ)=－0.562 5，由于φ'(λ)單調(diào)遞減，因而|φ'(λ)|＜1 恒成立，因而迭代公式收斂。同理其余2個迭代公式收斂。

4 迭代初值選取與收縮水深的直接計算公式

迭代計算收斂快慢主要取決于2個因素:①迭代公式格式;②迭代初值選取是否恰當(dāng)。只有在迭代公式與合適的迭代初值配合使用才能達到收斂快、精度高的目的。1stopt軟件是世界上非線性曲線擬合方面功能最為強勁的軟件，是目前唯一能以任何初始值而求得美國國家標準與技術(shù)研究院非線性回歸測試題集最優(yōu)解的軟件包。其進行非線性擬合的主要原理是利用迭代程序計算殘差平方和來評估是否達到最佳擬合效果，當(dāng)殘差平方和達到最小值時，迭代過程結(jié)束，得出的即為擬合公式的最優(yōu)結(jié)果。

為了選取得到λ的較優(yōu)迭代初值，在工程常用范圍 λ∈［0.01，0.6］內(nèi)，以一定步長給出一系列數(shù)，代入式(5)，可求得一系列k。為了擬合得到λ為因變量、k為自變量的函數(shù)式，以λ殘差平方和達到最小為目標函數(shù)，基于遺傳算法對模型參數(shù)進行優(yōu)化擬合，當(dāng)殘差平方和達到最小值時，優(yōu)化過程結(jié)束，得出的即為擬合公式的最優(yōu)結(jié)果，此即為迭代初值。

將式(9)代入迭代式(6)得直接計算公式為

5 公式誤差分析及比較

在工程常用范圍內(nèi)，取一系列 λ=0.01～0.6的值，代入式(5)中得到k值，再將k值代入無量綱收縮水深的直接計算公式(10)得到欲求的λ的近似值，相對誤差此λ的誤差與hc誤差一致，圖2為無量綱收縮水深λ和收縮水深hc的相對誤差分析。

表1為目前關(guān)于半立方、平方、立方拋物線型渠道收縮水深的所有公式統(tǒng)計表。

圖2 相對誤差分布Fig.2 Distribution of relative error

表1 拋物線類渠道收縮水深公式Table 1 Formulas of contracted water depth for parabola-shaped channels

本文所得到的半立方、立方拋物線形渠道的研究成果是目前適用范圍最廣、精度最高的公式。目前平方拋物線渠道成果最優(yōu)的為文輝等［2］公式和趙延風(fēng)等［1］公式(1)，適用范圍大并且誤差小;本文平方拋物線形渠道成果與趙延風(fēng)等［1］公式(1)適用范圍一致，但精度優(yōu)于公式(1)［1］;本文成果在適用范圍和精度上稍遜色于文輝等公式，但文輝等公式包括3個表達式復(fù)雜的參數(shù)，計算過程繁瑣，且本文在計算過程上比文輝公式簡捷，因而本文平方拋物線形渠道收縮水深直接計算公式為一個較好的計算公式。

6 應(yīng)用舉例

已知某閘前斷面總水頭E0=10.31 m，通過流量為Q=100 m3/s，流速系數(shù)φ=0.95，若采用半立方拋物線方程為y=0.4|x|3/2，求閘后斷面收縮水深hc。若其他參數(shù)不變，僅改變方程指數(shù)，變?yōu)槠椒健⒘⒎?，求閘后斷面收縮水深hc。

半立方:把 E0=10.31 m，Q=100 m3/s，φ=0.95，p=0.4代入式(5)得 k=4.700 208 ×10－3，再將 k代入式(10)得 λ=0.216 1，即 hc=2.228 2 m。相對誤差為－0.027 8%，誤差非常小，精度滿足工程要求。

平方:把 E0=10.31 m，Q=100 m3/s，φ=0.95，p=0.4代入式(5)得 k=0.011 258，再將 k 代入式(10)得到 λ=0.246 3，即 hc=2.539 7m。相對誤差為－0.025%，誤差非常小，精度滿足工程要求。

立方:把 E0=10.31 m，Q=100 m3/s，φ=0.95，p=0.4代入式(5)得 k=0.026 248，再將 k 代入式(10)得到 λ=0.290 5，即 hc=2.994 6 m。相對誤差為－0.009 8%，誤差非常小，精度滿足工程要求。

