林群

第一講 莊子哲學與級數(shù)（文字轉(zhuǎn)換）

一尺之錘，日取其半，那么每日取走的長度，便包含無限多個數(shù)據(jù)，12，14，18，…，它們相加表示1：

12+14+18+…=1.

這是無限等式，什么意思？拿什么驗證？數(shù)據(jù)試驗

一直加下去，越來越接近1. 再觀察，每當左邊多加幾項，右邊在小數(shù)點后就多加一個9，

12+14+18+…=0.999…

進一步說，右邊無論要加多少9，都可以做的到，只要左邊項數(shù)足夠多.所以，這個過程最終出現(xiàn)0.9·，從而終結到1. 這個定義方法，不再隱晦，而且露骨，過程看得清：右邊在小數(shù)點后怎樣在加9，怎樣變到1，凸顯了無限等式

無限多個“莊子數(shù)據(jù)”相加=1

的可視化或構造性，達到徹底明白.

如果等式右邊不等于1，例如

1+12+14+18+…=2，

那么，當使用比例表示

1+12+14+18+…2，

便回到右邊是1的狀態(tài). 于是重復上例

1+12+14+18+…2=0.999….

意即每當分子多加幾項，比例在小數(shù)點后就多加一個9. 進一步說，比例無論要加多少9，都可以做的到，只要分子項數(shù)足夠多. 所以，這個過程最終出現(xiàn)0.9·，從而分子變到分母. 這個定義方法，不再隱晦，而且露骨，過程看得清：比例在小數(shù)點后怎樣在加9，分子怎樣變到分母，無限怎樣變到有限， 凸顯了無限等式

無限相加的分子=有限的分母

的可視化或構造性，達到徹底明白. 所以今后就看比例，采用比例表示.

現(xiàn)在放大到一般的級數(shù). 為什么要討論級數(shù)呢？若沒有它，第0講最后的反正弦的高便得不到計算，以致半途而廢.

放大并不難：對上例只要求做文字轉(zhuǎn)換，便進入級數(shù)狀態(tài)（包括交錯級數(shù)）. 暫設（或猜）這級數(shù)有和. 當使用比例表示

級數(shù)和（或和級數(shù)）=0.999…

（保證分子≤分母），意即每當級數(shù)多加幾項，比例在小數(shù)點后就多加一個9. 從而分子（或分母）變到分母（或分子），顯示了

無限相加的級數(shù)=有限和

的可視化或構造性，達到徹底明白. 反之，教科書教學生方法，屬于存在性，看不見無限怎樣變到有限，被蒙住了眼睛.

不夠明白. 所以，構造性方法，0.9·，比起存在性方法，ε，兩者

看似等價（容易證明或一道習題）但不等效.

由過程看不清變到可視化，由屬于存在性變到構造性. 我們建議以0.9·消除ε投下的陰影.

習題或案例 舉一反三，如果每日取走剩下長度的10%，或90%，結果又如何，讓數(shù)據(jù)說話.

級數(shù)只是微積分求高的手段，目的還要回到求面積與弧長. 下講先求弧長.

第二講 山坡求長與求高：一回事

微積分專業(yè)爬山故事：坡度+坡長+坡高

（后者乃爬山最關心的三要素，例如坡度（或陡度），它關系到腿部的承受力）.當山坡是直的， 那就是三角測量： 求斜率，并用之測量斜邊長及高.

人民日報（1997，8，6）

這里有故事：樹有多高？ 直接測量：砍樹或爬樹；間接測量，利用公式：樹高=斜率底邊長. 所以斜率可以代替砍樹或爬樹.

那么，當山坡是曲的，

如何也用斜率來測量坡長與坡高？說來話長. 我們不滿足于推導或證明公式，從頭到尾側重于暴露思想活動，或如何思考.

因為遵守創(chuàng)作路線圖，先有思想，再預測結果，然后證明，

才能胸有成竹，事半功倍，甚或帶來快速證明.

先問如何量坡長？有沒有一個計算公式？

我們熟悉的，量坡長的自然且簡單的方法，就是一步一步使用切線長若用割線，涉及曲線上兩點. 切線只涉及曲線一點的性質(zhì).來量.

細說如下：由于山是立體圖形，先簡化成兩山之間纜繩求長，于是變成了平面圖.

我是近視眼，看不到這繩長. 這時只能化整為零，去求一小段的繩長.

化整為零

但每一段再小，也還是曲邊三角形，并不是直邊三角形. 所以又只能化曲為直，例如按與它“最近”或“相切”（嚴格定義以后再說）的直角三角形來求斜邊長，或切線長

化曲為直

先想到，隨著分點加多，或細分下去，切線長應該跟曲邊三角形的小坡長相接近. 當使用比例表示，則兩者之比應該接近于1. 進一步想到，比例應該在加9

切線長小坡長=0.999….

同理，當分子與分母各自相加，應該也有

所有切線長相加總坡長=0.999….

這里，前一個是關鍵假設（曲線可求長），后一個是自然推論，有快速證明（反證法，只有兩行，留作習題）.所以說，先想好再證明，有的放矢，加快速度.

以上是山坡求長的思想活動與快速證明.

回到上面的公式：比例取0.999…是什么意思？意即每當分點多加幾個，比例就多加一個9. 進一步說，無論要加多少9，都可以做的到，只要分點足夠多. 所以，當分點加多，切線條隨之加多，比例最終出現(xiàn)，從而分子變到分母，看清了無限等式

無限多條切線長相加定義總坡長

的過程或構造，達到徹底明白.

習題或案例 求單位圓周長

（過剩近似）

圓周長n長切線長相加=xtanθ=0.999…，

此處切線長是過剩近似（tanθ≥弧長）. 但圖1的切線長是不足近似（≤弧長），稍有不同. 后者才有一般性（當我們跳出圓這一特殊曲線），這時保持關鍵性假設