王超，喬俊飛

（1．北京工業(yè)大學電子信息與控制工程學院，北京100124；2．北京工業(yè)大學計算智能與智能系統(tǒng)北京市重點實驗室，北京100124）

參數(shù)自適應粒子群算法的給水管網(wǎng)優(yōu)化研究

王超1，2，喬俊飛1，2

（1．北京工業(yè)大學電子信息與控制工程學院，北京100124；2．北京工業(yè)大學計算智能與智能系統(tǒng)北京市重點實驗室，北京100124）

針對粒子群算法在解決給水管網(wǎng)優(yōu)化問題時存在容易陷入局部最優(yōu)的缺點，通過分析粒子的運動軌跡和相似程度，提出一種參數(shù)自適應粒子群算法。該算法利用種群粒子與期望粒子之間相似度的大小，動態(tài)調(diào)整算法參數(shù)，平衡算法全局和局部搜索能力，利用分期變異策略增加種群多樣性，保證算法收斂于全局最優(yōu)值。將改進算法用于優(yōu)化漢諾塔管網(wǎng)和紐約管網(wǎng)2個經(jīng)典的管網(wǎng)案例，證明算法可以有效應用于給水管網(wǎng)這類組合優(yōu)化問題。將該算法優(yōu)化實際的管網(wǎng)改擴建案例，結果表明，所提出的算法具有更好的尋優(yōu)性能和收斂性能。

給水管網(wǎng)系統(tǒng)；粒子軌跡；相似度；參數(shù)調(diào)整；自適應粒子群

給水管網(wǎng)是城市給水系統(tǒng)的重要組成部分，其投資往往占整個給水系統(tǒng)工程總投資的60%～80%，而且運行期間還需投入龐大的運行動力費及管理維修費［1］。當前我國各城市給水管網(wǎng)都已達到一定規(guī)模，原有管網(wǎng)出現(xiàn)外壁腐蝕、爆管漏損率高等問題；隨著城市的快速發(fā)展，部分管道無法滿足供水需求；城市街道拓寬、其他管線的施工使現(xiàn)有管道需做相應調(diào)整。針對這些問題，需對給水管網(wǎng)進行改擴建優(yōu)化設計。

為了優(yōu)化給水管網(wǎng)，許多方法被廣泛應用，如遺傳算法［2?3］、蟻群算法［4］、啟發(fā)式算法［5］、差分算法［6］和足球聯(lián)賽競爭算法［7］。其中粒子群（particle swarm optimization，PSO）算法因其可調(diào)參數(shù)少及具有本質(zhì)的并行性、全局搜索能力強、整體收斂速度快等優(yōu)點，展現(xiàn)了較大的解決多種優(yōu)化問題的潛力和發(fā)展空間，同時PSO算法在解決給水管網(wǎng)這類組合優(yōu)化問題時也存在以下缺點：容易陷入局部極值、局部搜索能力差導致的搜索精度不高。

