俞求是

1 “基本不等式”的名稱問題

一個概念或方法的命名是一件重要的事.萬物始于無名.命名就是指運用各種方法把人或物指定一個便于識別區(qū)分的名稱.所以，命名是一件重要的事.勾股定理的命名就曾經在我國數學教育界認真地討論過，最后確定為現在的名稱，這個名稱比較好地反映了中外數學發(fā)展歷史的實際情況.

關于“基本不等式”的名稱，目前《普通高中數學課程標準（實驗）》規(guī)定把不等式：a+b2≥ab稱為“基本不等式”.當然，作為國家文件進行規(guī)定，對一個不等式進行命名當然是可以的.不過，從教學研究的角度來看，從名稱的使用角度看，雖然這個不等式確實已經很基本了，但如果作比較，卻還有更基本的不等式，如|x|≥0，x2≥0，a2+b2≥2ab等.由于這些原因，這個不等式的名稱問題應該還可以商榷、討論.如果給以上不等式進行命名，能夠使聽眾立刻明白所指的不等式是哪個，考慮到與此基本結論相關的一般形式不等式普遍稱為算術平均-幾何平均不等式（一般簡稱均值不等式），以上不等式稱為“基本（或二元）算術平均-幾何平均不等式”，簡稱“基本（或二元）均值不等式”是比較準確的名稱.實際上，由于一般形式的均值不等式包括了各個具體均值不等式，大多數情況下，在應用中直接稱均值不等式也并不會引起混淆，從邏輯上說這樣稱呼也是嚴格的.例如，東北師范大學朱顯海教授在《中學數學導論·代數2》（人民教育出版社1992年7月第1版，第34頁）就直接稱以上不等式為幾何平均-算術平均不等式，并指出可以推廣到一般形式.其他一些《中學數學教學辭典》也一般稱以上不等式為平均不等式，有的指出是基本不等式之一.由高等教育出版社出版《數學手冊》編寫組編的《數學手冊》也沒有用基本不等式的名稱.

基本不等式的名稱并不通用.有一本講不等式的課外讀物《不等式啟蒙》（遼寧教育出版社1985年8月第1版）的內容提要中提到有“基本不等式”這一詞，是這樣說的：“本書是為高中學生和中學數學教師寫的課外讀物.書中提出了八個基本不等式，即算術-幾何平均不等式、荷爾德不等式、閔可夫斯基不等式、楊格不等式、貝努里不等式、哥西不等式、幾何-調和不等式和冪平均不等式.并詳細討論了它們之間的關系.”這里說的基本不等式有8個.另外見到一些早年的數學手冊則把不等式的基本性質稱做基本不等式.所以基本不等式的名稱要統(tǒng)一并不容易.實際上，一個事物算不算基本，在不同的場合，不同的人員眼里，其標準是不同的.既然意見這樣不好統(tǒng)一，是否就不要用這個名稱.一個名稱，

如果很多年后，人們仍然不會混淆，那么這個名稱就是合適的.可以作一個調查，問畢業(yè)已經若干年的高中畢業(yè)生，讓他們回答“請你寫出在高中數學課中所學的有一個叫做‘基本不等式的結論”，相信能夠得到對于這個問題有價值的一些參考信息.

實際上，在我國以前的中學數學教科書，對于以上算術平均和幾何平均之間關系的不等式，一直只給出結論，沒有稱其為基本不等式，這應該不是偶然現象.隨機查閱一些關于不等式的著作，如嚴鎮(zhèn)軍的《不等式》（人民教育出版社出版1990年3月）、張弛的《不等式》（上海教育出版社1963年12月第1版，1979年5月第7次印刷）等書，都沒有用“基本不等式”這個名稱.

作教材比較，以上不等式的命名，目前幾個版本的高中數學課程標準實驗教科書并不一致，也說明以上的命名確實值得討論，《人教B版》稱這個不等式為“基本不等式或平均值不等式”.《北師大版》在這一節(jié)的標題是“平均值不等式”，但在此不等式給出之后，并沒有給以命名.《湖南教育版》則把這個不等式和另外一個不等式合稱“基本不等式”.

徐利治教授和王興華教授的《數學分析的方法及例題選講（修訂版）》（高等教育出版社）稱其為“平均值定理”：若干個正數的幾何平均值必不大于它們的算術平均值.一個不等式形式的數學結論用文字語言表述得非常簡明.

綜合以上情況，對于這個不等式的命名，建議在《教學參考書》中指出這個不等式一些常用的命名方式，采用比較靈活的方式，以不引起混淆為宜.

2 是“三角不等式”還是“三角形不等式”

目前，在各個不同版的《不等式選講》中對形如：

的一種類型的不等式的名稱還不統(tǒng)一.

稱其為三角不等式的有：人教A版，人教B版；稱其為三角形不等式的有：蘇教版，另外，北師大版在習題中涉及這個不等式，但不涉及名稱；湘教版在“閱讀與思考”中涉及此不等式，其中出現兩種不同的名稱.

參考另外一些數學教學著作：

王岳庭、周煥山、李長明著《初等數學研究學習指導書》、嚴鎮(zhèn)軍著《不等式》稱三角形不等式；

由高等教育出版社出版，《數學手冊》編寫組編的《數學手冊》第22頁指出：閔可夫斯基不等式的特例之一就是三角形不等式.

由文麗譯，E.貝肯巴赫和R.貝爾曼著，北京大學出版社出版的美國新數學叢書之一《不等式入門》（第73頁）有專門的一節(jié)“三角形不等式”.

張福生、趙國禮著《解不等式》指出：未知數含于三角函數中的不等式稱為三角不等式；

鄭啟明、謝庭藩、張奠宙、趙振威等主編《中學數學教學辭典》（P242）指出，含有三角函數的不等式稱為三角不等式.

根據上面的分析知，數學界和數學教育界一般根據其本身的特點，稱上述不等式為三角形不等式，而稱其為三角不等式就與《三角學》中的一些不等式混淆起來了.

所以，筆者認為，在課程標準和教材修訂中應該對這個不等式的名稱作修訂，修訂為三角形不等式.

另外，在不引起混淆的前提下（如在日常課堂教學口語中），簡稱其為三角不等式也不失為一種省力、省時的選擇.而在書面表達中還是以嚴守規(guī)范為妥.