7 結(jié)論

本文從半立方、平方、立方拋物線形斷面收縮水深基本方程推導(dǎo)，得到了關(guān)于λ的超越方程，無法得到其理論解，而繼續(xù)推導(dǎo)得到了λ的迭代公式。利用1stopt軟件，基于遺傳算法，對給定非線性函數(shù)模型進行參數(shù)優(yōu)化擬合，建立了半立方、平方、立方拋物線形渠道收縮水深的直接計算公式。誤差分析及實例計算成果表明:在工程常用范圍λ∈［0.01，0.6］內(nèi)，半立方、平方、立方拋物線形渠道收縮水深的最大相對誤差分別僅為0.064%，－0.091%，0.136%。直接計算公式物理概念明確，適用范圍廣，通用性強，克服了在收縮水深計算中不能直接求解的缺點，避免了采用試算法、圖表法等間接方法的繁瑣和限制，為拋物線形渠道的設(shè)計、運行管理等提供了參考。

［1］趙延風(fēng)，宋松柏，孟秦倩.拋物線形斷面渠道收縮水深的直接計算方法［J］.水利水電技術(shù)，2008，39(3):36－41.(ZHAO Yan-feng，SONG Song-bai，MENG Qinqian.A Direct Calculation Method for Water Depth in Parabolic-shaped Channel with Contracted Section［J］.Water Resources and Hydropower Engineering，2008，39(3):36－41.(in Chinese))

［2］文 輝，李風(fēng)玲.拋物線形斷面渠道收縮水深的解析解［J］.長江科學(xué)院院報，2009，26(9):32－33.(WEN Hui，LI Feng-ling.Analytical Solution of Water Depth in Parabolic-Shaped Channel with Contracted Section［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2009，26(9):32－33.(in Chinese))

［3］王正中，王 羿，趙延風(fēng)，等.拋物線斷面河渠收縮水深的直接計算公式［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版)，2011，44(2):175－177.(WANG Zheng zhong，WANG Yi，ZHAO Yan-feng，et al.Formula for Direct Calcula-tion of Contracted Depth of Parabola-shaped Canal［J］.Engineering Journal of Wuhan University，2011，44(2):175－177.(in Chinese))

［4］趙延風(fēng)，王正中，劉計良.拋物線類渠道斷面收縮水深的計算通式［J］.水力發(fā)電學(xué)報，2013，32(1):126－131.(ZHAO Yan-feng，WANG Zheng-zhong，LIU Ji-liang.General Explicit Equations for Calculation of Contracted Flow Depths in Channels of Parabolic Cross-Sections［J］.Journal of Hydroelectric Engineering，2013，32(1):126－131.(in Chinese))

［5］藤 凱.拋物線形斷面渠道收縮水深的簡易算法［J］.人民長江，2013，44(9):97－99.(TENGKai.A Simple Algorithm of Contraction Depth of Parabola Channel［J］.Yangtze River，2013，44(9):97－99.(in Chinese))

［6］蘆 琴，王正中，任武剛.拋物線形渠道收縮水深簡捷計算公式［J］.干旱地區(qū)農(nóng)業(yè)研究，2007，25(2):134－136.(LU Qin，WANG Zheng-zhong，REN Wu-gang.A Formula for Quickly Calculating Water Depth at Vena Contraction in Parabola Form Channel［J］.Agricultural Research in the Arid Areas，2007，25(2):134－136.(in Chinese))

［7］文 輝，李風(fēng)玲.立方拋物線斷面渠道收縮水深的直接計算方法［J］.人民長江，2009，40(13):58－59.(WEN Hui，LI Feng-ling.Formula for Direct Calculation of Contracted Depth of Cubic Parabola Channel［J］.Yangtze River，2009，40(13):58－59.(in Chinese))

［8］冷暢儉，王正中.三次拋物線形渠道斷面收縮水深的計算公式［J］.長江科學(xué)院院報，2011，28(4):29－31.(LENG Chang-jian，WANG Zheng-zhong.Formula for Calculating Contracted Water Depth of Channel with Cubic Parabola Cross Section［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2011，28(4):29－ 31.(in Chinese))

［9］李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2008.(LI Qing-yang，WANG Neng-chao，YI Da-yi.Numerical Analysis［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2008.(in Chinese))