針對PSO算法在優(yōu)化給水管網(wǎng)系統(tǒng)時容易陷入局部極值的問題，文獻［8］提出在PSO算法中加入遺傳算法的交叉和變異操作，對新產(chǎn)生的位置進行隨機變異，避免算法陷入局部極值，并通過優(yōu)化實際管網(wǎng)案例表明改進算法的有效性，同時算法在搜索后期收斂速度變慢；文獻［9］提出在PSO算法的速度公式中加入一個收縮因子，實現(xiàn)算法的離散優(yōu)化，刪除種群中重合的點并隨機產(chǎn)生相應的新個體，有效增加了種群多樣性，避免算法陷入局優(yōu)，同時算法的局部搜索能力有待加強；文獻［10］通過判斷2個粒子的空間距離提出聚集度的概念，并根據(jù)聚集度大小對粒子進行變異，避免算法陷入局優(yōu)，以上隨機增加種群多樣性的機制在一定程度確實能避免算法陷入局優(yōu)，提高全局搜索能力。針對PSO算法在優(yōu)化給水管網(wǎng)系統(tǒng)時由于局部搜索能力差導致的搜索精度不高的問題，許多學者通過改進參數(shù)的調(diào)整機制，平衡了算法的全局和局部搜索能力，或在算法中加入局部搜索機制增強算法的局部搜索能力。文獻［11］通過對自動學習機的研究，提出自動學習調(diào)整權重和加速系數(shù)的方法，對比冒險和保守2個調(diào)整策略，仿真結果表明具有學習自動調(diào)整的冒險策略能更高效地平衡算法的全局和局部搜索能力，提高算法的搜索精度，但算法收斂速度變慢；文獻［12］提出在PSO算法中加入差分進化算法的變異和選擇操作，對種群中的個體極值進行變異操作，相當于對個體極值的周圍進行局部搜索操作，增強了算法的搜索精度；文獻［13］提出根據(jù)每個粒子與全局最優(yōu)粒子的不同，評估種群粒子的相似度，利用相似度大小對慣性權重進行動態(tài)調(diào)整，根據(jù)種群分布狀態(tài)，在搜索后期增強算法的局部搜索能力，提高搜索精度。根據(jù)以上分析可知，當前改進的PSO算法在優(yōu)化給水管網(wǎng)問題時的性能得到一定程度的提升，同時仍存在待提高的研究方向。

PSO算法的3個參數(shù)ω、c1、c2對其尋優(yōu)效果有重要影響，慣性權重ω平衡算法的全局和局部搜索能力，加速系數(shù)c1可以調(diào)節(jié)粒子飛向自身最好位置的步長，加速系數(shù)c2可以調(diào)節(jié)粒子向群體最優(yōu)位置的飛行步長。因此，本文將繼續(xù)研究這3個參數(shù)的調(diào)整策略，并根據(jù)以上3個參數(shù)的調(diào)整思想，為動態(tài)評估種群中各粒子分布狀態(tài)，實現(xiàn)算法自適應性，對種群粒子進行收斂性分析，定義種群粒子相似度的概念，提出一種參數(shù)自適應粒子群算法（parameter adaptive particle swarm optimization，PAPSO），將改進的算法用于優(yōu)化實際的管網(wǎng)改擴建案例，取得較好的效果。

1 給水管網(wǎng)改擴建描述

給水管網(wǎng)系統(tǒng)改擴建優(yōu)化設計是在改造現(xiàn)有舊管網(wǎng)、發(fā)揮舊管網(wǎng)輸水能力的基礎上，決定如何經(jīng)濟合理的增敷新管［14］。使新舊管網(wǎng)滿足水量、水壓、水質(zhì)的要求，并使管網(wǎng)建造和運行年折算費用最低。1．1 目標函數(shù)

給水管網(wǎng)改擴建優(yōu)化的目的就是建立一個全面、統(tǒng)一的給水管網(wǎng)改擴建優(yōu)化設計模型，運用現(xiàn)代智能算法，尋求經(jīng)濟合理的改擴建方案［15］，目標函數(shù)是方案優(yōu)劣的評價標準，如式（1）所示：

式中：i0為基金收益率，m為大修理基金提取率，k為鋪設管道數(shù)目，a、b、α為管段造價系數(shù)，E為電費價格，η為泵站效率，Di為第i管段的直徑，Li為第i管段長度，xi為新建或改擴建管段，T為投資回收期，T1、T2為供水時間和傳輸時間，Qj、Hj、Qj′、Hj′為第j泵站高峰用水和最大傳輸時的流量及揚程，γ1、γ2為供水能量變化系數(shù)。

1．2 約束條件

給水管網(wǎng)的優(yōu)化方案需滿足一定的約束條件，依據(jù)給水工程的規(guī)范要求，目標函數(shù)的約束條件如下：

1）節(jié)點流量連續(xù)性約束

2）能量平衡約束

3）節(jié)點水壓約束

4）最小管徑及標準管徑約束

5）水流流速約束

6）舊管約束

2 PSO算法及其改進

PSO算法結合了生命科學和優(yōu)化計算的優(yōu)點，群體中的個體代表問題的一個潛在解，若優(yōu)化問題的搜索空間是n維的，則第i粒子的位置和速度可分別表示粒子根據(jù)速度和位置公式迭代如公式（8）和（9）所示。

式中：ω決定先前速度對現(xiàn)在的影響程度；Yi為個體極值；Yg為全局極值；c1、c2為粒子受到個體認知和社會認知的影響程度；r1、r2為0～1的隨機數(shù)。

2．1 粒子運動軌跡分析

粒子位置和速度變化過程的分析在本質(zhì)上是一樣的，為了描述粒子運動軌跡，本文只分析粒子的位置變化過程。為便于分析和表達，首先將問題空間簡化為一維的，僅研究某一個粒子的運動軌跡，并暫時先假設Yi、Yg不變，用φ1、φ2表示式（9）中的c1r1和c2r2，且為常數(shù)，于是得到粒子i的狀態(tài)方程組（10）、（11）［16］。

將式（11）代入式（10）可得

將式（10）中的時間后推一步，代入式（12），并將該式中的時間前推一步可得一個二階差分方程，如式（13）所示。

多個粒子位置的發(fā)散將使整個種群發(fā)散，粒子位置變化過程的穩(wěn)定性對種群的行為將產(chǎn)生重要影響，故對粒子位置變化過程的穩(wěn)定性進行分析，將式（13）取Z變換得

式中：J＝φ1＋φ2－1－ω。式（14）是一個線性系統(tǒng)，對應的特征方程為

該線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程各項系數(shù)均為正值，因此可得到粒子的位置變化過程穩(wěn)定條件為

在算法迭代過程中，使算法參數(shù)始終滿足式（17），則由Z變換的終值定理可得

粒子群在尋優(yōu)過程中Yi將逐步趨向Yg，因此在無限的搜索時間內(nèi)，所有粒子的位置將逐步靠近并停止在處。通過大量實驗研究［17］發(fā)現(xiàn)，粒子軌跡收斂到固定點的概率與參數(shù)選擇密切相關，若滿足式（17），則絕大多數(shù)粒子軌跡會收斂到固定點，各類問題函數(shù)值的分布都有一定規(guī)律，即當滿足穩(wěn)定條件時，多數(shù)粒子能收斂到固定點，并能為找到最優(yōu)位置提供一定的線索。

2．2 參數(shù)調(diào)整機制

粒子適應度值能分辨位置的好壞，為充分利用粒子適應度分布情況動態(tài)調(diào)整算法參數(shù)，進行上述的粒子軌跡分析，可知所有粒子的位置最終停止在Yg處，但在種群迭代過程中的絕大部分時間里粒子是向靠攏的，故將其定義為期望粒子位置xe。其中Yi對應的適應度值為fpBest，Yg對應的適應度值為fgBest，故定義期望適應度值fe如下：

慣性權重的調(diào)整很大程度上決定了PSO算法的優(yōu)化性能，其大小的調(diào)節(jié)具有一定規(guī)律，且與種群分布和單個粒子位置密切相關，粒子在迭代過程中相似程度越來越大，通過種群分布狀態(tài)，利用粒子相似程度來調(diào)節(jié)慣性權重，進而分析和改進PSO算法，提出粒子相似度s（i，e）如式（20）所示：

式中：s（i，e）表示第i粒子與期望粒子的相似度，fi為第i粒子的適應度值，Dmax、Dmin是固定正常數(shù)。文獻［13］中基于空間距離提出相似度的概念，表示的是每個粒子和當前的全局最優(yōu)粒子的相似程度。本文分析了粒子運動軌跡，提出相似度的概念來表示粒子與期望粒子的相似程度，并自適應調(diào)整慣性權重和2個加速系數(shù)，同時實現(xiàn)變異的自適應性，有效平衡了粒子群算法的全局搜索能力和收斂速度。

PSO算法搜索前期選擇較大權重值，加強粒子探索能力，后期選擇較小權重值，保持算法收斂速度，這種思想被廣泛采用。但所有粒子的權重被統(tǒng)一調(diào)整，忽略了粒子之間的差異性，若早期就有粒子找到全局最優(yōu)點，卻因其權重過大而跳出，則會降低算法搜索效率。為此，本文設計出一種根據(jù)各粒子與期望粒子相似度不同而動態(tài)調(diào)整權重的PSO算法，公式為

與期望粒子相似度較小的粒子，權重應較大，加快粒子探索整個解空間；反之，其權重應較小，這樣可使該粒子在期望最優(yōu)位置領域內(nèi)進行微小探索，加強粒子的開發(fā)能力。

加速系數(shù)c1是個體認知，c2是社會認知，算法搜索初期，c1應較大，增加種群多樣性，c2應較小，避免種群陷入局部最優(yōu)；搜索后期，逐漸找到最優(yōu)區(qū)域，c1應較小，加快收斂速度，c2應較大，領導種群趨向全局最優(yōu)位置。結合以上c1，c2的調(diào)整思想，提出其迭代公式如下：

2．3 分期變異機制

PSO算法在迭代過程中會因種群多樣性的缺失而陷入局部最優(yōu)，為增加種群多樣性，對種群粒子進行變異，當粒子與期望粒子相似度越大時，對應粒子變異的概率應越小，反之亦然。定義變異概率pim和變異條件分別如下：

為有效平衡算法的全局搜索能力和收斂速度，將混沌變異和Gaussian變異分期交叉進行，整個迭代過程分為4個階段，每個階段的前20%的迭代步數(shù)進行混沌變異，后5%的迭代步數(shù)進行Gaussian變異。利用混沌的遍歷性，充分增大種群多樣性，如式（26）所示；利用Gaussian變異的局部搜索能力，加快算法的收斂速度，如式（27）所示。

變異的位置為xijm，公式為

變異后粒子的新位置為該粒子上一代位置與變異位置連線的中點，公式為

分期變異機制的主要特點：通過評估整個種群的分布情況，通過該粒子與期望粒子相似程度大小來決定是否對其變異；2種變異方法分期交叉進行，很好地平衡了種群多樣性和算法的收斂能力，在前期避免算法陷入局優(yōu)，后期可以使算法快速找到全局最優(yōu)值。

2．4 算法流程及性能測試

設微粒數(shù)為N，問題的維數(shù)為D，最大迭代步數(shù)為Tmax，本文算法描述如下：

1）初始化，包括各參數(shù)：N、x、v、Tmax，隨機產(chǎn)生N個粒子及其初始速度，并計算適應度；

2）更新粒子的位置和速度；

3）評價種群中各粒子的適應度；

4）根據(jù)適應度值更新粒子的個體極值Yi；

5）根據(jù)適應度更新種群的全局極值Yg；

6）計算粒子之間的相似度s（i，e），并根據(jù)式（21）更新慣性權重；

7）根據(jù)式（24）計算變異概率，并判斷是否滿足變異條件，若滿足變異條件，則根據(jù)式（26）～（29）進行分期交叉變異，重新計算粒子適應度，并更新Yi、Yg；

8）判斷算法的終止條件，若滿足則停止，輸出相關結果；否則轉(zhuǎn)2）。

為了驗證算法的有效性，將PAPSO算法用于優(yōu)化漢諾塔管網(wǎng)和紐約管網(wǎng)，2個經(jīng)典管網(wǎng)的布局圖、節(jié)點水壓和管段長度等詳細數(shù)據(jù)參照文獻［18］。

根據(jù)漢諾塔管網(wǎng)實際問題，進行參數(shù)敏感性分析后，PAPSO算法在整個搜索過程中，各參數(shù)設置如下：ωmax＝0．9，ωmin＝0．4，c1＝2．05，c2＝1．45，N＝300，Tmax＝100。圖1為漢諾塔管網(wǎng)造價收斂曲線，改進的PAPSO算法在第31步就找到了全局最優(yōu)值，具有較快的收斂速度。

對于漢諾塔問題，通過EPANET2．0（ω＝10．667）水力模擬計算驗證，目前最優(yōu)的解決方案造價是6．081×106美元。表1列出了遺傳算法、混合粒子群差分算法、自適應粒子群算法、差分算法和本文提出的PAPSO算法優(yōu)化漢諾塔問題的結果對比，從表中可以看出各個算法都找到了全局最優(yōu)值，但本文提出的PAPSO算法經(jīng)過34 000次函數(shù)評價就找到了全局最優(yōu)方案，改進算法需要的評價次數(shù)較少，且該算法有95%的搜索成功率，具有較高的搜索效率和較強的魯棒性。

圖1 漢諾塔管網(wǎng)造價收斂曲線Fig．1 The convergence curve of Hanoi cost

表1 漢諾塔管網(wǎng)優(yōu)化結果Table 1 optimization result for the Hanoi network

根據(jù)紐約管網(wǎng)實際問題，PAPSO算法搜索過程中種群規(guī)模N取120，其他參數(shù)設置與優(yōu)化漢諾塔管網(wǎng)時相同。圖2為紐約管網(wǎng)造價收斂曲線，可以看出該算法3次跳出局部極值后在第22步就找到了全局最優(yōu)造價方案38．52×106美元。

圖2 紐約管網(wǎng)造價收斂曲線Fig．2 The convergence curve of New York cost

表2列出了不同算法優(yōu)化的紐約管網(wǎng)擴建方案，對紐約管網(wǎng)進行改擴建優(yōu)化設計后，沒有列出的管道不需改變管徑值，對應列出的管道編號新的管道鋪設情況是優(yōu)化方案給出的管徑與原管徑平行鋪設。文獻［19］得到的優(yōu)化方案造價為38．64×106美元，高于本文得到的優(yōu)化方案，文獻［20］提出的改進的遺傳算法得到造價為37．13×106美元的優(yōu)化方案，水力驗證時通過EPANET2．0（ω＝10．667）水力模擬計算，可知節(jié)點16、17和19不滿足最小節(jié)點水壓，方案不可行。文獻［21］與本文均得到造價為38．52×106美元的最優(yōu)方案，均滿足水力約束條件，PSO?DE算法迭代到26步找到最優(yōu)值，PAPSO算法在第22步即找到最優(yōu)值。

表2 紐約管網(wǎng)優(yōu)化結果Table 2 Optimization result for New York network

3 工程實例

本實例為北京市某高校給水管網(wǎng)改擴建設計工程，通過對工程調(diào)查分析，需水量預測、管線定線及簡化后，充分考慮供水可靠性的要求，采用環(huán)狀管網(wǎng)進行設計，改擴建管網(wǎng)如圖3所示。用改進的動態(tài)自適應粒子群算法對實際管網(wǎng)案例進行優(yōu)化設計。

某高校的給水管網(wǎng)工程設計年限T為20年；年大修理基金提存率m為2．0%；電價為0．58元／（kW·h）；供水能量不均勻系數(shù)γ為0．2；水泵的效率為0．8；期望收益率i0為6．0%；最高用水時控制點的自由水頭按28 m進行設計及校核。新建管道的粗糙度系數(shù)為130，舊管道的為100。各參數(shù)設置如下：ωmax＝0．9，ωmin＝0．4，c1＝2．05，c2＝1．45，N＝500，Tmax＝100。

利用本文提出的PAPSO算法對某高校實際給水管網(wǎng)進行改擴建優(yōu)化設計，各節(jié)點水壓均滿足最小服務水頭的要求，水力計算軟件NPANET2．0（ω＝10．667）進行驗證，滿足水力約束條件，說明上述方案可行。工程造價收斂曲線見圖4，列出了PSO、WPSO以及改進的PAPSO 3種算法的優(yōu)化曲線，3種算法分別在第40、29、28步找到了最優(yōu)值，可知改進的PAPSO算法以更快的速度找到了更優(yōu)的可行方案。

根據(jù)當前實際需水量預測，編號42以后的節(jié)點是需要擴建的節(jié)點，編號42以前的節(jié)點經(jīng)過優(yōu)化后部分管道需要并行鋪設新管道。表3列出4種優(yōu)化方案，改擴建前年折算費用為175．46萬元，PSO解決方案年折算費用為156．38萬元，WPSO解決方案年折算費用為150．40萬元，本文提出的PAPSO算法優(yōu)化后年折算費用為142．15萬元，該方案比原方案節(jié)省費用23．43%，比PSO優(yōu)化方案節(jié)省費用10．01%，比WPSO優(yōu)化方案節(jié)省5．80%，證明該優(yōu)化方案是經(jīng)濟、合理的，節(jié)省了工程投資。

表3 優(yōu)化前后方案對比Table 3 The optimization scheme comparison

圖3 某高校給水管網(wǎng)改擴建示意Fig．3 Water supply network reconstruction of a university

圖4 管網(wǎng)造價收斂曲線Fig．4 The convergence curves of the network cost

4 結束語

本文通過分析粒子運動軌跡，提出PAPSO算法，并將算法應用于工程實例，取得良好的效果。

通過分析粒子的運動軌跡，得到粒子運動的穩(wěn)定條件，在PSO算法參數(shù)選擇合理的情況下，粒子將收斂于期望位置處，通過判斷粒子與期望粒子的適應度差異，得到粒子之間相似度的概念；相似度實時評估了種群的分布狀態(tài)，利用粒子之間的相似度大小動態(tài)調(diào)整慣性權重和2個加速系數(shù)，平衡算法的全局和局部搜索能力，增強算法的局部搜索精度，對種群粒子進行分期交叉變異，增加種群多樣性，保證粒子找到全局最優(yōu)值，同時加快了算法的收斂速度；通過2個經(jīng)典的管網(wǎng)：漢諾塔管網(wǎng)、紐約管網(wǎng)的實例驗證，表明改進的粒子群算法解決此類組合優(yōu)化問題的有效性，最后將PAPSO算法優(yōu)化某高校的給水管網(wǎng)，不僅較大限度的節(jié)省工程投資，而且對算法的改進具有重要的理論指導意義。

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An parameter adaptive particle swarm optimization for optimal design of water supply systems

WANG Chao1，2，QIAO Junfei1，2

（1．College of Electronic Information and Control Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China；2．Beijing Key Laboratory of Computational Intelligence and Intelligence System，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

Particle swarm optimization easily falls into a local optimum when solving water supply optimization prob?lems．In order to solve this weakness，by analyzing particle trajectories and the similarity of particles，this paper proposes a parameter adaptive particle swarm optimization（PAPSO）．By estimating the degree of similarity between particles and expected particles，the algorithm dynamically adjusts parameters and balances the global and local search ability．The algorithm uses the variation strategy of staging to increase the population diversity and ensure that it converges to the global optimum．The tower of Hanoi network and New York network have been optimized by the improved algorithm，and the result shows that the PAPSO algorithm can be effectively applied to the combinato?rial optimization of water supply pipeline networks．The proposed algorithm has been applied to optimize an actual pipe network reconstruction case and the result shows that the algorithm has better optimization and convergence performance．

water supply system；particle trajectories；similarity；parameter adjustment；adaptive particle swarm op?timization

TP18

A

1673?4785（2015）05?0722?07

10．11992／tis．201410036

http：／／www．cnki．net／kcms／detail／23．1538．TP．20150827．1030．012．html

王超，喬俊飛．參數(shù)自適應粒子群算法的給水管網(wǎng)優(yōu)化研究［J］．智能系統(tǒng)學報，2015，10（5）：722?728．

英文引用格式：WANG Chao，QIAO Junfei．An parameter adaptive particle swarm optimization for optimal design of water supply systems［J］．CAAI Transactions on Intelligent Systems，2015，10（5）：722?728．

王超，男，1987年生，碩士研究生，主要研究方向為智能計算和智能優(yōu)化算法。

喬俊飛，男，1968年生，教授，博士，主要研究方向為復雜過程建模、優(yōu)化與控制和智能優(yōu)化控制。主持國家自然科學基金項目2項、國家“863”計劃項目2項，發(fā)表學術論文100余篇，出版專著2部，獲國家發(fā)明專利授權15項。

2014?10?27．

日期：2015?08?27．

國家自然科學基金重點資助項目（61034008）；國家自然科學基金杰出青年資助項目（61225016）；北京市自然科學基金資助項目（4122006）．

喬俊飛．E?mail：isibox＠sina．com．